1、Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船敬请各位领导和专家指导课题：异面直线及其夹角2010 年 9 月Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船课题：异面直线及其夹角教材：全日制普通高级中学教科书（必修） 数学第二册（下）（人民教育出版社）一、教材分析1、教学内容“异面直线及其夹角 ”是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（下 B）第九章第二节“空间中的平行直线与异面直线 ” 的第二课时，主要的内容是认识异面直线以及掌握异面直线夹角的定义和求解方法.2、地位与作用（1） 、空间想象能力的培养.异面直线及其夹角是立体几何教学
2、的重点内容之一，也是难点之一.对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的 ；（2） 、 “转化”思想.即将“三维”的问题降低维度来研究（三维到二维） ，空间问题平面化，不仅是这节课的重要思想，也是立体几何学习的核心思想. （3） 、示范模式作用.立体几何是对空间位置关系作研究，前面都主要是定性研究，从本节课开始，要求我们对空间位置关系作出量化（量化研究） ；异面直线夹角的概念、求法为以后求线面角和面面角提供了一种模式，起着承上启下的重要作用. 二、学情分析1、知识基础：由于学生刚刚接触立体几何不久，立体感还没有完全形成，空间意识还不够，还没有解决空间问题的思路、方法和基本技
3、能，作图时学生往往会把不同平面的直线看成是在同一个平面.2、认知水平与能力：高二的学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，能够借助一些实物、多媒体辅助教学以及老师的良好引导来理解和掌握一些知识，但在数学Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.3、任教班级学生特点：我班为理科实验班，学生基础知识较扎实、思维较活跃、能够很好的掌握教材上的内容，能够较好的在教师的引导下独立、合作地解决一些问题.三、目标分析根据教材内容和学生的认知特点，本节课设置的教学目标为：1、教学目标知识目标： 理解异面直线的概念；理解异面直线夹角的概念，并掌握其求
4、法.能力目标： 通过探究、观察、培养学生作图能力；培养把空间问题转化为平面问题的化归的思想；培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力；情感目标： 通过让学生积极参与探究，将课本中的知识和生活实际联系起来，激发学生的学习兴趣，从而让学生更好的学习数学，应用数学.2、教学重、难点教学重点：异面直线的概念；异面直线夹角的概念和求法，重点是平移法.教学难点：如何将空间问题转化为平面问题，从而找出异面直线的夹角.四、教学模式与教法、学法1、根据教材内容和学生情况，本课采用“学生互动-探索发现”的教学模式，引导学生在活动过程中去研究，教师给予模型展示及多媒体辅助，将模型和课件动画以直观形象的方式展现给
5、学生，便于学生理解和掌握.2、教具实物（四根小棍）3、教学时间2010 年 9 月 9 日上午 10：4511：25Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船4、教学流程5、教学过程(见下页)创设情景 异面直线的定义 异面直线所成角的定义异面直线所成角的求法课堂小结拓展思维练习Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船教学环节教 学 内 容 学生活动 设 计 说 明一、创设情景，引出异面直线概念（一） 、创设情景： 广东九江大桥被运沙船撞断事件，通过视频和 PPT 动画展示，引导学生生活中除了平行和垂直之外，还存在着其他的位置关系(异面 )（
6、二） 、引出异面直线所成角的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（三） 、列举生活中与异面直线有关的例子，帮助学生加深对异面直线概念的理解.学生观看生活中的图片，直观感受生活中确实除了平行直线和相交直线之外，处处存在着异面直线的例子，激起学生强烈的求知欲.联系生活中的实际:世博会，九江大桥撞船事故，成都地铁等等，选取了具有时代气息与生活实际的相关素材，充分调动学生的学习积极性，使得枯燥的数学课堂变得更加生动.Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船（四） 、异面直线的判定：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线.（并简单
7、指出，在画异面直线的时，以平面为衬托，可以显示得更清楚）特别是通过九江大桥撞船的例子，自然引入异面直线概念.（一） 、设置学生活动环节：请四位同学上台利用准备好的教具（四根木棍）分别摆出两组异面直线.附：（学生活动视频 1）Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船二、探究异面直线夹角的定义（二） 、师生探究异面直线夹角的定义引导 1：用什么量来刻画这两组异面直线的位置关系呢？引导 2：引导 3：平面几何研究的角和解析几何中相交直线的夹角是怎样定义的？怎样求解的？引导 4：还可以用仪器（量角器）来度量两条相交直线夹角的大小.异面直线所成的角是是平面几何研究的角吗？引导
8、 5、那么可以用量角器来度量两条异面直线的相对倾斜程度吗？那么，可不可以将这样的角转化成为可以用量角器度量的角呢？引导 6、怎么转化？我们是不是可以先找到转化后的角呢？怎么找？需要将两条异面直线？引导 7、那么平移靠什么实现？又怎么平移？学生在老师的引导下，上台展示.学生动手动脑，充分调动学生的积极性和探知欲，让学生体会异面直线所成角的概念.Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船二、探究异面直线夹角的定义（三） 、设置学生探究环节：请两位同学上台利用准备好的教具（两根木棍） ，用平移方式找到两异面直线所成角？附：（学生活动视频 2）引导 8、所成角的大小与某个位置
9、的选取有关吗？这样的角有多少个？按这些方式所成的角都相等吗？用了前面的什么定理做支撑？最终又取哪一个呢？由等角定理知：这样的角有无数个，而且相等，并且与平移位置的选取无关.但为了方便，通常平移后的交点 取在其中一条线上，并选O取其中的锐角（或直角）.展示等角定理，让学生回归书本，让书本说话.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.(从理论上给两条异面直线所成角的定义提供了可能性与唯一性.)学生上台展示.通过平移使异面直线转化为相交直线,让学生体会探究不同的平移方式产生的结果.初步体会空间问题转化为平面问题的思想.通过设置学生活动，让学生自主探索异面直线
10、夹角的定义.ba1b22a1aO1Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船二、探究异面直线夹角的定义（四） 、老师板书定义如图：已知两条异面直线 、 ，经过空ab间任意点 作直线、 ，我们把直线 与O/b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与b所成的角（或夹角）.（五） 、设置学生探究环节，在老师的引导下，用填关键词的方式，完成异面直线所成角的定义总结口诀. 附：（学生活动视频 3）定义总结：异面直线所成角，平移先作平面角；平面角中锐、直角，即为异面直线所成角！(1)异面直线所成的角(或夹角)的取值范围：0,2(2)特别地，如果两条异面直线 、 所成的角ab是直角，
11、那么我们就说两条直线互相垂直，并且记作： .说明空间的垂直有相交垂直和ab异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.学生在老师的引导下逐步理解定义的形成.在老师的引导下一起提炼总结定义.解决问题，进入本课的重点内容，让学生充分理解定义.通过提炼总结口诀的形式，帮助学生更好的理解定义.1a1OAuthor:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船三、探究异面直线夹角的求法引导 9：我们已经知道可以通过平移把异面直线所成角转化成相交直线的夹角，那么平移之后又如何求出相交直线的夹角呢？是否使用量角器呢？（一） 、典型例题1.（高中数学第二册（下 B） 例 2）15:P如图所示一正方体中
12、，（1）直线 和 的夹角的度数为 .AC4（2）与棱 相交垂直的棱有;与棱 异面垂直的棱DB、 、 、 A有 .、 、 、2.例 2 变式 1：若正方体棱长为 1， 点为E的中点，求 与 所成的角的大小.BABC 学生分组讨论，动手操作，在操作过程中克服教学难点和重点，掌握求异面直线所成角的基本步骤 通过“体验理解归纳应用”逐步实现教学目标 检验过程和结果养成质疑与反思的习惯Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船老师引导，展示过程解：过 作 交 于 ，连接 E/FABFC.作图易知 为异面直线 与 所成角（或CE补角） 证明在 中， , ，则EF252FC由余弦定
13、理得 22cos 5EC计算所以异面直线 与 所成角为 .ABarcos作答3.例 2 变式 2：若正方体棱长为 1， 点为A的中点，求 与 所成的角的大小.DC C（说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线 与AB所成的角是它的补角.）EC（二） 、课堂小结：求解异面直线所成的角（或夹角）最基本的方法是：定义法，其步骤：作图证明计算作答.计算时，一般都放在三角形中，若为直角三角形，求解较易，若所在三角形不为直角三角形，则解斜三角形，最后根据异面直线夹角的范围 来确定是0,2该内角还是其补角，从而得出答案.通过学生上台展示，分组讨论，规范学生解题过程，强化教学目标
14、的达成.利用不同类型的例题，层层递进，在学生的思维的“最近发展区”设置问题，逐步实现教学目标.总结求解步骤，这种模式为后面求角问题提供了一种示范模式.Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船四、课堂练习1. 高中数学第二册（下 B） 习题 7.16:P2.（思维拓展题）学生分组讨论已知两异面直线 、 成 的角， 为空间中ab50一定点，则过点 且与直线 、 成 的角的P2直线有 0 条；成 的角的直线有 1 条；成 的角的直线有 2 条；成 的角365的直线有 3 条；成 的角的直线有 4 75条；成 的角的直线有 1 条；90（学生活动视频 4）学生分组讨论，可以
15、借助铅笔等辅助工具，探求答案.根据实验班学生的特点，设置思维拓展题，提高学生空间想象能力.五、总结（问题引导式总结）高中数学第二册（下 B） 习题 6，什么1:P叫两条异面直线所成的角？什么叫两条异面直线互相垂直？本节课主要学习了：(1)异面直线所成角（或夹角）的概念；(2)异面直线所成角（或夹角）的范围；0,2(3)异面直线所成角（或夹角）的求解.我们探究到的思想：空间问题平面化的化归思想.回归教材学生通过互相讨论，归纳总结，以自己的语言完善结论学生形成完整的认知结构，对本节课的知识进行梳理，最大程度的达到教学目标五、板书设计9.22 异面直线及其夹角一、 异面直线定义：二、 异面直线夹角定
16、义：定义总结：课堂小结：Author:http:/ 铁沙船Author:http:/ 铁沙船六、教学反思1、本课的创设情景部分，联系生活中的实际如九江大桥撞船事故、世博会、成都地铁等等，选取了具有时代气息以及与生活实际相关的素材，从教学效果来看，充分调动了学生的学习积极性，使得枯燥的数学课堂变得更加生动，同学们反应积极，探究活动踊跃，学生充分理解并掌握了异面直线及其夹角的定义.较好的完成了教学目标.2、怎样把空间问题平面化是本课的重点和难点，本课通过多次设置学生活动，层层递进式的引导式问题，以及对异面直线夹角定义提炼总结口诀的方式，同时辅以相应的教材上的例题 2 及其变式，通过详细而又规范的书写，突破难点，从实际教学效果来看，取得了较好的教学效果. 3、对于课堂练习 2，开始在设计这个题的时候，也很担心这个题在异面直线及其夹角的第一课时提出来会不会对学生来说比较难，但是根据实际教学效果来看，大部分同学都能得出正确答案，说明本课充分的学生活动的效果是很好的，达到了预期教学目的.4、在实际的教学过程中，学生对异面直线的概念能够理解，虽然在课堂上进行了对异面直线画法的训练，但是要画出异面直线对部分同学来说还比较困难，在后续的教学中可进一步突破.5、异面直线所成角的计算涉及到解斜三角形，通过后续的学习，还可以利用空间向量来解决，在本节课只进行了初步的计算练习，在后续学习中还要加强和提高.
