1、江苏省启东中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考高三数学试卷()一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知集合 ，集合 ，则 _【答案】【解析】2. 若复数 其中是虚数单位，则 _【答案】【解析】 【答案】【解析】试题分析：从两盒中随机各取一个球，共有 种基本事件，其中没有一个红球包含种基本事件，因此至少有一个红球的概率为考点：古典概型概率4. 如图所示的流程图，是一个算法流程图,则输出的 的值是_【答案】6【解析】循环依次为 ，结束循环，输出 5. 已知抛物线方程 ，则抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】抛物线的焦点
2、坐标为 6. 已知函数 ，则函数 的定义域为_【答案】【解析】 ，即定义域为7. 在ABC 中， ABC120 ，BA2，BC 3，D，E 是线段 AC 的三等分点，则 的值为_【答案】【解析】 8. 已知实数 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围为_【答案】【解析】先作可行域，如图三角形 ABC 及其内部，则直线 过点 A(2,0)取最大值 6，过点 B(0,1)取最小值 1，所以取值范围为9. 已知数列 是等比数列，若 ，则 的最小值为_【答案】1【解析】由 得 ，所以 ，即最小值为 110. 在平面直角坐标系 中，若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由
3、题意得 11. 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB1 ，BC2 ， ， BB13，点 D 为侧棱 BB1 上的动点当 ADDC 1 最小时，三棱锥 DABC 1 的体积为_【答案】【解析】 由等面积法得 将侧面展开得 ,所以 点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.12. 若方程 在 上有且只有两解，则实数 的取值范围_【答案】【解析】 所以当 时， 与 只有一个交点，当 时 ，方程 解所以要使方程 在 上有且只有两解，实数 的取值范围13. 已知等边 的边长为 2，点 在线段 上，
4、若满足等式 的点 有两个，则实数的取值范围是_【答案】【解析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则，AC： 由 得 ， 点睛：与圆上点 有关代数式的最值或范围的常见类型及解法形如 型的最值或范围问题，可转化为过点 和点 的直线的斜率的最值问题；形如 型的最值或范围问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如 型的最值或范围问题，可转化为动点到定点 的距离平方的最值问题14. 已知函数 其中 ，若函数 的图象上恰好有两对关于 y 轴对称的点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】 关于 y 轴对称的曲线为 ，由图知 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像
5、交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知函数 .(1)求函数 的最小正周期；(2)在 中，角 的对边分别为 .若锐角 满足 ， 且 ，求 的面积.【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式以及二倍角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期（2）先求 A,再根据两角和正弦公
6、式求 ，由正弦定理求 a，最后根据面积公式求面积试题解析：解：(1) 所以，函数的最小正周期 . (2) 因为 A 为锐角，所以 .所以， ，得 由正弦定理， 所以， .所以16. 如图，在直三棱柱 中， ，点 为棱 的中点求证：(1) 平面 ；(2)平面 平面 【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1） 与平面 内的 平行，所以 平面 .（2）通过证明 ， 可得 平面 结合 平面 ， 可得平面平面 试题解析：（1）在三棱柱 中， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）在直三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 因为 ，所以 又因为点 为棱 的中点，所以 又 ， 平面 ，所
7、以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。17. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中 ，为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边(即： 和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平方米 400 元，步道造价为每米 1000 元.(1)若总费用恰好为 24 万元，则当和
8、分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；(2)若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少？【答案】 （1） ， ，面积最大值为 400 平方米.（ 2）水池的最大面积为 337.5 平方米.【解析】试题分析：（1）先根据总费用确定和关系，再根据扇形面积公式得关于 r 函数，利用导数或基本不等式求最值（2）先根据步道长确定和关系，再根据扇形面积公式得关于 r 二次函数 ，根据对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：解(1)法 1：弧长 AB 为 ，扇形 面积为 ， 则 即所以 当且仅当 取等号，此时答： ， ，面积最大值为 400 平方米.法 2：利用基本不等式. (2
9、) 由 , 所以 所以 所以 . , ，所以 ， 时，水池的最大面积为 337.5 平方米. 答：的取值范围为 ，且当 ， ，水池的最大面积为 337.5 平方米.18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且上焦点为 ，过 的动直线与椭圆 相交于 、 两点设点 ，记 、 的斜率分别为 和 （1）求椭圆 的方程；（2）如果直线的斜率等于 ，求 的值；（3）探索 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 的取值范围【答案】 （1） （2）2（3 ） 为定值，且定值为 2.【解析】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得 （2）先设 、，利用斜率公式化简 得 ，再联立直线方程与椭圆方程
10、，利用韦达定理代入化简得 的值；（3）设直线 ： ，同（2）化简 得 ，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足试题解析：解：（1） ， ， ，椭圆方程为 . （2）因为直线 的斜率等于 ，且经过焦点 F，所以直线 ， 设 、 ，由 消 得 ，则有 ， 所以 . （3）当直线 的斜率不存在时， ， ，则 ， ，故 当直线 的斜率存在时，设其为 ，则直线 ： ，设 ， ，由 消 得 ，则有 ， 所以. 所以 为定值，且定值为 2.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19. 已知数列a n为等比数列， 公比为 为数列a n的前 n 项和.（1）若 求 ;（2）若调换 的顺序后能构成一个等差数列，求 的所有可能值；（3）是否存在正常数 ，使得对任意正整数 n，不等式 总成立？若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由
