1、2018 届江苏省南京市高淳区江苏淮海中学、盐城中学、淳辉高中等 97 校高三 12 月联考数学试卷数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4页,包含填空题(共 14题) 、解答 题( 共 6题),满分为 160分,考试时间为 120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。2.答题前,请您务必将自己的姓名、考 试证号等用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔填写在答题卡上。3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B铅笔作答,并请加黑、加粗 ,描写清楚。一、填空题:本大题共 14 小题,
2、每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 .1.集合 A=x|0 x2, B=-1,2,3,则 A B= . 2.若复数 z满足 z=i(2-i)(i是虚数 单位),则复数 z的模 |z|= . 3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在 5090 km/h的汽车中抽取 200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示), 则速度在 70 km/h以下的汽车有 辆 . 4.如图,若输入的 x值为 16,则相应输出的值 y为 . 第 3题图 第 4题图5.已知变量 x,y满足约束条件 则 x+y的最大值是 . 6.某校高三年级学生会主席团共由 4名
3、学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级 .现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为 . 7.已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为 . 8.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 3x-4y=0,则该双曲线的离心率为 . 9.在等差数列 an中,若 a4=4, - =96,则数列 an的前 10项和 S10= . 10.将函数 y=sin(2x+)的图象向右平移 (0b0)的离心率为 ,且点( , )在椭圆 C上 .(1)求椭圆 C的方程;(2)设 P为椭圆上第一象限内的点,点 P关于原点 O的对称
4、点 为 A,点 P关于 x轴的对称点为 Q,设 = ,直线 AD与椭圆 C的另一个交点为 B,若 PA PB,求实数 的值 .18.(16分)一块圆柱形木料的底面半径为 6 cm,高为 16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一 .设小圆柱底面半径为 r,高为 h,要求笔筒底面的厚度超过 1 cm.(1)求 r与 h的关系,并指出 r的取值范围;(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内 侧 面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为 a(元 / cm2),桶内侧面喷漆费用是
5、 2a(元 / cm2),而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是 7a(元 / cm2)(其中 a为正常数) . 将笔筒的后续加工费用 y(元 )表示为 r的函数; 求出当 r取何值时,能使笔筒的后续加工费用 y最小,并求出 y的最小值 .19.(16分)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)(a R).(1)当 a=0时,求函数 f(x)的最小值;(2)若函数 f(x)既有极大值又有极小值,求实数 a的取值范围;(3)设 g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的 x( 1,+ ),都有 f(x)+g(x)0,求整数 a的最大值 .20.(16分)已知数列 an的首项 a10,其前 n项和为
6、 Sn,且 Sn=3an-2a1对任意正整数 n都成立 .(1)证明:数列 an为等比数列;(2)若 a1=,设 bn= ,求数列 bn的前 n项和为 Tn;(3)若 a1,ak(k3, kN *)均为正整数,如果存在正整数 q,使得 a1 qk-1, ak( q+1)k-1,证明: a1=2k-1.高三数学考试卷参考答案1.2 2. 3.100 4.4 5.4 6. 7. 8. 9.70 10. 11.(,2 12.-413.(-,+ ) 14.2 -115.证明:(1) 因为 D,E分别为 AB,AC的中点,所以 DE BC.2分又 DE平面 PDE,BC平面 PDE,所以 BC平面 PD
7、E.5分(2)过点 P作 PO CD,垂足为 O.又平面 PCD平面 ABC,PO平面 PCD,平面 PCD平面 ABC=CD,所以 PO平面 ABC.又因为 AB平面 ABC,所以 AB PO. .9分因为 PA=PB,D为 AB的中点,所以 AB PD.11分又 PDC为锐角,一定有 PO PD=P,PO,PD平面 PCD,所以 AB平面 PCD.又 PC平面 PCD,所以 AB PC.14分16.解:( 1)由 sin Bsin(B+)=,可得 sin B(sin Bcos+cos Bsin)=,即 sin2B+ sin Bcos B=,故 + sin 2B=,整理得 sin(2B-)=
8、1. .3分又 B为三角形的内角,即 B(0,),于是 2B-( -, ),所以 2B-=,从而 B=.6分(2)sin A+sin C=sin A+sin( -(A+B)=sin A+sin( -A)=sin A+sin cos A-cos sin A= cos A+sin A= sin(A+). .10分因为 A为三角形的内角,且 B=,于是 A(0, ),故 A+( , ),所以 sin(A+)( ,1.所以 sin A+sin C= sin(A+)( , .即 sin A+sin C的取值范围是( , .14分17.解:( 1)因为点( , )在椭圆 C上,则 + =1,又椭圆 C的离
9、心率为 ,可得 = ,即 c= a,所以 b2=a2-c2=a2-( a)2=a2,代入上式,可得 + =1,解得 a2=4,故 b2=a2=1.所以椭圆 C的方程为 +y2=1.6分(2)设 P(x0,y0),则 A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).因为 = ,则(0, yD-y0)= (0,-2y0),故 yD=(1-2 )y0.所以点 D的坐标为( x0,(1-2 )y0). .8分设 B(x1,y1),则 kPBkBA= = = =-. .11分又 kBA=kAD= =(1- ) ,故 kPB=- =- .又 PA PB,且 kPA= ,所以 kPBkPA=-1,即 - =-1,
10、解得 = .所以 = .14分18.解:( 1)据题意, r2h=( 6216),所以 r2h=192,即 h= .3分因为 16-h1,故 h .又 00,h(x)=f(x)在( 0,+ )上单调递增,故 f(x)在(0, + )上至多有一个零点,此时,函数 f(x)在( 0,+ )上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; .4分 当 a0时,令 h(x)=0,可得 x= ,列表:x (0, ) ( ,+ )h(x) + 0 -h(x) 极大值 若 h( )0,即 a时, h(x) h( )0,即 f(x)0,故函数 f(x)在(0, + )上单调递减,函数 f(x)在( 0,+ )上
11、不存在极值,与题意不符, .5分若 h( )0,即 01,且 h()=ln- +1=- 0,函数 f(x)在( 0,x1)上单调递增,函数 f(x)在 x=x1处取极小值 . .7分由于 0,故 (a)在(0,1)上单调递增,所以 (a)0,函数 f(x)在( ,x2)上单调递增;当 x( x2,+ )时, f(x)0对任意的 x( 1,+ )恒成立,可得 xln x-(a-1)x+a0对任意的 x(1, + )恒成立 .即 a0,则 t(x)在( 1,+ )是单调增函数,又 t(3)=1-ln 30,且 t(x)在 3,4上的图象是不间断的,所以,存在唯一的实数 x0(3,4),使得 t(x
12、0)=0,当 1x0时, t(x)0, (x)0, (x)在( x0,+ )上递增 .所以当 x=x0时, (x)有极小值,即为最小值 (x0)= ,又 t(x0)=x0-2-ln x0=0,故 ln x0=x0-2,所以 (x0)= =x0.由( *)知, ax0,又 x0( 3,4),aZ,所以整数 a的最大值为 3.16分20.解:( 1)由 Sn=3an-2a1,得 Sn+1=3an+1-2a1,两式相减得 an+1=3an+1-3an,即 an+1=an.又 a10,故 an0,故 =为定值 .所以数列 an为等比数列 .4分(2)当 a1=时, an=()n,则 bn= = =2
13、- ,即 bn=2( - ). .7分所以 Tn=b1+b2+b3+bn=2( - )+2( - )+2( - )+2( - )=2( - )=4- .10分(3)由于 ak=a1()k-1及 a1均为正整数,所以存在正整数 m,使得 a1=m2k-1.所以 ak=m3k-1.因为 ak( q+1)k-1,得 m3k-1( q+1)k-1,(*)由于正整数 m1,故( q+1)k-1 m3k-13 k-1,所以 q+13,即 q2 .又因为 a1 qk-1,所以 =( )k-1,即() k-1( )k-1,所以 ,即 q2 .所以 q=2.将 q=2代入( *)式,得 m3k-13 k-1,即
14、 m1 .又正整数 m1,故 m=1.所以 a1=2k-1. .16分高三数学附加题考试卷数学 (附加题)21.【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 .若多做, 则按作答的前两题评分,每小题 10 分,共计 20 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.选修 4-1:几何证明选讲在 ABC中,已知 CM是 ACB的平分线, AMC的外接圆交 BC于点 N,且 BN=2AM.证明: AB=2AC.B.选修 4-2:矩阵与变换已知矩阵 A= ,A的逆矩阵 A-1= .(1)求 a,b的值;(2)求 A的特征值 .C.选修 4-4:坐标系
15、与参数方程在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 C的参数方程为 ( 为参数), 以原点 O为极点,以 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 sin(- )= .若点 P是圆 C上的动点,求点 P到直线 l距离的最小值 .D.选修 4-5:不等式选讲已知 a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(+)26 .【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,共计 20 分 .请在答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .22.(10分)如图,已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB AC,AB=3,AC=4,B1C AC1.(1)求 AA1的
16、长 .(2)若 BP=1,求二面角 P-A1C-A的余弦值 .23.(10分)某书店有不同类型的数学杂志 n种,张老师购买每种类型杂志的概率都是,且任何两种不同类型杂志其是否购买相互独立,设 X表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志种类数的差的绝对值 .(1)当 n=3时,求 X的概率分布及数学期望;(2)当 n=2k+1,kN *时,求 X的概率分布及数学期望 .高三数学附加题考试卷参考答案21.A.证明:如图,在 ABC中,因为 CM是 ACM的平分线,所以 = , .3分又因为 BA与 BC是圆 O过同一点 B的割线,所以 BMBA=BNBC,即 = , .6分又 BN=2AM,所以
17、 = , .8分由 ,得 AB=2AC.10分B.解:( 1)因 为 AA-1= = = .所以 解得 a=1,b=-. .5分(2)由(1) 得 A= ,则 A的特征多项式 f( )= =(- 3)(- 1).令 f( )=0,解得 A的特征值 1=1, 2=3.10分C.解:由直线 l的极坐标方程为 sin(- )= ,即 sin cos- cos sin= ,整理得,直线 l的普通方程为 x- y+ =0.2分又圆 C的参数方程为 ( 为参数), 消去参数可得( x- )2+y2=1.所以圆 C的圆心坐标为( ,0),半径为 1.4分故圆心 C到直线 l的距离为 d= = .6分所以点 P到直线 l的距离的最小值为 -1.10分D.证明:因为 a,b,c均为正数,由均值不等式得 a2+b22 ab,b2+c22 bc,c2+a22 ac.3分所以 a2+b2+c2 ab+bc+ac.5分同理 + + + + , .7分故 a2+b2+c2+(+)2 ab+bc+ac+ + + 6 .10分
