1、知识丛林 年第 期（ 总第 期 ）一、基本概念 入弧 ， 组成的弧集记为 。若 ， 则原网络多阶段情形下的有向网络容量扩张问题设有向网络 （ ， ， ） ， 其中 为节点 & ， ， ,的集合 ， 为节点之间的弧 & ， ， ， ,的集合 ， 是 上的非负实函数 ， 的分量 表示弧 的权或容量。令 是 中的一个特殊节点 ， 称它为发射点或网络中心 ， 其它点称为接受点或信息终端。以 为根的有向树 的定义为 ： 为有向图 ， 若不计弧的方向 ， 为一棵树 ， 且除 外 ， 每个点恰有一条入弧 ，而无入弧的节点 称为该有向树的根。设 （ ， ） 为有向网络 ， 若 !， （ ， ） 是一棵有向树
2、， 则 为 的树形图 ， 或称 为 的有向树形图。树形图 （ ， ， ） 的容量定义为树形图中弧的容量的最小值 ， 即 （） & ,=用（ ） 表示根在 的最大容量树 ， 即（ ） &（）,有 向 网 络 （ ， ， ） 的 容 量 定 义 为 （ ） 的值 ， 即根在 的最大容量树的容量。二、单阶段情形下的网络容量扩张问题（ 一 ） 问题的描述给定有向网络 （ ， ， ， ） ， 、， 定义如上 ， 的 分 量 表 示 弧 上 单 位 容 量 扩 张 所 需 费用。此时的网络容量扩张问题可以表述如下 ：要使扩张后网络的容量达到给定值 ， 如何扩张才能使所需的费用最小。这个问题涉及到哪些弧需要
3、扩张以及各需要扩张多少的问题。（ 二 ） 问题的求解设有向网络 （ ， ， ， ） 扩张后得到容量为 的新网络 ， 我们在此基础上构造辅助网络 费用网络 （，）， 、 定义不变 ， 的分量可以通过下述方式求出 ： 对 ， 有 ： 求出费用网络的以 为根的最小费用树形图 （ ） ， 则可得将网络容量扩张到 时的最小费用为 ：% 问题转化为如何求出费用网络中以 为根的最小费用树形图 ， 这个问题已有现成的算法 ， 这里没有支撑树形图 ； 否则若 ， 则去掉 中权最大的一条弧 （ 仍记为 ） ， 继续下一步 ； 否则直接 继续下一步。若 不包含圈 ， 则令 ， 转否则取 包含的一个圈 ， 继续下一步
4、。对 收缩 得到新的网络 （，）， 记人工节点为 。令 ， 转 。若 ， 则 就是 中的最小树形图 ， 结束 ： 否则继续下一步。 令 （ ）， 其中 是 中的一条弧 ： 如果 在 中有入弧 ， 则 取为与该入弧有相同末端的弧 ； 否则 取 中的权最大的一条弧。令 ， 转 。上述算法实际上包括两大过程 ： 收缩 （ ）和展开 （ ） 。每一个过程最多循环 次。朱 刘算法的总复杂度为 （ ） 。三、多阶段情形下的网络容量容量扩张问题（ 一 ） 问题的描述对给定网络 （ ， ， ） ， 、 定义如上 ， 我 位容量扩张成本向量 ， （ ） 表示系统的初始容量 ， 表示在阶段 所要求达到的容量 ，
5、，。多阶段容量扩张模型可以表示如下 ： （） ，（ 二 ） 问题的求解我们把这个问题看作一个 阶段的动态规划问题。其中 为阶段数 ， 表示阶段变量 （ ，） ，决策变量 表示在阶段 的容量扩张向量 ， 状态变量 表示阶段 中的容量向量。可以得到 ： ， ， ， 决策变量 在阶段 ， 状态 下的可行决策集为 （ ） M （ ） d， 第 阶段的指标函数我们简单叙述比较常见的朱 刘算法 ， 具体可参见王洪国 关于无向网络容量扩充 的 问 题 （ 见 山 东 为 大学学报 年 期） 。求以 为根的最小树算法 ：设 （ ， ， ） 为有向网络 ， 为节点 M ， ， ， ,的 集 合 ， 为 节 点
6、之 间 的 弧 M ， ， ,的 集 合 ， 是 上的非负实函数 ， 的分量 表示弧 的权 ， ff对于前述的多阶段容量扩张问题 ， 有如下递秩推公式 ：刘耕 是一个指定节点 ， 称之为根 ， 令 ， （ ， ， ）（，）。在 中对除 以外的每个节点取一条最小统计与决策 们考虑一个 阶段扩张模型。 （ ， ， ， ）表示 阶段的扩张向量 ， 分量 表示在阶段 ， 弧 上扩张的容量 ， （ ， ， ， ）表示阶段 的单$ ，（ ）， （ ） % % ， （ ， ）表示阶段 ， ， 的目标值。 如 f 是向量 的优化值 ， （ ）表示 （ ， ）的优化值 ， 则有 （ ） （ ， ） （ ） M
7、（ ） d （ ） （ ）f f f ） 的情形 ， 阶段的指标为 “ 。通 ） 中的最小树 （ ） 问题 ， 的分量 $（ ） ， $ ， ， 知识丛林 年第 期（ 总第 期 ） 与 结合法在城市可持续发展评价中的应用黄玲花 韦国燕主 成 分 分 析 法 （）以 其 理论和实践的简洁性 ， 所得结果的持续发展的指标体系。南宁市可持续发展是一个经表 南宁城市可持续发展指标体系一级指标 二级指标 三级指标 经济总体实力 国内生产总值（ 万元）客观性等特点 ， 广泛应用于经济、 济发展、社会进步、环境保护三者 年均增长率社会、科教等领域中众多对象的综合评价 ， 成为最常用的评价排序方法之一。层次分
8、析法（）是由 美 国 著 名 的 运 筹 学 专 家 于 本 世 纪 年 代 提 出 来的 ， 是一种可对人的主观判断作保持高度和谐的过程 ， 其具体包括经济、社会、环境三个子系统的可持续性。这 个子系统既相互独立 ， 又不可分割 ， 每个系统都具有各自内容和特点 ， 形成各自的指标体系 ， 但又紧密相关、相互制 经济可持续性 经济结构 经济效益 经济外向性 经济繁荣性 人口指数 第二产业 比重（ ） 第三产业 比重（ ） 人均 （元 人） 地均 （元 平方公里） 人均实际利用外资（ 美元 人） 人均社会消费品零售总额（ 元 人） 人口密度（ 人 平方公里） 人口自然增长率（ ）定量描述的方法
9、 ， 尤其适用多目标为主的决策。目前该方法己被广泛地应用于尚无统一度量标尺的复杂问题的分析。两种评价方法有相同的数学基础 ， 且都是相约、共同组成可持续发展城市的总体指标体系。相应地用“经济可持续指数 （）”、“ 社 会 可 持 续 指数 （） ”、 “环境可 持 续 指 数 （） ”来表示 ， 其相当于第一级指标 ， 也 基础设施水平 人均道路长度（ 米 人） 人均道路面积（ 平方米 人） 人均耗电量（ 千瓦时） 人均生活用水量（ 升 人日） 气化率（ ） 每百人电话拥有数对评价方法 ， 都适用于一次评价。 就是最高层次的指标 ， 第二级指层次分析法的相对权重是通过判 标 共 有 个 ， 第
10、 三 级 指 标 共 有 社会可持续性 生活水平 每万人拥有病床数（ 个 万人） 每万人客运量（ 人次 万人） 人均居住面积（ 平方米 人）断矩阵计算得来的 ， 但层次分析法从建立层次结果到合成对比矩阵 ， 人的主观因素较大 ， 而主成分分析则强调了评价的客观性 ， 因而两种综合评价方法有较大的差 个 ， 共同构成了南宁市经济、社会和环境协调发展指标体系的三个层次。具体指标（见表 ）。二、建立城市可持续发展综合评价模型 城镇居民人均年收入 农民人均纯收入 人均年末储蓄余额（ 元） 恩格尔系数（ ） 在岗职工年平均工资（ 元 人） 教育科技水平 儿童入学率异 和 互 补 性 。 本 文 利 用
11、与 结 合 的 方 法 来 研 究 城 市 的可持续发展综合评价。（ ） 利 用 主 成 分 分 析 法 的 特性来计算经济、社会、环境三个子系统的可持续指数。 生态环境 教育科技类经费占 比重 每万人专业技术人员数 人均公共绿地面积（ 平方米 人） 绿化覆盖率（ ）一、构建指标体系在借鉴国内外相关研究成果的基础上 ， 按一定的原则 ， 考虑南宁市的自然环境特点和社会经济发展水平以及指标数据的可得性 ， 参 考 年 南 宁 市考虑经济、社会、环境可持续指数所包含的因素指标比较多 ，对可持续发展的作用重要程度不同 ， 同时在选取指标时 ， 不可避免地加入了人为的因素 ， 使得有些指标对可持续发展
12、的作用可能相 环境可持续性 城市环境 环境控制 二氧化硫浓度（ 毫克 立方米） 氮化物浓度（ 毫克 立方米） 总悬浮颗粒（ 毫克 立方米） 降尘（ 吨 平方公里月） 市区交通等级（ 分贝） 饮用水源水质达标率 工业废水处理率 工业固体废渣综合利用率统计年鉴等资料 ， 设计南宁市可， ，互重叠。因此 ， 利用主成分分析的表示为 ： 建成区烟尘控制区覆盖率们可以把多阶段的容量扩张问题转化为通过上述的动态规划 ， 我们可以转换多阶段网络扩张问题成为一系列的单阶段网络扩张问题。考察上述问题在阶段 （ ， ， 过对前述单阶段扩张问题的研究 ， 我们知道此时问题转化为费用网络 （ ， ，V ， 其它此时的决策变量 的分量可以表示为 ： 其它四、结论本文把网络容量定义为带有固定根的最大容量树的容量 ， 通过动态规划 ， 我统计与决策单阶段的容量扩张问题 ， 而单阶段的容量扩张问题我们可以转化为带有固定根的最小树问题 ， 问题得以解决。本文中 ，网络容量的扩张仅限于对弧的容量的扩张 ； 在现实中 ， 还可以通过对点的容量扩张来实现 ， 这方面的工作 ， 有待于更进一步的研究。（ 作者单位 华中科技大学管理学院 ）（ 责任编辑 易永生 ）感谢您试用AnyBizSoft PDF to Word。试用版仅能转换5页文档。要转换全部文档，免费获取注册码请访问http:/
