1、数量关系之翻杯子、硬币问题一、什么情况下能翻成功 众所周知，一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1 次、3 次、5 次即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，不难发现：当杯子总数 n 为奇数而每次翻动的个数 m 为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数(奇数个奇数的和为奇数)，而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即： 杯子总数 n 为奇数、每次翻动的个数 m 为奇数，且需翻动奇数次; 杯子总数 n 为偶数、每次翻动的个数 m 为奇数，且需翻动偶数次; 杯子总数 n 为偶数、每次翻动的个数 m 为偶数，且翻动奇、偶次均可。
2、 以上三种情况为可成功的情况，且根据上述结论中翻动次数的奇偶性可排除部分选项。 二、最少需翻几次，怎样翻 最简单的情况是，当杯子总数 n 是每次翻动次数 m 的整数倍时，nm 即 为最少的翻 动次数。通常，考题中的 n 是不能被m 整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必3 次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数(n-m)和每次翻动杯子数 m之间的关系，可简化为以下三种情况考虑：n=m+1;n2m;n2m 时，需要 3. n2m (1)若 n 与 m 同偶或同奇，需 3 次。 (2)若 n 是偶数，m 是奇数，需 4 次。因为翻一次后，剩下的
3、杯子是奇数个，需将剩下的杯子任意一个翻一次，其它重翻补足，剩下的就变成偶数，再按上面的翻法就可以了，共 4 次。练习 1：有 8 个杯口全部向上的杯子，每次将其中 7 个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下? A.6 B.8 C. 9 D.几次也不能 【解析】首先判断能否成功，8 个奇数之和是偶数=7翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除 C、D 选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(表示杯口朝上，表示杯口朝下) 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 发现，每两次就能翻成两个，所以 8 个杯子每次翻 7 个需 8次翻成功，共
4、翻了 56 次，每个杯子翻了 7 次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数 n 的基础上另外增加了两个杯子，即有(n+2)个杯子。同理，若需要重复翻动 a 个杯子就可看做共有 (n+2a)个杯子需要翻动。显然，8 个杯子，每次须翻动 7 个，那么第二次翻动时，一定有 6 个杯子被重复翻动，可看成每次增加 26=12 个杯子，则翻动次数为(8+124)7=8(次)，8+124=56 表示总次数，还可知每个杯子均被翻了 568=7 次。 练习 2：有 13 个杯口全部向上
5、的杯子，每次将其中 5 个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下? A.3 B.4 C.5 D.几次也不能 解析：首先判断能否成功，13 个奇数之和是奇数=5翻动次数，翻动次数存在且必为奇数，排除 B、D 选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(表示杯口朝上，表示杯口朝下) 第 1 次 第 2 次 第 3 次 从左往右翻，当剩下的 杯子数是小于 2m 的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足，最后一次就刚好全部翻成，故选 A。练习 3：有 12 个杯口全部向上的杯子，每次将其中 5 个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下? A.4 B.5 C.6 D.几次也不能 【解析】首先判断能
6、否成功，12 个奇数之和是偶数=5翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除 B、D 选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(表示杯口朝上，表示杯口朝下) 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 从左往右翻，当剩下的杯子数是小于 2m 的奇数时，重复翻动凑 2m 个杯口向上的杯子，最后两次就刚好全部翻成，故选 A。练习 4：有 8 个杯口全部向上的杯子，每次将其中 5 个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下? A.4 B.5 C.6 D.几次也不能 解析：首先判断能否成功，8 个奇数之和是偶数=5翻动次数，翻动次数存在且必为偶数，排除 B、D 选项。接下来确定最少翻动次数。具体操作如下：(表示杯口朝上，表示杯口朝下) 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 重复翻动凑 m 个杯口向上的杯子，最后两次就刚好全部翻成，故选 A。练习 5：有 7 个杯口全部向上的杯子，每次将其中 4 个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下?A.3 次 B.4 次 C.5 次 D.几次也不能【解析】7 个杯子，即是奇数，每次翻转其中 4 个，则无论如何翻转也无法使其完全改变状态。
