1、 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校第 3 章 函数的应用函数与方程（1）一、预习导引1、回顾：二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系2、二次函数 ， 关于直线 对称，则 2()3yxa,xab1xb3、二次方程 的两根 、 当系数 满足 关系时两根均为正0bc12,c数，满足 关系时两根为一正一负4、已知 是偶函数，且其图像与 x 轴有四个交点，则方程 的所有实根之和为()fx ()0fx（ ）A、4 B、2 C、1 D、0二、知识点点拨设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为20axbca12,x12x，方程的根即为二次函数图象与 轴的交点f分布情况 两个负根即两根都小于
2、012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f函数零点存在性定理：一般地，如果函数 在区间 上图象是连续不断）的一条曲线，并且有)(xfy,ba，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得0)(bfa)(f）（ , ),(bac龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校，这个 也就是方程 =0 的根(注意：反之不一定成立)0)(cfcxf三、例题讲解例、求实数 的范围，使关于 的方程 的两根情况如下：m0)3(2mx(1)两个负根；(2) 两根都小于 1；(3) 两根都大于 1 ；(4)一个根大于
3、 1，一个根小于 1(5)两个根都在（0,2）内 (6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内(7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（ 1 ,3）内例、方程 必有一个根的区间是（ ）ln2xA.1,2B.,3C.,eD.3,例、 （1）求证：函数 在区间 上存在零点32()1fx2,1（2）当 （给出一个实数值即可）时，函数 在区间m 32()fxm上存在零点,例 4、：（1）求函数 的零点xy643（2）设函数 ，求函数 的零点)1,(,2)(f 41)(xfy例 5. 若关于 x 的方程 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为xm45|_。四、课堂练习：1.若方程 的两个根，都小于-
4、1，求 的取值范围。022axa2.已知关于 的方程 有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在02kxk(-1，0)之间，求实数 的取值范围。3、 已 知 ， 则 方 程 的 实 根 个 数 为01aaxa|log|()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个函数与方程（2）一、自学导引：1.函数零点存在定理:如果函数 在区间 上的图象是_的一条曲线,并且)(xfy,ba有_,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 _使得 ,)c0)(cf这个 也就是方程 的_.c0)(xf2.一般地,我们把_称为区间 的中点,(龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校
5、3.对于在 区间上_ 且_的函数 ,通过不断地把函数 的零,ba )(xfy)(xf点所在的区间_,使区间的两个端点_零点,进而得到零点_的方法叫做二分法.4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 （ ）A B C D 二、知识点点拨1、一般地，我们把 称为区间 的中点2ba),(ba2、对 于 在 区 间 上 连 续 不 断 ， 且 满 足 的 函 数 ， 通 过 不 断 地, 0)(f )(xfy把 函 数 的 零 点 所 在 的 区 间 二 等 分 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 零 点 ， 进 而 得 到 零)(xf点 近 似 值 的 方 法 叫
6、做 二 分 法 。（1）用 二 分 法 的 条 件 表 明 二 分 法 求 函 数 的 近 似 零 点 都 是 指 变 号 零 点 ，0)(bfa而 非 不 变 号 零 点 。（2）二 分 法 的 思 想 为 ： 首 先 确 定 有 根 区 间 ， 将 区 间 二 等 分 ， 通 过 判 断 的 符 号 ，)(xf逐 步 将 有 根 区 间 缩 小 ， 直 至 有 根 区 间 足 够 小 ， 便 可 求 出 满 足 精 度 要 求 的 近 似 根 。用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1、确定区间 ，使 ，给定精度 ；,ba0)(bf2. 求区间 的中点)(c3. 计算 ： cf（1）若 =0
7、，则 就是函数的零点； )(（2）若 ，则令 ，此时零点 ；0facb),(0cax（3）若 ，则令 ，此时零点 .)(bcab4. 判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值 （或 ） ；| b否则重复步骤 24三、例题分析：例 1、已知二次函数 的部分对应值如下表2yaxbcx -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求 的值，则方程的两个根所存在的区间是（ ）,abcoxyoxyxyoyox龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校A、 和 B、 和 3,12,43,1,C、 和 D、 和04例 2、：利用计算器，用二分法求方程 2 3x7 的近
8、似解（精确度 0.1）x分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的 ?解:原方程即 2 3x7 ,令 f（x）2 3x 7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如x x下):x 0 1 2 3 4 5 6 7f（x）2 3x 7 -6 -2 3 10 21 40 75 1424321-1-2-3-4-5-6-2 2 4 6 8 10fx = 2x+3x -70 1观察上图和表格,可知 f(1)f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点 x0.取区间(1,2) 的中点 x1=1.5,用计算器可得 f(1.5)0.33.因为 f(1)f(1.5)0,所以 x0(1,1.5),再取(1,1.5)的
9、中点 x2=1.25,用计算器求得f(1.25) -0.87,因此 f(1.25)f(1.5)0,所以 x0(1.25,1.5),同理可得 x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.06250.1, 所以原方程精确度为 0.1 的近似解为 1.4375.四、课堂练习1、函数在 的零点的大致区间是 （ ）2()lnfxA、 B、 (2,3) C、 D、, (1,e)(e,)2、方程 的解所在区间是 （ ）3lgoxA、 （0，2） B、 （1，2） C、 （2，3） D、 （3，4）3、下列方程在区间 内一定没有实根的是 （ ）,A、 B、
10、 C、 D、20xlg0x15x12logx4、用计算器求方程 的近似解（精确到 0.1） ；4x龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校函数模型及其应用（1）一、知识点拨：我们知道，指数函数 y=ax（a1） ，对数函数 y=logax（a 1） ，幂函数 y=xn（n0）在区间（0，+）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数 y=2x，y=x 2，y=log 2x 为例进行研究。二、例题分析：例 1、 1995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，问哪一年我国人口总数将超过 14 亿。分析：仔细阅读题目，认真审题，题目中问的
11、是哪一年我国人口总数超过 14 亿，根据题意，找出人口总数 y 与年数 x 的函数关系，列出相应的函数模型。解：设 x 年后我国人口总数为 y，则有 y=12（1+0.0125） x，依题意，得 y14，即 12（1+0.0125） x14，即（1+0.0125） x 124两边取对数，得 xlg1.0125lg14 lg12. 所以 x 12.4125.lg4答：13 年后，即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿。注意：也可利用 y=14，即 12（1+0.0125） x=14 来解题，但需注意的是根据实际情况如何来取近似值函数模型及其应用（2）一、知识点拨：1、利用给定函数模型或建立
12、确定的函数模型解决实际问题的方法：（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2、函数解决实际问题的一般方法，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：符合实际画散点图收集数据选择函数模型求函数模型用函数模型解决实际问题在于检验龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校不符合实际3、应用题的求解方法步骤：（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型
13、问题：（2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；（4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.三、例题分析（见课本）作业 1、求下列函数的零点（1） ； （2） )13)(2xxy3)(2xy2、 若函数 只有一个零点 2，那么函数 的零点是（ ）baf abg2、 、 、 、 ,01,1,03、对于函数 ，若 (mn)，则函数 在区间2fxc0fmfnxf内 （ ）,mnA、一定没有零点 B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一
14、个或两个零点4、已知二次函数 有两个相异零点 ，且函数 满足xfy21,xxfy，则fxf3215、二次函数 若 则 （ ） ，2()axbc1212()()fxfx12()fxA、 B、 C、 D 、 4acb6、求下列函数的零点：（1） ；（2） ；（3）452xy 20xy龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校o xyo xyo xyo xy1 1)23)()(22xxf7、若方程 在（0，1）内恰有一解，求 的取值范围 a a8、求实数 的范围，使关于 的方程mx062)1(2mx(1)有两个正实根；(2)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小；(3)有两个实根，且都比 1
15、大；9、 与 交点的个数为 （ ）()3xf()g：0 个 ：1 个 ：2 个 :3 个10、方程 的实根的个数 （ ）lo(0,1)xaA、当 时，方程没有实数解。 B、当 时，方程有两个实数解 1aC、当 ，方程只有一个实数解。 D、当 时，方程有两个实数解。 01011、方程 的根的范围为 （ ）2x(,)(,)B3(1,)2C(,)12、已知函数 2fxa(1)当 时， 恒成立，求 的取值范围R()(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围2,xfxa13、函数 在区间-2,4上的零点必定在( )内 ，其中 f(1.75)63)(23f0 A、 -2,1 B、 2.5,4 C、 1,1.7
16、5 D、 1.75,2.5 14、用二分法求方程 在（-1 ，0）上的近似值（精确到 0.1）(1)2(3)1xx15、利用计算器求方程 的近似解（精确到 0.1）lg1、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原有的绿化面积之比为 y，则函数 y=f（x）的图象大致形状为 ( )龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校2、某人 2004 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元。若年利率为 x,按复利计算,到 2007 年7 月 1 日取回的款为 ( )A、 元 B、 元 C、 元 D、 元3)(xa4)(xa3)1(x13xa3、某工厂产品前两年
17、每年递增 20%，经过引进先进的技术设备并实施科学管理，后两年产品成本每年递减 20%。那么该企业产品成本现在与原来比较 （ ）A、不增不减 B、约增 8% C、约减 5% D、约减 8%4、 某 纯 净 水 制 造 厂 在 净 化 水 的 过 程 中 ， 每 增 加 一 次 过 滤 可 以 减 少 水 中 杂 质 20% ， 要 使水 中 杂 质 减 少 到 原 来 的 5% 以 下 ， 则 至 少 需 要 过 滤 的 次 数 为 （ 参 考 数 据 lg2=0.3 010 ， lg3 = 0.4771 ） （）A、 5 B、 10 C、 14 D、 155、在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况。 （1）y=0.1e x100，x1，10（2）y=20lnx+100，x1，10（3）y=20x，x1，106、某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件，1.2 万件，1.3 万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 与月份的 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 .tx (,)xyabcb其 中 为 常 数已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
