1、2018 届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试（10 月） 数学（理）一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分）1、已知集合 ， ，则 等于（ ）1,023A2|17,BxNABA. B. C. D. ,430,1232、已知函数 ，则 的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）2()sinfxyfA. B. C. D. 1623、已知当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）02logaxA. B. C. D. (,)(1,2)(,1)22(0,)4、已知 ： ， ： ；则 是 的（ ）paqpqA. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分
2、也不必要条件5、已知函数 是偶函数，那么函数 的定义域为（ ）21fxaxblog1axA. B. C. D. 1(,(0,0,22,6、函数 的大致图象是（ ）34yx7、已知函数 ，若存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有sinco(0)fxx0xx 恒成立，则 的最小值为（ ）0()f0(216fA. B. C. D. 1264314328、已知定义在 R 上的函数 满足 ，且对任意的实数 ，都有 恒成立，fx2fx()5)1fx则 的值为（ ）(2017)fA. B. C. D. 15159、在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （ ） ABC 4=3BCcosA=x xyxy xyA.
3、 B. C. D. A. B. C. D. 310-10-3101010、已知函数 ，将 的图象所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标cos4()fxx()fx不变，再将图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，则 的一个单调递增6ygygx区间是（ ）A. B. C. D. 3,42,3,4,3611、定义在 内的连续可导函数 满足 ，且 对0()fx()0f2()()fxffx恒成立，则（ ）(,)xA. B. C. D. 1423f1(2)f16()8f1(2)4f12、已知函数 ，且函数 恰有 4 个零点，下列选项,ln(1)xf3Fxfafx中哪个集合内的 值均符合题意（ ）aA.
4、 B. 12345， ， 1ln24a， ，C. D. ， ， 35， ，二、填空题（4 小题，每题 5 分，共 20 分）13、若 ，则 的值是_314sincos267sin()14、已知点 ， ，P ，且 ，则 的取值范围是 .(,0)A(,)Bco,i0,BPA15、定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， 则Rfx(2)()fxf(2)x2()ln3)fxx在区间 上的零点个数是 .()fx,616、已知函数 ，如果存在唯一的 ，使得 成立，则实数 a 的取值3xfea0xZ0fxa范围是_三、解答题17、(本题满分 12 分)在 中，角 的对边分别为 ，已知 .ABC, ,abc2co
5、s0aBbC（1）求 ；（2）若 ，点 在 边上且 ， ，求 .3aDAC1534BD18、(本题满分 12 分) 设函数 1ln0fxax1-1 FQRPxyo（1）当 时，求 的极值；afx（2）如果 在 上恒成立，求实数 的取值范围()f0,a19、(本题满分 12 分)数列 满足 ，且 、 、 、 成等比数列. 设 .na2na21a37 1nnba（1）求数列 的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列 的通项公式）nb n（2）设 ，求数列 的前 n 项和.2+1cc20、(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中，设点 (1，0)，直线 : ，点 在直线 上移动，xoyFl1xl是线
6、段 与 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足： ， .RPFy Rl（1）求动点 的轨迹的方程；Q（2） 记 的轨迹的方程为 ，过点 作两条互相垂直的曲线EE的弦 、 ，设 、 的中点分别为 ABCDNM，问直线 是否经过某个定点？如果是，求出该定点，MN如果不是，说明理由21、(本题满分 12 分)已知函数 ， . 21lnfxx2lngxa（1）求证: ， ；1,x（2）若方程 有两个根，设两根分别为 ,求证: .0g122112lx22、(本题满分 10 分)在平面直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数） ，以坐标原xOy1Cxcosyin点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
7、 的极坐标方程为O 2C，直线 的极坐标方程为 2cos3inl 3（1）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；1C2（2）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求线段 的长lOM2CONMN23、(本题满分 10 分)已知函数 .6fx（1）求不等式 的解集；10fx（2）记 的最小值为 ，若正实数 ， ， 满足 ，mabcabcm求证： .23abc期中考试理科数学参考答案1-12：DBBAB BBDBC DA13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、540,211032239,)(6,ee17、解：（）由 及正弦定理，2cos0aBbC可得 ，2sincosiin
8、A即 ，由 可得 ，BAsinsinBCA所以 ，i10因为 ，所以 ，因为 ，所以 .0,si1cos2B0,23（）因为 ，所以 的面积 ，DAC1sin2SacbD把 ，带入得 ，21533,4aB75b由 得 ，所以 ，解得 .229bacc239c5c18、解：（1）由已知，当 时， ， ，11lnfx21lnfxx 3120fx 在 上单调递增，且 ， （2 分）fx0,0， 随 变化如下表：x0,11 ,f- 0 + 极小值 有极小值 ，没有极大值 （5 分）fx1f（2） （方法一）由题可得 恒成立，21(ln)ax当 时，上式恒成立；e当 时， ，又 ，故 （8 分）0x2(
9、1l)02(1ln)xa令 ，则 ， 令 ，2(ln)h(2ln)hx 0he当 时， ， 时， ，ee ，max()1l) ，解得： ， 的取值范围是 （12 分）1220ae20,e1-1 FQRPxyo（方法二）由题可得， 设 ，则 ，1ln,0gxax21lngxa ， 在 上单调递增， ， ，0ax0,g10ae 使得 ，则 ， （8 分）10,axe0g201lnax由 知 ，且 时， ， 时， ，xg0x0g ， ， ， ，00min2ln1g0le2a 的取值范围是 （12 分）a,e（方法三）由题可得 恒成立，21ln0fxaax令 ，则 ， （8 分）21lnhxa32h
10、时， ， 时， ， ，00x2a0hxmin22l0hxa ，解得： ， 的取值范围是 （12 分）ln1aae,e19、解：（）由 及 ， ， ， 成等比数列得 ，2n2a137a223117a即 ，解得 ， ，所以 ，21126a1212b，1nb1nnaan所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 . 31nn（）因为 2+1nbc+1513n+22.2nn.12ncc 325478 +12132nn+1632n20、 解： ()依题意知，直线 的方程为： 点 是线段 的中点，lxRF且 ， 是线段 的垂直平分线RQFPFP 是点 到直线 的距离点 在线段 的垂直平分线， 2
11、 分Q故动点 的轨迹 是以 为焦点， 为准线的抛物线，El其方程为： .4 分24(0)yx() 设 ， ，BA,NMyxyx,，由 AB CD，且 AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线 AB、CD 斜率均存在，.5 分设直线 AB 的方程为 )1(xky则 )2(412BA（1 ） （2 ）得 ，即 ，7 分kyAkyM代入方程 ，解得 所以点的坐标为 8 分)1(xk12x2(1,)k同理可得： 的坐标为 9 分N2,)直线 的斜率为 ，方程为M2kxyNM，整理得 ，11 分)12(12kxky )3()1(x显然，不论 为何值， 均满足方程，所以直线 恒过定点 123,0MN
12、R(,0)21、解：(1) , ln2fx.2111lnll0xx 下面证明：对 ，令 ，,ln1l()xhx则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，21 0xhhx1,0h即 ，即证得： .lnx,2fx(2)由 ，得 ，于是有 ， ，2l10gaxlna11lnax22lnax两式相加得 ， 2121n两式相减得 ，即可得 ， 2211lxax21lnxa将代入可得 ，21212 12lln()xxx即 ，112221l lnx不妨设 ，则 ，,()xot21lln(1)ttx由（1）可知 ，122ln,l1t又因为 ，212121212121212444lllnlnxxxx，即 .12121
13、2124ln,lnxx1212lnxx22、解：（）曲线 的普通方程为 ，即 ，Cy20y曲线 的极坐标方程为 ，即 12sin0sin因为曲线 的极坐标方程为 ，即 ，2co232cos3sin故曲线 的直角坐标方程为 ，即 2xyy214xy（）直线 的极坐标方程为 ，化为直角坐标方程得 ，l由 得 或 . 则 ，23,0yx,y32x394OM由 得 或 则 2,3xy0,x,23.y12N故 .4MNO23、解：（） 26,0,.xf当 时，由 ，解得 ；0x1x0x当 时，因为 ，所以 ；66当 时，由 ，解得208综上可知，不等式 的解集为 .f2,（）由（）知， 的最小值为 6，即 .（或者 ） ，所以xm6x6x，6abc由柯西不等式可得 123abc222abc2221323因此 .6m
