大长河露营问题.doc

1、沿着“大长河”露营问题摘要游客在“大长河”可以享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍流，因此许多游客选择在这条长河上露营几天。对于此问题，我们归结为两个：一个是安排一个最优的混合旅行方案，使得最大限度的利用露营地，并且要使船只尽可能少的接触到河上其它的船只，二是把我们发现的问题在模型中提出来，以便管理者作为改进经销的意见参考。我们把所有旅游时间分为忙时和闲时。在忙时，由于游客旅游次数比较多，而两个露营者又不能在同一时间占据同一个露营地，所以我们考虑“大长河”上露营地的利用率越高，总的旅游时间越短，那么“大长河”的管理者就会获利越大。我们采用“平移模型”对整个旅游模式进行设计，最终达到最大限度地利用

2、露营地。所谓“平移模型”就是指每天都选择同一种漂流工具，然后对每条橡胶筏（或机动帆船）都设定好当天的露营地点，就好像每天所有的游客都向前平移一样，这样我们就可以最大限度（全部）地利用“大长河”上的露营地，并且在河上的所有船只都不会碰面。但是此种模型在很好地符合条件的同时也是存在着问题的，那就是按照这种模式，所有旅客从头至尾都只能乘坐一种漂流方式进行游览，显得有些单调，最终使游客的满意度降低。所以我们又对该模型做了一些改进。对所有人征集意见，如果大多数的游客都愿意换漂流工具，那管理者就在第二天同时对所有人换漂流工具，这样就可以使所有旅客体验到不同的漂流方式。在闲时，由于来游玩的游客不是很多，所以

3、可以更大程度的按照游客自己的意愿来旅游。游客可以自由选择自己想的旅游时间，我们假设游客对旅游天数的选择服从泊松分布。根据搜集到的资料，我们可以得到机动船和橡胶筏的数量关系，因此我们可以得到游客选择机动帆船和橡胶筏的旅游天数的概率，对其归一化后，得到游客选择旅行的平均时长。假定游客可以自由选择每天的旅行路程长度，我们观察数据得到这个长度符合正态分布规律，则可得到计划旅行 i 天的游客每日旅行的路程，那么平均每日所有游客的旅行路程也可以得出。游客在河道上行驶，可以将问题模拟成流体在罐子中的流动，最终可以得到 X 与 Y 的关系式。对于给管理者的备忘录，我们主要针对在论文的写作中出现的一些问题及发现

4、做一个总结性的概括，然后提出一些改进的方法。关键词：平移法 满意度 计算机模拟 泊松分布 正态分布一、 问题重述游客在“大长河” （225 英里）可以享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍流。这条河对于背包客来说是进不去的，因此畅游这条河的唯一办法就是在这条河上露营几天。这次旅行从开始的下水点到最终结束点，共 225 英里，且是顺流而下的。乘客可以选择平均 4 英里/小时的以浆作为动力的橡胶筏或者平均8 英里/小时的机动帆船旅行。整个旅行从开始到结束会经历 6 至 18 个夜晚。负责管理这条河的政府机构希望到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历，以最少的接触到河上其它的船只。目前，每年在六个月期间

5、（一年的其余部分的天气对于河流旅行来说太冷） ，共有 次旅行，有 出露营地，露营地均匀的XY分布整个河道。由于漂流的受欢迎程度的上升，公园管理者已经被要求允许更多的旅游次数。问题一：他们想确定怎样可能安排一个最优的混合的旅行方案，不同的时间（单位为夜）和推动方式（马达或浆） ，最大限度的利用露营地。换句话说，在长河的漂流季，将会有多少更多的乘船旅行可以加进来？河流的管理者现在雇佣你，为他们提出最佳排程方式和河流承载能力的建议，记住两个露营者不能在同一时间内占据同一个露营地。问题二：准备一页备忘录，对河流的管理者描述你的主要发现。二、 模型假设1. 假设每次旅行在当天行驶过程中不考虑换船的问题。

6、2. 假设在这六个月中的游客数量可分为忙时和闲时。3. 假设每天的行船时间定为 9:00-15:00，即每天行船 6 个小时，其余时间在露营地游玩或休息。4. 假设大河的旅游路线是单程路线，船在河中是匀速旅行。5. 假设每个月按 30 天计算。6. 不考虑外界自然因素给船带来的影响；7. 假设题目中的六个月期间共有 次旅行，有 出露营地是已知的。XY三、 符号说明：第 天橡胶筏或机动帆船所行驶的距离；iS：两个露营地之间的距离；L：六个月期间总的旅行次数；X：露营地的个数Y：每天漂流速度的最大值，即 8 英里/小时；maxV：第 天的漂流速度；i：第 天漂流路程是 的 倍；ikLik：第 天某

7、一条船所经过的露营地点的个数（含此船当天的露营地点） ；ip：一次旅行的总时间（单位为夜） ；n：每天的行船时间，即 6 小时；t：旅行总路程的长度，即 225 英里。S：游客选择船的概率；mP：游客选择非机动船的概率；0：乘机动车游客旅行 天的概率；k1 k：乘橡皮筏游客旅行 天的概率；P2：归一后，乘橡皮筏游客旅行 天的概率；k0 k：归一后，乘机动车游客旅行 天的概率；m：所有的游客旅行天数平均为 天的概率；kPk：机动船的时速；mv：非机动船的时速；0：所有漂流旅客平均漂流时速；：机动帆船行驶的距离；ms：橡皮筏行驶的距离；0： 天旅行计划的每日旅客旅行路程；ki：平均每日所有旅客旅行

8、路程；： 天旅客每天行程的标准差；i四、 问题分析4.1 问题一的分析对于每年“大长河”露营旅游开放的六个月期间内，在最初和快要结束的那段时间相对于中间时间来说天气还是比较冷的，所以来“大长河”露营旅游的人数明显会比较少，也就可以说是对于“大长河”露营旅游的旅游淡季。因此，对于每年的“大长河”露营旅游的六个月期间，我们可以把其分为旅游的忙时和闲时。然后我们分别就旅游的忙时和闲时不同的时间，分别给出两个不同的混合旅游方案。由题目可知每年的六个月期间共有 次旅行，有 处露营XY地。我们不妨假设每个月共有 30 天，那么平均每天的旅行次数就是 次。每180天游客的旅游次数大于 时就定义为忙时，小于

9、时就定义为闲时。180X180对于忙时，由于旅游的人数比较多，如果我们能够最大限度的利用露营地，那么旅游的次数就会越多，从而达到使更多的乘船旅游加进来的目的。我们设计一个“平移模型”来作为管理者的旅游方案，所谓“平移模型”就是使所有的旅客在同一天都使用同一种漂流工具，然后规定所有船只的速度相同，出发时间相同，行船时间相同，就好像所有的旅客都是向前平移的一样。虽然这种模式整体看上去比较死板，但是对于每一位游客来说，他们在整个旅游过程中都不会遇到其他的船只，能够充分享受到野营的快乐，而且也能够使“大长河”的露营地得到最大限度的利用。后来，我们又对此模型进行了改进。就是征求所有旅行中旅客的意见，当大

10、部分的旅客都想换另一种漂流工具的时候，我们就同时在第二天对所有旅行中的旅客换另一种漂流工具，这样就可以使旅客在旅行中享受到两种不同的漂流方式。最终，我们算得按照这种模式来旅行，河流的承载能力就能够达到最大化为 条船只。而在忙时，每天的旅行次数1Y就会比平时的平均每天旅行次数多出 次。75680X对于闲时，来旅游的人数就会比较少，而且来旅游的时间也不能确定应该服从泊松分布，因此我们采用计算机模拟的方法来模拟出每天游客出发的时间，然后再根据具体的模拟情况来做出相应的乘船方案。由于在闲时游客的数量并不是很多，所以可以更大程度的按照游客自己的意愿来旅游。游客可以自由选择自己想的旅游时间，我们假设游客对

11、旅游天数的选择服从泊松分布。根据搜集到的资料，我们可以得到机动船和橡胶筏的数量关系，因此我们可以得到游客选择机动帆船和橡胶筏的旅游天数的概率，对其归一化后，得到游客选择旅行的平均时长。假定游客可以自由选择每天的旅行路程长度，我们观察数据得到这个长度符合正态分布规律，则可得到计划旅行 i 天的游客每日旅行的路程，那么平均每日所有游客的旅行路程也可以得出。游客在河道上行驶，可以将问题模拟成流体在罐子中的流动，最终可以得到 X与 Y 的关系式。4.2 问题二的分析在问题二中，题目要求我们准备一页备忘录，然后对管理者描述一下我们在得出模型的过程中的主要发现。我们认为这一点我们主要应该写的就是我们在得出

12、模型的过程中所考虑到的问题和解决问题的方案，以及我们对管理者所提出的一点建议。最终得出应该如何改进才能够使管理者既得到较大的收益，又能够提高游客的满意度。五、 模型的建立与求解5.1 “平移模型”的建立管理者希望达到的目的是到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历，因此我们必须使旅客尽可能少的接触到在河上的其他船只。我们建立的“平移模型”就是让所有的旅行中的旅客全都乘坐同一种漂流方式，然后规定他们的每天行船的时间相同，那么所有旅客在每天的行进的路程是相同的，就不会存在相遇的可能。而且这样所有旅客看似平移的方式也能够让“大长河”上的露营地能够得到最大化的利用，而在下水点处，管理者可以安排旅客在当天

13、的不同时间进行开船，以达到当天到达所有空余露营地的目的，又不至于两个露营者在同一时间占据同一个露营地。具体的从下水点出发的船只的出发时间和行船方案如图一所示，图二为假设每天出发的第一条船行驶的距离为 时的行船示意图。L8第一条船第二条船图一 在下水点的行船示意图1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16下水点图二 假设每天行船距离为 时的行船示意图L假如每天出发的第一条船行驶的距离为 ，那么如图二所示第一条船可到达第 8 号露营地，第二条船到达第 7 号露营地，第三条船到达第 6 号露营地，以此类推，则当天可旅行次数为 8 次。而在第 8 号露营地露营的旅客就

14、会相应的到达第 16 号露营地，在第 7 号露营地露营的旅客就会相应的到达第 15 号露营地，以此类推可以得到所有船只的行船方案。完成从下水点开始出发的船只模型后，对于河上的船只的行船方式就会很简单了，其具体的行船方式如图三所示。图三 旅途中的行船方案设某条船在旅游的第 天所行驶的路程为 ，船的行驶速度为 。i iSiV因为“大长河”的总长为 225 英里，而总共有 个露营地，所以每两个露Y营地之间的距离为： 125L设（1）)(84iii qV其中（2）旅 客 选 用 机 动 帆 船旅 客 选 用 橡 胶 筏01iq5.2 改进后的模型以上模型虽然最大限度的利用了露营地，但是游客从始至终只能

15、选择一种漂流方式，显然不能满足游客的要求，因此我们队模型又进行了改进。在整个模型中，我们考虑如果能够让游客能够在旅途中体验到两种不同的漂流方式，那么游客的满意度就会上升了。但是如何才能让游客既能够体验到两种不同的漂流方式，有能够达到尽可能少的与河上其他船只相遇，且最大限度地利用露营地呢？我们考虑，如果要换漂流方式的话，那么对于整条河上旅行的游客全都要换漂流方式才能过达到以上要求。因此我们采用征集旅客意见的方式，如果有大多数的旅客愿意选择换漂流方式，那么就由管理者在第二天来统一换漂流工具，而这只需要管理者在每一个露营地都能够设立可以换取的漂流工具。5.3 模型的求解我们定义“大长河”的最大承载量

16、为河流上船只总条数的最大值。因为“大长河”总共有 个露营地，再加上从最后一个露营地行驶到结束点的一条Y船只，因此可得此模型中“大长河”的最大承载量为 条船只。1Y由符号的定义及相互关系可得：（3）125)(84YLqVtSkpiiiiii由以上关系式可得，每天下水的船只个数为：（4）25)(tpii由 ， 可得每天的旅行次数最大为：小 时英 里 /8maxV小 时6t（5）75)1(6maxYp由此可得，在忙时每天的旅行次数就会比平时的平均每天旅行次数多次。即在忙时可以有 次的乘船旅行可以加进751680XY 180X来。5.3 闲时模型建立对于闲时，来旅游的人数就会比较少，而且来旅游的时间也

17、不能确定应该服从泊松分布，因此我们采用计算机模拟的方法来模拟出每天游客出发的时间，然后再根据具体的模拟情况来做出相应的乘船方案。5.3.1 计算机模拟计算机模拟是一种用来帮助人们在不确定的条件下进行决策的方法。人们在完全不了解事件的发生及其影响如何的条件下，从若干方案中选出一种行动方案来。计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。5.3.2 整个漂流过程的模拟当我们只进行一次旅游的时候，我们并不需要考虑露营地是否

18、已经被占领的问题，船只可以停在每一个露营地；当我们考虑两次旅游的时候，我们就要考虑两艘船的距离间隔，以至于推断出它们是否会相遇、露营地怎么安排的问题；当我们考虑整个漂流过程的时候，船与船之间的相遇问题就是我们重点要解决的问题，同时还有它们的碰面率。（1） 橡皮筏和机动帆船的比例旅游工具 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 total机动帆船 92 90 92 91 37 0 402橡皮筏 31 30 28 28 37 11 165总和 123 120 120 119 74 11 567百分比 21.69% 21.16% 21.16% 20.99% 13.05% 1.94% 100

19、.00%表一 各月各旅游工具所占比例旅游人数 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 total机动帆船 3139 3219 3251 2929 924 0 13462橡皮筏 787 846 851 739 705 183 4111总和 3926 4065 4102 3668 1629 183 17573百分比 22.34% 23.13% 23.34% 20.87% 9.27% 1.04% 100.00%表二 各月旅游人数所占比例旅游时间 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 total机动帆船 15996 17022 16788 14794 5076 0 69676橡皮

20、筏 7248 7052 6642 6011 8288 2618 37859总和 23244 24074 23430 20805 13364 2618 107535百分比 21.62% 22.39% 21.79% 19.35% 12.43% 2.43% 100.00%表三 各月各旅行工具全部旅行天数由表格一，我们可以得到游客选择游船动力的比例机动帆船： （6）7.05642mp橡皮筏： （7）310（2）露营天数由表格 2 和表格 3 可以得到原始数据中游客对旅游天数的选择5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 total 符号机动帆船平均天数 5.095890411 5.287977

21、6 5.1639 5.050871 5.493506 0 5.175754 1橡皮筏的平均天数 9.209656925 8.3356974 7.8049 8.133965 11.75603 14.30601 9.209195 2表 5-4 各月不同动力的船每人次平均旅游天数假设游客对旅游天数的选择服从泊松分布，得到机动帆船： （8）17.51!.)(ekp橡皮筏： （9）2.92!)(ek（3）橡皮筏和机动帆船与露营天数的关系为了使选择 618 天的概率和为 1，对所计算出的概率进行归一化机动帆船： （10）186)()(impk橡皮筏：（11）18620)()(ipk再考虑游客选择游船动力的

22、概率得到选择旅行时长的平均公式的概率 ：（12）)()()(0kkkpm天数 6 天 7 天 8 天 9 天 10 天 11 天 12 天机动帆船 0.095302 0.125254 0.144042 0.1472 0.135464 0.113297 0.086861橡皮筏 0.364315 0.269073 0.173888 0.0999 0.135465 0.024272 0.010457平均 0.229809 0.197163 0.158965 0.1236 0.135466 0.068784 0.048659天数 13 天 14 天 15 天 16 天 17 天 18 天机动帆船 0.

23、061471 0.040395 0.024776 0.0142 0.00771 0.00394橡皮筏 0.004159 0.001536 0.000529 0.0002 0.000052 0.000015平均 0.032815 0.020965 0.012652 0.0072 0.003881 0.001978表 5-5 橡皮筏和机动帆船与露营天数的关系（4）每日游客旅行路程假定游客可以自由选择每天的旅行路程长度，且这个长度符合正态分布规律。 假定时长为 i 天的游客，每天漂流的平均路程为 ilS假定一个每天最长的漂流时间 ht6max平均旅行速度 英里/小时8.0vpvm每日最长旅行长度于总

24、长度的比例（13）1.256axaxlltbi按照 原则确定 ：3（14）)18,7,6(31.0.iiii 天旅行计划的每日游客旅行路程：（15）2)()(iStii et图四 两种船河道旅行示意图平均每日所有游客旅行路程：（16）186)()(iitpt（5）截面法模拟游客流在以上的平均化计算的铺垫下，把问题模拟成流体在管子中的流动，在流量最大的情况下计算单位时间里通过某一截面的流体体积即可得到最大流量。（17）00180)(1)( XdstYs得到（18）)1(8.23YX5.4 给管理者的建议大长河的漂流活动是一个贴近大自然，享受野外经历的好地方。管理者们想要在河流的承载能力范围内增加

25、更多的旅游次数，同时也希望旅游者们最少的与其他船只相遇，最大程度的享受野外经历。为了达到这些目标，对于整条河流的排程表是必不可少的。为了得到最佳的排程表，我们在合理的假设下制定了合理的数学模型。经过多次的模拟，我们发现旅行次数和营地数目有着很大的联系。当营地数量增加时，一开始，旅行次数会增加，然后下降，最后趋于稳定。因此，我们建议管理者能够合理的调整营地的数量，同时使旅游次数达到最佳。从我们的模型中可以看出，每个营地的使用率各不相同，一些营地的使用率非常高，然而也有一些营地的使用率很低。由此我们可以猜测，那些使用率高的营地可能风景比较好，能够吸引更多的旅客露营。所以我们建议管理者能够在受欢迎的

26、营地附近多增加一些营地。同时在一些营地使用率较小的地方，我们在不影响总体的情况下，适当减少营地的数量。六、 模型的评价对于本文的数学模型，既有相应的优点也有一定的缺点。我们已经完成了两个主要的问题，寻找出了我们认为相对较优的排程方式，以及提出了我们对河流承载能力的意见。优点和缺点如下所示：优点：我们的模型首先将整个旅游季分为了忙时和闲时，根据不同的游客数量给出了不同的模型。在忙时，我们设计出了一个非常简单实用的“平移模型”，不但使得露营地的使用率达到了最大（百分百），而且也满足了所有的船只在河上都不会相遇的要求，并且也能让所有的旅客在以此旅行中体验到不同的两种漂流方式，从而能够很大程度上增加旅

27、客的满意度。在闲时，我们根据查找的资料得到了机动船和橡胶筏的数量关系，因此我们可以得到游客选择机动帆船和橡胶筏的旅游天数的概率，对其归一化后，得到游客选择旅行的平均时长。这样就可以满足游客的旅游时间，同样可使游客的满意度增大。缺点：在忙时旅行模式过于单一，行程安排时间过于固定，灵活性很低，不具有多样化。七、 模型推广增加旅行船速度的种类，例如有 2 英里每小时、4 英里每小时、6 英里每小时、8 英里每小时、10 英里每小时等等。可供旅客自由选择，提高满意度。在每个露营地都设置适当数量的多种类速度的船，供旅客调换速度。在每条船上都设置 GPRS 定位系统、摄像监控系统和警报装置。河流管理者可以

28、根据 GPRS 定位系统和摄像监控系统可以在电脑上清晰地看到每一条船在河内的旅行情况，包括船速的种类，船的个数，每条船之间的距离，河流管理者可以根据这些数据来计算相邻船之间的相遇情况，可以计算每条船到达露营地所需要的时间，以及相邻两条船相遇所需要的时间，为了使两船相遇次数尽量少，二者谁到前面最近的露营地所需要的时间最短，谁就要到该露营地去换不同速度的船，究竟由谁来传达要换传信息，可以由电脑软件系统自动设置，从而由每条船上的自动警报装置发出警报，此时旅客要去指定的露营地换不同速度的船，也可以限定相遇的次数，例如一条船相遇次数最多为 2 次，第三次就要换不同速度的船。河流管理者根据前几天发出船在河内的旅行情况，再确定在起点所要发的船速的种类及其船的数量。但是这种模式对于管理者来说必须达到很高的要求，适用范围并不是很广泛。不过，对于旅游者来说可以达到很高的舒适度。八、 参考文献1 张兴永，朱开永数学建模M徐州：中国矿业大学出版社，1992。2 萧树铁，数学实验 M北京：高等教育出版社，1999。3 韩中庚，数学建模方法及应用北京：高等教育出版社，2005。4 肖华勇，基于 MATLAB 和 LINGO 的数学实验.西安：西北工业大学出版社，2009。