1、广东省广州市华南师范大学附属中学 2018 届高三综合测试（二） 理科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 1|xA， 13|xB，则（ ）A 0|B B RA C |x D 2 i13（ ）A B i21 C i2 D i23已知点 ),(， )3,(，则直线 AB的倾斜角是（ ）A 06 B 0 C 01 D 0154设 R，则“ 2|”是“ 2sin”的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C即不充分也不必要条件 D充要条件5为了得到函数 )521sin(3x的图象
2、，只要把 xy21sin3上所有点（ ）A向右平移 个单位长度 B向左平移 5个单位长度 C向右平移 5个单位长度 D向左平移 个单位长度6设 1k，则关于 yx,的方程 1)1(22kyxk所表示的曲线是（ ）A长轴在 轴上的椭圆 B长轴在 y轴上的椭圆 C实轴在在 轴上的双曲线 D实轴在在 轴上的双曲线7若 2x是函数 12)()xeaxf 的极值点，则 )(xf的极小值为（ ）A 1 B 3e C 35 D18已知函数 )sin()xf，且 20)(dxf，则函数 )(xf的图象的一条对称轴是（ ）A 65x B 17 C 3 D 69若直线 bxy与曲线 243xy有公共点，则 b的取
3、值范围是（ ）A 21, B ,1 C 21, D 3,2110已知奇函数 )(xf在 R上是增函数， )(xfg.若 )5.0log(a， )(8.0gb， )(gc，则cba,的大小关系为（ ）A B abc C cb D ac11设 )(xf是定义在 R上的偶函数，对 Rx，都有 )2()(xff，且当 0,2x时，12，若在区间 )6,2(内关于 的方程 10logxa恰好有三个不同的实数根，则 a的取值范围是（ ）A ),( B ),1( C )2,4(3 D 2,4(312如图，半径为 1 的扇形 AO中， ， P是弧 AB上的一点，且满足 OBP， NM,分别是线段 O,上的动点
4、，则 PNM的最大值为（ ）A 2 B 23 C1 D 2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 4tan62cos34in 14已知非零向量 b,满足 |3|b， |2ba，则 与 的夹角的余弦值为 15设函数 0,2.1)(xf，则满足 1)()xf的 x的取值范围是 16已知函数 f的定义域为 R，若存在常数 0m，对任意 R，有 |)(|xmf，则称 )(xf为F函数，给出下列函数： 2)(xf； xxfcosin)(； 12； )(xf是定义在 R上的奇函数，且满足对一切实数 21,x均有 |2)(| 211xxff.其中是 F函数的序
5、号为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17在 ABC中，角 ,的对边分别为 cba,，且 BcaCos3os.（1）求 cos的值；（2）若 2，且 b，求 和 的值. 18在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， CDAB/， 06， FC平面 ABD，BDAE， FC.（1）求证： 平面 E；（2）求二面角 的余弦值.19某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 ,2143，且各阶段通过与否相互独立.（
6、1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ，求 的分布列、数学期望.20在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： )1(2bayx的离心率 23e，且椭圆 C上一点N到点 )3,0(Q的距离最大值为 4，过点 )0,3(M的直线交椭圆 C于点 BA,.（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P为椭圆上一点，且满足 OPtBA（ 为坐标原点） ，当 3|时，求实数 t的取值范围.21已知 axexfln)(，其中常数 0.（1）当 a时，求函数 )(f的极值；（2）若函数 xfy有两个零点 )(,2121xx，求证： axa21；（3）求证： 0ln12e.选做题：
7、22在直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为1)3cos(， NM,分别为 C与 轴， y轴的交点.（1）写出 C的直角坐标方程，并求 ,的极坐标；（2）设 的中点为 P，求直线 的极坐标方程.23.已知 |1|)(axf，不等式 3)(xf的解集是 21|x.（1）求 的值；（2）若 |3)(kf存在实数解，求实数 k的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：ADCAC 6-10：DAADC 11、12：DC二、填空题13 43 14 1 15 ),4( 16 三、解答题17 （1）由正弦定理得 CRcBbARasin2,si,sin2，则 C
8、BRoco6cosin2，所以 Bsi3si所以 BACBcosin3)sin(由此可得 ，又因为在 中 0si，所以 31s；（2）由 2BCA得 2coBa，由（1）知 31cos，所以 6，又由余弦定理 12cs222 cab，于是有 162ca，解得 6，所以 .18.证明：（1）因为四边形 ABCD是等腰梯形， CDAB/，06DAB，所以 012.又 C，所以 03，因此 09， BA，又 BAE，且 D， AE,平面 D，所以 平面 .（2）解法一：由（1）知 B，所以 BC又 FC平面 ，因此 FC,两两垂直，以 为坐标原点，分别以 CA， B， F所在的直线为 x轴， y轴，
9、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 1，则 )0,(， ),1(，)0,213(D， )1,(因此 ),(B， )1,0(BF设平面 F的法向量为 ,3m由于 zyx3，取 1，则 )1,(，由于 ),0(C是平面 BDC的一个法向量，则51|,cosCFm所以二面角 BD的余弦值为 .解法二：如图，取 BD的中点 G，连接 FC,由于 C，因此 ，又 F平面 A， 平面 ABD，所以 ，由于 G， F,平面 CG,所以 BD平面 C，故 ，在等腰三角形 中，由于 012BD，因此 21，又 CFB，所以 CGFG52，故 5cos，因此二面角 BD的余弦值为 5.19、(1)记“该
10、选手通过初赛”为事件 A， “该选手通过复赛 ”为事件 B， “该选手通过决赛”为事件 C，则 41)(,2)(,43)(CPBAP那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是： 83)21(4)()( BPAp.（2） 可能取值为 1,2,3 413)(1(AP， 83)21()(B，)()3(的分布列为：1 2 3P48的数学期望 8173241E.20、 （1） 22abce， 24ba，则椭圆方程为 142yx，即 22yx设 ),(yN，则 2222 )3(4)3()0(| ybQ196322 yb当 1y时， |有最大值为 24b，解得 2b， 2a，椭圆方程是 1yx（2）设 ),(1yx
11、A， ),(2B， ),(P， AB的方程为 )3(xky，由 432k，整理得 04364)(222xk由 0)1(96224k，得 512221x， 2143x， ),(,(21yxtyOBA，则 )41(2)(1ktxt， )41(6)( 22121 ktxtyt 由点 P在椭圆上，得 )()4(222tkt化简得 1362k又由 3| 2xAB，即4)(11212xk，将 21x， 1代入得3)6()(222k，化简，得 0)18k，则 ,0122， 582k由，得 22241936kt，联立，解得 t， 3t或 2t21、函数 )(xf的定义域为 ),0(，（1）当 ea时， exf
12、xln)， xef)(，而 xf)(在 ,(上单调递增，又 01，当 0时， 0)1fxf，则 )(xf在 ,上单调递减；当 1x时， () ，则 在 上单调递增，所以 )(xf有极小值 0)1(f，没有极大值.（2）先证明：当 0)(xf恒成立时，有 ea0成立.若 ex10，则 )1(lnxae显然成立；若 ，由 0)(f得 l，令 1ln(xe，则 2)1(ln)xe，令 (eg，由 01)(2xg得 )(xg在 ),1e上单调递增，又因为 0)，所以 )(x在 ,上为负，在 ,上为正，因此 (x在 1,e上递减，在 1上递增，所以 )1()(min，从而 ea0.因而函数 )fy若有两
13、个零点，则 ea，所以 aef，由 )(ln)(eaaf得 2l(f，则011e，所以 2l)(fa在 ),(e上单调递增，所以 3 ef ，所以 aafln)(在 ),(e上单调递增，所以02e，则 0)(1af，所以 ax21，由 得 aeeaf lnln)(10ln1aaee，则 0)1(f，所以 1xa，综上得 x21.（3）由（2）知当 ea时， 0)(xf恒成立，所以 0ln)(exxf ，即 xexfln)(，设 )0hx，则 xeh1)(，当 10时， ，所以 g在 ),0(上单调递增；当 x时， )(x，所以 )(x在 1上单调递减；所以 0ehx的最大值为 eh，即 ex1
14、，因而 2，所以 2ln)(xxeef ，即 0ln)(12xefx22、 （1）由 1)3cos(得 )si3co，从而 C的直角坐标方程为23yx，即 2yx0时， ，所以 )0,(M，2时， 3，所以 2,3N.（2） 点的直角坐标为 )0,(， 点的直角坐标为 )32,0(，所以 P点的直角坐标为 )3,1(，则 P点的极坐标为 )6,(，所以直线 O的极坐标方程为 ),(,6.23.解：（1）由 |1|ax，得 31ax，即 42ax当 0a时， 42，因为不等式 3)(xf的解集是 |x所以 241a解得 a当 0时， ax因为不等式 3)(f的解集是 21|x所以 142a无解所以 .（2）因为 32|)1()2(|31|2|3)( xxxf所以要使 |)kf存在实数解，只需 3|k
