1、2018 届广东省仲元中学、中山一中等七校高三第二次联考 理科数学数 学（理科） 201712第卷(选择题 共 60 分)一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ( )0)3(2,0,ln3xBexyA BA则A B. C. D. 3,222已知 且 若 为实数，则实数 的值为（ ）为 虚 数 单 位 ，i ,21,1izimz1zmA2 B C D2 213已知 为奇函数， ， ，则 =（ )(xf 1)(f )()(fxf)3(f）A B 1 C D 221234若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆
2、的焦点和顶点，则该双 1xy曲线方程为（ ）A B. C. D. 21xy21xy2x213xy5已知 ， ，则 等于（ ）3)sin(,0)sin(A B C D97979249246若执行右面的程序框图，则输出的 k值是（ ）A3 B. 4 C. 5 D. 67.下列说法正确的是（ ）A “若 1a，则 2”的否命题是“若 1a，则 2”. B “若 ，则 ”的逆命题为真命题.mbaC ，使 成立. )0(0， x0034xD “若 ，则 ”是真命题.tan8.若函数 的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）)(fy)1,a且 31nn 开 始 n=3， k=0 n为 偶 数 n=8
3、 输 出 k 结 束 k=+1 是 否 是 否 2nnA B C D 9. 已知实数 、 满足 ， 则使 的 ab4)2()(2b02ba概率为（ ）A. B. C. D.42431310. 如图，网格纸上小正方形的边长为 l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积 为（ ）A. B. C. D. 201816811. PQ 为三角形 ABC 中不同的两点, 若 ,PABC,则 :BQS 为（ ）053CBAA B C D 1759712.设定义在 R 上的函数 ，对任意的 ，都有 ， 且 ，当 时，xfRx)1(xff02f1x，则不等式
4、的解集为（ ）0xf 01lnA. B. C. D.1,第卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2223 为选考题, 考生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13. 在ABC 中， 3，b ，c2，那么 B 等于_ _. a714. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“
5、钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，乙所得为_ _钱.15.已知函数 ，则 24sinxxf_1dxf16.已知 与函数0i6kf k， 函 数 4)3cos()(xkg若 ，使得等式 成 立 ， 则 实 数 的 取 值 集 合 是 _.32,6,34st都 )(sgtfk三、解答题:本大题共 7 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)设数列 满足na naa2)1(53321 （1）求 的通项公式；（2）数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 nSn nb231)(log2nnabb18 （本小题满分 12 分）网上购物逐步走进大学
6、生活，某大学学生宿舍 4 人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物，掷出点数小于 5 的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物。（1）求这 4 个人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率； （2）求这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率： （3）用 ,XY分别表示这 4 个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记 =|XY，求随机变量 的分布列与数学期望 .()E19. (本小题满分 12 分)已知长方体 中， ， ， 为 的中点，如图所示.1AC2BD1A1CD(1)
7、证明： 平面 ；/1(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的大小的余弦值 .1E20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的上、下、左、右四个顶点分别为 A、 B、 C、 D， x轴正半轴上的某21(0)xyab点 满足G43GCAD，（1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为 、 ，点 在圆 上，1F2M22xyb且 在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 , 两点，M2xybPQ求证： 的周 长 是 定 值 2PFQACDA1B1C1BD1 E21. （本小题满分 12 分）设函数 ).0(3)(,1ln)( axgxaxf（1）求函数 的单调增区间；f（2）当 时，记 ，是否存在整数
8、 ，使得关于 的不等式 有解？a)()(xfh x)(2xh若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由。请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程.已知直线 .23,1:tyxl（ 为参数） ，曲线 ,sinco:1yxC（ 为参数）.（1）设 l与 1C相交于 BA,两点，求 ；（2）若把曲线 1上各点的横坐标压缩为原来的 21倍，纵坐标压缩为原来的 23倍，得到曲线 2C，设点 P 是曲线 2上的一个动点，求它到直线 l的距离的最小值.23. （本小题满分 10 分）选修
9、4-5：不等式选讲.设 .()1fxx（1）求 的解集;2（2）若不等式 ，对任意实数 恒成立，求实数 x 的取值范围.1()afx0a2018 届七校第二次联考理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A C B D B C A B A12 解析：由 可知， 关于 中心对称；当 时， 可知)(xff)(xf)0,11x0xf在 上单调递增，且 ， ，)()(xeg,12g )(,2(;0)(2, gg时时于是可得 ， 又由 关于 中心对称可知)(,(;0)(2xfxf时时
10、xf,， 所以答案为 A)(1,0,),( x 时时二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13. 14. 15. 16.367322三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【解析】 （1）数列a n满足 naa2)1(5321 n2 时， 2 分)(53132n（2n1） =2n = 4 分na当 n=1 时， =2，上式也成立 5 分1 = 6 分n（2 ）由 = 得 12n23)1(log2nnabbnS= 31 31n 8 分24(1)4n数列 nb的前 项和 nS2 12 分18.【解析】 （1） 每
11、个人去淘宝网购物的概率为 13p，去京东商城购物的概率为 213p这 4 个人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率为 2248()7C 3 分（2） 44(4,)()(1)(0,1234)kkXBpPXCp: ，这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为 1(3)(4)9PX来6 分（3） 可取 0,2 7 分8()()274021(3)1(4)(0)8PXP10 分随机变量 的分布列为12 分148()E19 【解析】几何解法（1）连接 交 于 ，因为在长方体 中，所以1BCM1AC为 的中点，又 为 的中点ME1D所以在 中 是中位线，所以 ，11/BD又 平面 ， 平面
12、 ，E11所以 平面 ；5 分/1BDC1（2）因为在长方体 中，所以 ，A1/C平面 即是平面 ，过平面 上11BE点 作 的垂线于 ，如平面图，F因为在长方体 中， 平面 ， 1C1平面 ，所以 ，FB1 A1，所以 平面 于 . AB1DF过点 作直线 的垂线于 ，如平面图，EMN来源:* 科*网Z*X*X*K024P274081781MB1平面图FC1CBMD11C1BAENF平面图ACDA1 B1C1BD1 EM连接 ，由三垂线定理可知， .由二面角的平面角定义可知，在 中， NB1 EMNB1 FNBRt1即是平面 与平面 所成锐二面角的平面角 . F1ADC因长方体 中， ， ，
13、在平面图中，21A，10 分521B， ， ，03FM1C1E在平面图中，由 相似 可知 ， 11FMNEFC12503所以 ，NFB1tan1251cos所以平面 与平面 所成锐二面角的大小的余弦值为 . 12 分1ABDEC1 5空间向量解法：（1）因为在长方体 中，所以 两两垂直，于是以 所在直线分别为11,DA1,DCA轴，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，zyx,因为 , ，所以 ，2ABD1)0,(， ， ， ，)1,0()(),(2C.所以 ， ，E1)1,(B，2 分),(C令平面 的一个法向量为B1 ),(zyxm所以 ， ，从而有，E，即 ，不妨令 ，得到平面
14、的一个法向量为 ， 01mCzyx021xECB1 )2,1(m而 ，所以 ，又因为 平面 ， 41BDmBD1所以 平面 . 5 分/E1（2）由（1）知 ， ，令平面 的一个法向量为 ,)0,2(A),2(11ABD)(zyxn所以 ， ，从而有，n1ACDA1 B1C1BD1 Exyz，即 ，不妨令 ，01nBDA02zyx1x得到平面 的一个法向量为 ， 10 分1 )2,(n因为 . 11 分m,cos5941所以平面 与平面 所成锐二面角的大小的余弦值为 . 12 分1ABDEC1 520【解析】 （1）设点 P的坐标为 0,x（ 0） ，可知 24a， 3， 2 分04xa， .
15、 4 分232b因此椭圆的方程是 5 分198xy（2）方法 1：设 ，则 ， 6 分12,(,)PQ2198xy，222 211211()(3)Fxyx ， ， 8 分103123PF在圆中， 是切点，M ， 10 分222221111|8()893xOxy ，2133PF同理 ， ， 11 分Q236FPQ因此 的 周 长 是 定 值 12 分26方法 2：设 的方程为 ，P(0,)ykxm由 ，得 7 分1892xmky 072918)9(2设 ，则 ， ， 8 分),(),(21yQP22198kmx2198kx | 21xk1212()42221897()4kmk， 9 分22(8)
16、 与圆 相切， ，即 ，PQ2yx21k21km ， 26|89km ， 10 分22 2112118()(3)9xPFxyx ， ，10323同理可得 ，2(9)xQ ， 11 分12 22266638989kmkmFP因此 的 周 长 是 定 值 12 分21. 【解析】 （1） 1 分2)( xax )0(1)(2xxa当 时，由 ，解得 ；a01当 时，由 ，解得 ；)(当 时，由 ，解得 ；10x0x当 时，由 ，解得 ；a0a1综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；a)( ),(当 时， 的单调递增区间为 ；1)(x),当 时， 的单调递增区间为 ； 4 分0a10(a（2）方法
17、一：当 时， ，1a xxhxgf ln)3(),3),ln) ， ， 在 单调递增，xxh3ln)(2h,0，1l),0223 所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ， 7 分(0)(x31ln00x8 分00minln)3)()(xhx10 分)9(613020 x记函数 （ ） ，则 ，)9(6)(xxr23091)( 2xxr在 上单调递增， 11 分2,3所以 ，即 。)()(0rr)2,()0h，且 为整数，得 ，2所以存在整数 满足题意，且 的最小值为 0. 12 分方法二：当 时， ，1a xxhxgf ln)3(),3)(,ln)( 由 得，当 时，不等式 有解 6 分0)(h2下
18、面证明：当 时，不等式 恒成立，即证 恒成立。h2显然，当 时，不等式恒成立。),3(x只需证明当 时， 恒成立。1ln(x即证明 ，令 ， 9 分02ln32m，由 ，得 。 10 分22)3(98)()(xxm0)(x74当 ；当 ；,74,1（,74（m，012ln3)2ln(1)ln()()(max 当 时； 恒成立。2h综上所述，存在整数 满足题意，且 的最小值为 0. 12 分22.解（1） 的普通方程为 13xy， C的普通方程为 12yx.2 分联立方程组 ,2x解得 与 1的交点为 3,0,BA， 则 1AB.5 分（2） C的参数方程为 ,sin23co1y（ 为参数） ，故点 P的坐标是 sin2,co1，从而点 P到直线 的距离是 24sin2432sin3cod，8 分由此当 14sin时， 取得最小值，且最小值为 16.10 分
