1、阶段性测试题九( 立体几何)本试 卷分第卷( 选择题 )和第卷( 非选择题) 两部分。满分 150分。考试时间 120 分钟。第卷( 选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014抚顺二中期中) 已知 a，b，c 是三条不同的直线， ， 是三个不同的平面，下述命题中真命题的是( )A若 ac，bc ，则 ab 或 abB若 ，则 C若 a ，b ，c ，ab，ac，则 D若 a，b，ab，则 答案 D解析 由 ac，bc 知，a 与 b 可平行可相交，也可异面，故 A错；由直棱柱相邻两个侧
2、面与底面都垂直知 B 错；当 l，al，bcl 时，可满足 C 的条件，故 C 错；ab， a，b，又 b， ，D 正确2(2014康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线 l，m 和不重合的两个平面 ，下列命题正确的是( )Alm，l，则 mB m ，l ，则 lC ，l，则 lDlm，m，l ，则 答案 D解析 l ，lm，m 时，l ，故 A 错；m ，当 l 且lm 时，l ，当 l 与 m 相交时，l 与 相交，故 B 错； ，当 l，l 与 和 的交线垂直，l 时，但 l 不成立，故 C 错；lm，l，m 或 m，又 m，故 D 正确3(2014山东省博
3、兴二中质检) 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积值最大的是( )A8 B6 2C 8 D102答案 D解析 由三 视图知，该几何体直观图如图，其中ABC 为以 B为直角的直角三角形，AB4，BC3，高 PA4，SABC 436， SPAB 448，S 12 12PBC PBBC 4 36 ，SPAC ACPA 5410，故12 12 2 2 12 12选 D.4(2014河南淇县一中模拟) 将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析 在 侧视图中，D 1 的射影为 C1，A 的射影为 B，D 的射影为 C，AD1 的射
4、影 BC1为实线(右下到左上)， B1C 为虚线，故选 B.5(文 )(2014浙北名校联盟联考 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A4 B8C 4 D83 3答案 B解析 作出几何体的直观图如图，这是一个三棱锥 PABC，其中 P 在底面射影为 D 点，PD2 ，AD3，CD1，E 为 AC 的中3点，BE AC，BE2 ，故几何体的体积 V S313ABCPD ( ACBE)PD8，故 选 B.13 12(理)(2014 康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A1 B2 C3 D4答案 A解析 由三 视图知，
5、该几何体是一个三棱锥 PABC，其中底面 ABC 为直角三角形， A 为直角，顶点 P 到 A，C 的距离相等，P点在底面的射影 D，满足 ACBD，且 BD AC1，PD3，画出其直12观图如图所示，其体积 V SABCPD ( 21)31.13 13 126(2014辽宁师大附中期中) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A246 B24 4C 286 D28 4答案 A解析 由三 视图知，该几何体为组合体，其上部为半球，半球的直径为 2 ，下部为长方体，长、宽、高为 2,2,3，其表面积为 243 2 4( )2( )2246 ，故选 A.12 222 2227(2
6、014高州四中质量监测) 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为 2，则该几何体的体积为( )A24 B243 2C 24 D2432答案 C解析 由三 视图知，该几何体是由长、宽、高分别为 3、4、2 的长方体内挖去一个底半径为 1，高为 3 的半圆柱后剩余部分，其体积V3 42 (123)24 .12 328(2014山西曲沃中学期中) 已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上的两点，AB2.ASCBSC45，则棱锥 SABC 的体积为( )A. B.33 233C. D.433 533答案 C解析 设 球心为 O，ABO 所在平面截球 O 得截面如图，OAOBABOSO
7、C2，ASC BSC45，SC平面ABO，VSABC V SABO V CABO 2V SABO 2 ( 22)13 342 ，故选 C.4339(文 )(2014陕西工大附中四模 )如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可12以是( )答案 C解析 若俯 视图为 A，则该几何体是棱长为 1 的正方体，体 积V1；若俯视图为 B，则该几何体是底半径为 ，高为 1 的圆柱，其体12积 V ( )21 ；若俯 视图为 D，则该几何体是底半径 为 1，高为 112 4的圆柱的 ，其体积 V 121 ；若俯视图为 C，则该几何体是直14 14 4三棱柱
8、，底面直角三角形两直角边长为 1，棱柱高为 1，体积为V( 11)1 ，因此选 C.12 12(理)(2014 开滦二中期中)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB1，AC 2，BC ，D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点，则直线3DE 与平面 BB1C1C 所成的角为( )A. B.6 4C. D.3 2答案 A解析 取 AC 中点 F，则 DF 綊 BE，DEBF，BF 与平面 BB1C1C 所成的角为所求，AB 1，BC ，AC2， ABBC，3又 ABBB1，AB平面 BCC1B1，作 GFAB 交 BC 于 G，则 GF平面 BCC1B1，FBG 为直线 BF 与平面
9、 BCC1B1 所成的角，由条件知 BG BC ，GF AB ，12 32 12 12tanFBG ，FBG .GFBG 33 610(2014 绵阳市南山中学检测) 设 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，有下列四个命题：若 m，则 m；若 ，m，则 m ；若 n，n，m，则 m ；若 ， ，m，则 m .其中正确命题的序号是( )A BC D答案 D解析 由两个平面平行的性质知正确；n， n，又m，m，正确，故选 D.11(文)(2014 云南景洪市一中期末 )一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 1 的圆，则这个几何体的体积是( )A. B43C. D.
10、23 3答案 B解析 由三 视图知，这是一个半径为 1 的球，截去 ，故其体积14为 V ( 13).34 43(理)(2014 吉林延边州质检)正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱BB1 的中点 (如图)，用过点 A，E，C 1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )答案 C解析 由条件知 AE平面 DD1C1C，平面 AEC1 与平面 DD1C1C相交，故交线与 AE 平行， E 为 BB1 的中点，故取 DD1 的中点 F，AE綊 C1F，故截面 为 AEC1F(如图 1)，截去正方体的上半部分后，剩余部分几何体直观图如图 2，故其左视图形状与直角梯形 F
11、D1A1A 相同，且 C1E 的射影为虚线，由于 B1E AA1，故 E 点射影在直角梯形下底12的中点，故选 C.12(文)(2014 吉林省实验中学一模 )已知正三棱锥 PABC，点P、A、B、C 都在半径为 的球面上，若 PA、PB 、PC 两两互相垂3直，则球心到截面 ABC 的距离为( )A. B.2 3C. D.33 233答案 C解析 由条件知，以 PA、PB、PC 为三棱作长方体PADBCA 1D1B1，则该长 方体内接于球，体 对角线 PD1为球的直径，由于三棱锥 PABC 为正三棱锥， ABAC BC ，PAPBPC ，设 PAa，则 a2 ，a2.3 3设球心到截面的距离
12、为 h，则由 VAPBC V PABC 得，( 22)2 (2 )2( h)，1312 13 34 2 3h .33(理)(2014 成都七中模拟)平面四边形 ABCD 中，AD AB ，CD CB ，且 ADAB，现将ABD 沿着对角线2 5BD 翻折成A BD，则在A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中，直线 AC 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( )A1 B.12C. D.33 3答案 C解析 如下 图， OA 1，OC2，在ABD 绕直线 BD 旋转过程中，OA 绕点 O 旋转形成半圆，显然当 AC 与圆相切时，直线 AC与平面 BCD 所成角最大，最大角为 30，其正切
13、值为 ，选 C.33第卷( 非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13.(2014山西省太原五中月考) 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB90，AC ，BC CC 1 ，P 是6 2BC1 上一动点，则 CPPA 1 的最小值为_答案 8 26解析 由 题意可知，BCC 1为等腰直角三角形，AC ，BCCC 1 ，ACB90，6 2A1B ，BC12， A1B2A 1C BC ，AC1B 为直角，10 21 21将BCC 1 与A 1BC1 所在平面铺平如图，设 A1C 交 BC1 于
14、 Q，则当点 P 与 Q 重合时，CPPA 1 取到最小值，最小值为 A1C.A1C A1C21 C1C2 2A1C1C1Ccos135 .6 2 262 22 8 2614(文)(2014 抚顺市六校联合体期中 )已知正四棱锥 OABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表322 3面积为_答案 12解析 由 V Sh ( )2h 知，h ，设正方形13 13 3 322 322ABCD 的中心 为 M，则 MA ，OA2OM 2MA 2( )2( )62 322 6223， S 球 4OA 2 12.(理)(2014 抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图，
15、如果主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为_答案 433解析 由三 视图知，几何体是正四棱锥，底面正方形边长为 2，棱锥的斜高为 2，故高 h ，体积 V 4 .22 12 313 3 43315(文)(2014 西安市长安中学期中 )一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为_答案 38 6解析 根据三 视图，该几何体是一个组合体，其中左侧是半个圆锥，右侧 是底面为正方形的四棱锥，由于侧视图是一个边长为 2 的等边三角形，所以高为 .3所以其体积为 V ( 122 2) .13 12 3 38 6(理)(2014 浙江
16、台州中学期中)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成三棱锥 CABD，它的主视图与俯视图如图所示，则二面角 CABD 的正切值为_答案 2解析 三棱 锥 CABD 直观图如图，由主视图与俯视图知，平面 CBD平面 ABD，CO平面 ABD，作 OEAD，ADAB，OEAB，连结 CE，则 CEAB，CEO 为二面角 C ABD 的平面角，在 RtCOE 中，OE AD ，CO ，tanCEO .12 12 22 COOE 216(文)(2014 华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则
17、下列四个命题：三棱锥 AD 1PC 的体积不变；A 1P平面 ACD1；DP BC 1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题序号是_答案 解析 VA D 1PCVP AD 1C，BC1AD1，AD1平面AD1C，BC1平面 AD1C，无论 P 在 BC1 上任何位置，P 到平面AD1C 的距离为定值， 三棱锥 AD 1PC 的体积不变， 正确；A1C1AC，BC1AD1，A1C1BC 1C 1，ACAD 1A，平面A1BC1平面 AD1C，A1P平面 A1BC1，A1P平面 ACD1，正确；假设 DPBC1，DC平面 BCC1B1，DCBC1，BC1平面 ABCD，与正方体 ABCDA
18、 1B1C1D1 矛盾，错误；B1BAC，BDAC，AC平面 B1BD，ACB1D，同理可 证AD1B1D，B1D平面 ACD1，B1D平面 PDB1，平面 PDB1平面ACD1，正确(理)(2014 成都七中模拟)已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为1，点 M 是 BC1 的中点，P 是 BB1 一动点，则 (APMP) 2 的最小值为_答案 52解析 将平面 ABB1A1 展开到与平面 CBB1C1 共面，如下图，易知当 A、P、M 三点共线时(APMP )2 最小AM2AB 2BM 22ABBMcos135 1 2( )22221 ( ) .22 22 52三、解答题(本大题
19、共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(2014 天津市六校联考)在三棱柱ABC A1B1C1 中，AB侧面 BB1C1C，已知BC1，BCC 1 ， ABCC 12.3(1)求证： BC1平面 ABC；(2)试在棱 CC1(不包含端点 C，C 1)上确定一点 E 的位置，使得EAEB 1；(3)(理)在(2)的条件下，求 AE 和平面 ABC1 所成角正弦值的大小解析 (1) BC1，BCC 1 ，CC12，3BC1 ，BC2BC CC ，BC1BC，3 21 21AB侧面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，BC1AB 且 B
20、CAB B，BC1平面 ABC.(2)E 为 C1C 的中点连接 BE，BCCE1，BCC 1 ，3等边BEC 中，BEC ，3同理：B 1C1C 1E1， B1C1E ，B1EC1 ，23 6BEB1 ，EB1EB，2AB侧面 BB1C1C，EB1平面 BB1C1C，EB1AB 且 EBABB，B1E平面 ABE，EA平面 ABE，EAEB1.(3)AB侧面 BB1C1C，AB平面 ABC1，平面 BCC1B1平面 ABC1，过 E 作 BC1 的垂线交 BC1 于 F，则 EF平面 ABC1，连接 AF，则EAF 为所求，BCBC1，EFBC1，BCEF，E 为 C1C 的中点， F 为
21、C1B 的中点，EF ，由(2)知 AE ，sinEAF .12 5 125 51018(本小题满分 12 分)( 文)(2014 长沙市重点中学月考) 如图所示，圆柱的高为 2，底面半径为 ，AE 、DF 是圆柱的两条母线，过7AD 作圆柱的截面交下底面于 BC，四边形 ABCD 是正方形(1)求证 BCBE ；(2)求四棱锥 EABCD 的体积解析 (1) AE 是圆柱的母 线，AE底面 EBC，又 BC底面 EBC，AEBC，又截面 ABCD 是正方形，所以 BCAB，又 ABAEA，BC平面 ABE，又 BE平面 ABE，BCBE.(2)母线 AE底面 EBC，AE 是三棱锥 ABCE
22、 的高，由(1)知 BC平面 ABE，BC平面 ABCD，平面 ABCD平面 ABE，过 E 作 EOAB，交 AB 于 O，又平面 ABCD平面 ABEAB，EO平面 ABE，EO平面 ABCD，即 EO 就是四棱锥 EABCD 的高，设正方形 ABCD 的边长为 x，则 ABBCx，BE ，AB2 AE2 x2 4又BCBE，EC 为直径，即 EC2 ，7在 RtBEC 中，EC 2BE 2BC 2，即(2 )2x 2x 24，x4，7S 四边形 ABCD4416 ，OE ，AEBEAB 242 44 3VEABCD OES 四边 形 ABCD 16 .13 13 3 1633(理)(20
23、14 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC A1B1C1 中，侧面 ABB1A1，ACC 1A1 均为正方形，BAC90，点 D 是棱 B1C1 的中点(1)求证： A1D平面 BB1C1C；(2)求证： AB1平面 A1DC；(3)求二面角 DA 1CA 的余弦值解析 (1)证明：因为侧 面 ABB1A1，ACC1A1 均为正方形，所以 AA1AC，AA1AB，所以 AA1平面 ABC，所以 AA1平面 A1B1C1.因为 A1D平面 A1B1C1，所以 AA1A1D，又因为 CC1AA1，所以 CC1A1D，又因为 A1B1A 1C1，D 为 B1C1 中点，所以 A1DB1C1
24、.因为 CC1 B1C1C 1，所以 A1D平面 BB1C1C.(2)证明： 连结 AC1，交 A1C 于点 O，连结 OD，因为 ACC1A1为正方形，所以 O 为 AC1 中点，又 D 为 B1C1 中点，所以 OD 为AB 1C1 中位线，所以 AB1OD，因为 OD平面 A1DC，AB1平面 A1DC，所以 AB1平面 A1DC.(3)因为侧 面 ABB1A1，ACC1A1 均为正方形，BAC90，所以 AB，AC，AA1 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系Axyz .设 AB1，则 C(0,1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，D( ，1)1212 ( ，0)， (0,1
25、，1)，A1D 1212 A1C 设平面 A1DC 的法向量为 n(x，y，z)，则有Error!Error!取 x1，得 n(1，1，1)又因为 AB平面 ACC1A1，所以平面 ACC1A1 的法向量为(1,0,0)，AB 设二面角 DA 1CA 的平面角为 ，则 n， ，AB coscos(n ， )AB ，nAB |n|AB | 13 33所以，二面角 DA 1CA 的余弦值为 .3319(本小题满分 12 分)( 文)(2014 黄石二中检测) 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AA1AC2AB2，且 BC1A 1C.(1)求证：平面 ABC1平面 A1ACC1；(2)设
26、 D 是 A1C1 的中点，判断并证明在线段 BB1 上是否存在点E，使 DE 平面 ABC1；若存在，求三棱锥 EABC 1 的体积解析 (1)证明：在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，有 A1A平面ABC.A1AAC，又 A1AAC， A1CAC1.又 BC1A1C，A1C平面 ABC1，A1C平面 A1ACC1，平面ABC1平面 A1ACC1.(2)存在， E 为 BB1 的中点取 A1A 的中点 F，连 EF，FD，当 E 为 B1B 的中点时，EFAB，DFAC1，平面 EFD平面 ABC1，则有 ED平面 ABC1.当 E 为 BB1 的中点时，V EABC 1V C1ABE 2
27、 11 .13 12 13(理)(2014 保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD 中， DAB90 ，PA 平面 ABCD，PAABBC 3，梯形上底 AD1.(1)求证： BC平面 PAB；(2)在 PC 上是否存在一点 E，使得 DE平面 PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由；(3)求平面 PCD 与平面 PAB 所成锐二面角的正切值解析 (1)证明： BCAD 且 DAB90，BCAB，又 PA平面 ABCD，BCPA，而 PAABA，BC平面 PAB.(2)延长 BA、CD 相交于 Q 点，假若在 PC 上存在点 E，满足 DE平面 PAB，则由平面 PCQ
28、经过 DE 与平面 PAB 相交于 PQ 知DEPQ，ADBC 且 AD1，BC3， ，PECP QDCQ ADBC 13故 E 为 CP 的三等分点，PE CE.12(3)过 A 作 AHPQ，垂足为 H，连 DH，由(1)及 ADBC 知：AD平面 PAQ，ADPQ，又 AHPQ，PQ平面 HAD，PQHD.AHD 是平面 PCD 与平面 PBA 所成的二面角的平面角易知 AQ ，PQ ，32 352AH ，AQPAPQ 355tanAHD ，ADAH 53所以平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的正切值为 .5320(本小题满分 12 分)( 文)(2014 北京朝阳区期末) 如图，
29、在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAAC ，ABBC .设D、E 分别为 PA、AC 中点(1)求证： DE平面 PBC；(2)求证： BC平面 PAB；(3)试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过三点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：因为 点 E 是 AC 中点，点 D 为 PA 的中点，所以 DEPC.又因为 DE平面 PBC，PC平面 PBC，所以 DE平面 PBC.(2)证明：因为平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC ，又 PA平面 PAC，PAAC，
30、所以 PA平面 ABC.所以 PABC.又因为 ABBC，且 PAABA，所以 BC平面 PAB.(3)当点 F 是线段 AB 中点 时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行取 AB 中点 F，连 EF，DF.由(1)可知 DE平面 PBC.因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点，所以 EFBC.又因为 EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC.又因为 DEEF E，所以平面 DEF平面 PBC，所以平面 DEF 内的任一条直 线都与平面 PBC 平行故当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 所在平面内的任一条直线都与平面 PB
31、C 平行(理)(2014 山东省博兴二中质检)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点(1)若 PAPD ，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)设点 M 在线段 PC 上， ，求证：PA平面 MQB；PMMC 12(3)在(2)的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且PAPD AD2，求二面角 MBQC 的大小解析 (1)连接 BD，四边形 ABCD 为菱形， BAD60，ABD 为正三角形，又 Q 为 AD 中点，ADBQ.PAPD，Q 为 AD 的中点，ADPQ，又 BQPQQ， AD平面 PQB，AD平面 PAD，平面 PQB平面 PA
32、D.(2)连接 AC 交 BQ 于点 N，由 AQBC 可得，ANQCNB， .AQBC ANNC 12又 ， .PAMN.PMMC 12 PMMC ANNCMN平面 MQB，PA平面 MQB，PA平面 MQB.(3)PAPDAD2，Q 为 AD 的中点， PQAD.又平面 PAD平面 ABCD，PQ平面 ABCD.以 Q 为坐标原点，分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则各点坐标为 A(1,0,0)，B(0，0)，P(0,0， )3 3设平面 MQB 的法向量 n(x ，y，z)，可得Error!PAMN，Error!Error!
33、取 z 1，得 n( ，0,1)3取平面 ABCD 的法向量 m(0,0,1)cosm，n .mn|m|n| 12故二面角 MBQ C 的大小为 60.21(本小题满分 12 分)( 文)如图，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且 AB2AD2.(1)求证： EAEC；(2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F.求证：EF AB ；若 EF1 ，求三棱锥 EADF 的体积解析 (1) E 是半圆上异于 A，B 的点，AEEB，又平面 ABCD平面 ABE，且 CBAB，由面面垂直性质定理得 CB平面 ABE，又 AE平面 ABE，CBAE，BCBEB，AE 平面 CBE，又 EC平面 CBE，AEEC.(2)由 CDAB，得 CD平面 ABE，又平面 CDE平面 ABEEF，根据线面平行的性质定理得 CDEF，又 CDAB，EFAB.
