1、十 直线形的割补在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：定理 两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.有人认为.没告诉方法的定理价值一定不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或
2、状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分). 开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”( 即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造) 出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判
3、断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等) ，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.问题 10.1 某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图 10-1)，并写着：“ 若哪位顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？分析 图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破
4、，再重新拼接.解 如图 10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端 A 和 A作底边的垂线 AD、AD ；分别连接 D、D与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把1、2 平行移动到1、 2的位置.最后把四边形 3 旋转 1800 后，平行移动到四边形 3的位置即补合.问题 10.2 前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有 4 棵大树(图 10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大 1 倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？分析 初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图 1
5、0-4 中的 abcd开拓池塘就能使池塘面积扩大 1 倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？问题 10.3 图 10-5(1)所示的卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图 10-5(2)的形状，你能办到吗？解 按图 10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转 1800(即翻一个面) ，再接上去即得.见图 10-6(2).如果你掌握了以上切拼的技巧(切成 45)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.问题 10.4 蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图 10-7 所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分
6、成四块给班上的四个组管理.她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.你说怎么分才好？本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：“要把梯形分割。应设法找到梯形的相似形.要做到这一步，就需要深入地思考.这当然是一个涉及内在联系的问题”.请同学们根据苏格拉底的提示按要求把梯形分成四块.问题 10.5 有一块长 24 米、宽 15 米的长方形地毯.现要把它移到长 20 米、宽 18 米的新房里去.请找一种剪裁方法.使剪后的各块拼合后正好能铺满新房间的地面.为了使剪后的地毯尽量完整，一个十分自然的要求即是还要使裁剪的块数尽可能地少.分析 地毯的面积为 2415=360(平方米).
7、新房间面积为 1820=360(平方米). 两者面积相等，但长、宽不等.因为 24 比 20 多 4.18 比 15 多 3.这里我们自然想到要根据这多出的 3 和 4 在原地毯上画出 30 个 34(平方米)的小长方形组成的长方形网，如图 10-8(1)中虚线，再把最前(或最后) 一列的五个小长方形割下来.补到上(或下) 一排上去，即补成了图 10-8(2)的形状.它正好铺满新房间的地面.但这样分割得割成 6 块才可拼成(为什么？). 能否剪更少的块数而拼成 1820 的长方形呢？如图 10-8 可见，图(1) 比图 (2)无非是宽了一小格(的长 )和矮了一小格(的宽)，故自然产生了把长减短
8、 4 米，并使高增加 3 米的想法.这并非难事.事实上把地毯按图 10-8(1)中的实折线剪开成两块，然后把左边的一块先往上方平行移动 3 米，再往右边平行移动 4 米，即得图 10-8(2).由于一块不可能铺满新房间，故两块是块数最少的剪法.问题 10.6 小红的爸爸在街上卖边角布料的布摊上买回了一块三角形的绸布，小红的妈妈想用它来做窗帘(长方形).但为了不把布剪得太碎，她要求最多裁 3 块.妈妈不会画线，就把这任务交给了小红，请问小红应怎么画线才能达到要求？分析 题中没说三角形的形状和大小，故我们应该用任意的ABC 来解决这一问题.动手试验一番，并开动脑筋想一想就会发现：把三角形割、拼成长
9、方形所采用的方法及割成最少块数的数目与三角形的形状有关.下面仅解决ABC 为锐角三角形的情形.可以用倒推法卿从结果入手分析，也叫分析法)来思考：假若按某种剪法分成的 3 块正好拼成了一个长方形，现在反过来寻求ABC 的一种切割方法.另外，要使剪的块数少，必须剪的刀数少.那么就要尽量让长方形的边多与三角形的边叠合.但三角形是锐角三角形，故最多只能有一边与长方形重合.如图 10-9(1)，不妨设拼好的长方形以 BC 为一边长，则我们要设法把 ABC再分成两块补到1 和 2 的位置上.由于1、2 都是直角三角形，故ABC 应分成两个直角三角形，这只要过它的一个顶点作对边的垂线即可.取 A 点作 BC
10、的垂线 AD.此外，我们还要使分得的两个直角三角形 ABD 与 ADC分别与1 和2 全等才行.显然只要取 B、C厂分别为 AB、AC 的中点即满足要求.解 对于锐角ABC，如图 10-9(2)，连接 AB、AC 的中点 B、C，过 A 作 BC的垂线 AD.把ABC分成直角3 和直角 4，然后将3 和4 分别绕 B、C 点向逆、顺时针方向旋转 180即得合乎要求的长方形.显然，BC是ABC 中与 BC 平行的中位线.对于锐角三角形，还可取与 AB 或 AC平行的中位线去解决，故按这种思路共有三种解法.问题 10.7 在问题 10.6 中：(1)若ABC 为直角三角形，按上述思路求解有几种解法
11、？最少割成几块？(2)若 ABC 为钝角三角形呢？(3)问题 10.6 除以上思路外还有没有新的思路和解法？在直线形的割补中，把一个图形割开拼成正方形是非常重要的问题.这一问题不但内容最为丰富，而且有许多精彩的应用.问题 10.8 图 10-10 是一个空心的正方形，你能用剪刀将它分成四块，然后拼出一个实心的正方形吗？分析 初看起来这个题难以入手，但仔细一想，实心正方形一定有 4 个直角，我们要从空心正方形中割出它们.另外，切割时，显然应该沿着图 10-10 内小正方形的边沿切割.再试验几次，即可切成图 10-11(1)的形状，然后再拼成图 10-11(2)的形状即可.注意：以上求解中用到“试
12、验”一词.其实试验也是数学中一种非常有用的方法.问题 10.9 图 10-12 是边长分别为 1、4、8 的三个正方形方格网叠在一起组成的阶梯式图形.若只准按网线切割.问最少切成几块拼在一起后正好是一个正方形？分析 因为 12+42+8=81=92，所以无论分多少块，拼成后的正方形边长总是 9.先退一步，暂不考虑最少分几块.只考虑能拼成正方形.因为边长为 9 的正方形可视为边长为 8 的正方形的下边和右边各镶一条(共 17 个) 小正方形而得到 .这样，一个最自然的想法是不动边长为 8 的正方形而把上面的 17 个小正方形分割成如图 10-12 中粗线所示的五块，再拼成图 10-13 的正方形
13、，边长即为 9.现在的问题是能否使块数更少？由上述镶边拼法知道.所镶的两条边都是由两段接成的.能否不接而变成通长条呢？我们知道所镶的两条边可视为一个 19 长方形和一个 18 长方形.为了不接，可先在最高的那一列割下一个 19 长方形，再挨着割下一个 18 长方形分别镶到原边长为 8 的正方形下边和右边，发现中间缺了一个 24 的长方形块，而上面正好多了一个 24 长方形块，再割下来一个嵌入其内即得 1 个 99 的正方形.这样只分成了 4 块，减少了一块.但这是不是块数最少的分法呢？这要看所切的四块是否能“合并”.通过考察不难发现，那个互 18 长方形和24 长方形是可以并在一起的，这样就只
14、有 3 块了.按图 10-14(1)的粗线分割并拼成图 10-14(2)即得.问题 10.10 图 10-15(1)中两个正方形的边长分别为 a 和 b(ba). 请将边长为 b 的正方形切成四块一样的图形，再与另一个正方形拼在一起组成一个大正方形.分析 拼成的大正方形的面积为 a2+b2，设大正方形的边长为 c，则 c 适合等式 c2=a2+b2.又因为要把边长为 b 的正方形切分为四个全等图形，那么划线一定要经过此正方形的 中心.我们仍用“倒推法” 思考.如因 1015(2)，假定过 O 的割线段 EF 就是拼成大正方形的边长，那么 EF2a2 b2，过 F 作 FG 垂直于 AB，就有
15、FGb.EGF 为直角三角形，这样就可确定 EF.由于拼成的大正方形四个角应为直角，故将 EF 绕 O 旋转 90就可得到另一条割线.解 如图 1016(1)，我们在 AB 上取一点 E，使 AE1/2(b a).过 E 和中心 O 画一条直线交 CD 于 F，再过 O 作 MN 垂直于 EF 分别交 AD、BC 于 M、N，则以 EF、MN 为两条割线可把边长为 b 的正方形分成全等的四块.按图 1016(2)进行拼合即得所求的大正方形.注意：若本题不要求分成全等的四块，你又怎样分析出割线来？此时，你能否想出更多的割拼方法？在一个直角三角形中，人们喜欢把两个直角边分别叫勾和股，而把斜边称作弦
16、.勾、股和弦之间有一个很重要的联系，就是：勾的平方加股的平方等于弦的平方.这就是著名的勾股定理.我国很早就发现了这一定理，在周髀算经这本古老的数学书中就有“勾三、股四、弦五”的记载.意思是说：在一个直角三角形中，两条直角边长分别为 3 和 4，那么斜边长一定是 5，显然 324252.由图 1017 易见，若以勾、股、弦分别作三个正方形，那么两个小正方形的面积之和正好等于大正方形的面积.证明勾股定理，即证明直角三角形的两直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么a2b2c2.分析 图 1017 已经给了证明思路.事实上，可以先以 a、b 和 c 为边作三个正方形，然后只要用“问题 10.1
17、0”所提供的方法(即割补法)把以 a、b 为边长的两个正方形切拼成一个大正方形，而这个大正方形的边长正好为 c 就证明了勾股定理.无疑地，这是割补法的一个非常精彩的应用.练习 101.图 1018 中是一个底角为 60且上底与腰相等的等腰梯形.请你把它分割成全等的 4个部分.2.有一个由 36 个小方格组成的正方形棋盘，如图 1019，里面放着黑、白子各 4 颗.现要把它分割成形状和大小都相同的四块，并使每块里都有一颗白子和一颗黑子.问应怎样分割？3.老赵有一块长方形的木板.长 2 米 5 分米，宽 1 米 6 分米.如图 1020.他请木工王师傅给他做一个正方形的桌面.问王师傅怎么锯才能保证锯的块数最少？4.把图 1021 分成两块.然后拼成一个正方形，怎么分？怎么拼？5.图 1022 是一块 90 厘米120 厘米的长方形木板，正中间有一个 10 厘米80 厘米的长方形孔，想将它锯开后拼成一个正方形桌面.如何分块数最少？桌面面积为多少？6.图 1023 是一张十字形的塑料片，请剪两剪刀.然后再(1)拼成一个长方形；(2) 拼成两个并列的正方形.7.如何证明图 1024 中正方形、的面积之和等于正方形的面积？
