1、、玉溪一中高 2018 届高三年级第一次月考文科数学第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,则 ( )B=x|x20 f(x)A. 在 上单调递增 B. 图象关于直线 对称(0,3) x=6C. D. 当 时有最小值f(3)=32 x=512 1【答案】D【解析】由函数 ( )的最小正周期为 得 ,则 ,f(x)=cos(x+6)0 =2 f(x)=cos(2x+6)当 时, ,显然此时 不单调递增,A 错误;x(0,3) 2x+6(6,56) f(x)当 时, ,B 错误;
2、x=6 f(6)=cos2=0,C 错误;故选择 D.f(3)=cos56=329. 函数 的图象大致为( )f(x)=x2ln|x|A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数定义域为 ,又 ,函数 为偶函数,排除 B,C,当 时,x|x0 f(x)=(x)2ln|x|=f(x) f(x) x=1显然 ,当 时, ,故选择 A.x=12 f(12)=14ln120) 1+3d=q21+7d=q3 d=1q=1 , ,则 ,设数列 的前 n 项和为 ,an=n bn=2n1 anbn=n2n1 anbn Sn则 Sn=120+221+322+n2n1所以 ;2Sn=121+222+323+(
3、n1)2n1+n2n-得:所以 ,整理得: .Sn=12n12n2n Sn=(n1)2n1方法点睛:用错位相减法求和时,要注意以下几个问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐” ,以便下一步准Sn qSn确写出“ ”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1SnqSn和不等于 1 两种情况求解.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在 中,角 , , 所对应的边分别为 , , , .ABC A B C a b
4、 c ab=bcosC(1)求证: ;sinC=tanB(2)若 , ,求 .a=1 b=2 c【答案】 ()证明见解析 () c= 7【解析】试题分析:()根据正弦定理变形, 可化为 ,由于待证的是a-b=bcosC sinA-sinB=sinBcosC,所以将 换成 ,然后根据公式展开,sinC=tanB sinA sin(B+C),于是有 ,所以有 ;()根据已知sinCcosB=sinB sinC=tanB条件 ,当 , 时, ,于是根据余弦定理 可以求出 的值.a-b=bcosC a=1 b=2 cosC=12 c2=a2+b2-2abcosC c试题解析:()由 根据正弦定理得 ,
5、a-b=bcosC sinA-sinB=sinBcosC即 ,sin(B+C)=sinB+sinBcosC,sinBcosC+cosBsinC=sinB+sinBcosC,sinCcosB=sinB得 sinC=tanB()由 ,且 , ,得 , a-b=bcosC a=1 b=2 cosC=-12由余弦定理, ,所以 c= 718. 某学校用简单随机抽样方法抽取了 30 名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图:若将月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生称为“读书迷”.(1)将频率视为概率,估计该校 900 名学生中“读书迷”有多少人?(2)从已抽取的 7 名“读
6、书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各 1 人,参加读书日宣传活动.(i)共有多少种不同的抽取方法?(ii)求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过 2 小时的概率.【答案】 () “读书迷”约 210 人 ()共有 12 种不同的抽取方法;所求概率 P(A)=612=12【解析】试题分析:()本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征,由茎叶图可知,月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生人数为 7 人,所占比例为 ,因此该校 900 人中的“读书迷”的人数为730人;() ()本问考查古典概型基本事件空间,设抽取的男“读书迷”为 , , ,730900=210 a35a38a41抽取
7、的女“读书迷”为 , , , (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间),于是可以列出基b34b36b38b40本事件空间;()根据题意可知,符合条件的基本事件为 ,(a35,b34), , , ,于是可以求出概率 .(a35,b36) (a38,b36) (a38,b38)(a38,b40) (a41,b40)试题解析:()设该校 900 名学生中“读书迷”有 人,则 ,解得 .x730=x900 x=210所以该校 900 名学生中“读书迷”约有 210 人. () ()设抽取的男“读书迷”为 , , ,抽取的女 “读书迷”为a35a38a41, , , (其中下角标表示该生月平均课外阅读时
8、间),b34b36b38b40则从 7 名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各 1 人的所有基本事件为:, , , ,(a35,b34) (a35,b36) (a35,b38) (a35,b40), , , ,(a38,b34) (a38,b36) (a38,b38) (a38,b40), , , ,(a41,b34) (a41,b36) (a41,b38) (a41,b40)所以共有 12 种不同的抽取方法 ()设 A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过 2 小时” ,则事件 A 包含 , , , , ,(a35,b34) (a35,b36) (a38,b36) (a38,
9、b38) (a38,b40) (a41,b40)6 个基本事件, 所以所求概率 P(A)=612=1219. 如图,平行四边形 中, , , 平面 , , , 分别为 ,ABCD BC=2AB=4 ABC=60 PA ABCD PA=2 E F BC的中点.PE(1)求证: 平面 ;AF PED(2)求点 到平面 的距离 .C PED【答案】 ()证明见解析 () 到平面 的距离为C PED22【解析】试题分析:()欲证 平面 ,根据线面垂直判定定理,需要证明 平面 内两条AF PED AF PED相交直线,由于 , ,所以易求 , ,则有 ,接下来BC=2AB=4 ABC=60 AE=2 E
10、D=23 AE2+ED2=AD2证明 平面 ,从而得到 平面 , ,于是问题得证;()求点到面的距离,可以ED PAE ED PAE EDAF用等体积法,即 ,由()易知 为直角三角形,于是可求其面积,在 中,VPECD=VCPED PED CED,于是可求其面积,根据 ,于是可以求出点到面的距离.ECD=12013SPEDd=13SECDPA试题解析:()连接 ,在平行四边形 中,AE ABCD, ,BC=2AB=4 ABC=60 , ,从而有 ,AE=2 ED=23 AE2+ED2=AD2 AEED 平面 , 平面 , ,PA ABCD ED ABCD PAED又 , 平面 , 平面PAA
11、E=A ED PAE AF PAE从而有 EDAF又 , 为 的中点,PA=AE=2 F PE ,又 ,AFPE PEED=E 平面 AF PED()设点 到平面 的距离为 ,C PED d在 中, , , PE=22 ED=23 SPED=26在 中, , , ECD EC=CD=2 ECD=120 SECD= 3由 得, ,VC-PED=VP-ECD13SPEDd=13SECDPA d=SECDPASPED=22所以点 到平面 的距离为 PED22方法点睛:求几何体体积常用的方法有:(1)分割求和法:把不规则图形分割成规则图形,然后进行体积计算;(2)补形法:把不规则的几何体补成规则的几何
12、体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积;(3)等体积法:选择适当的底面图形求几何体的体积,常用于三棱锥.20. 已知椭圆 经过点 ,且离心率为 .:x2a2+y2b2=1(ab0) M( 3,12) 32(1)求椭圆 的方程;(2)设点 在 轴上的射影为点 ,过点 的直线与椭圆 相交于 , 两点,且 ,求直线的方Mx N N A B NB+3NA=0程.【答案】 ()椭圆 的方程为 ()直线的方程为x24+y2=1 y= 2(x3)【解析】试题分析:()本问考查求椭圆标准方程,根据点 在椭圆上,代入得 ,又离心M( 3,12) 3a2+14b2=1率 ,于是可以求出 的值,得到椭圆
13、标准方程;()点 在 轴上的射影 的坐标为 ,过a2-b2a =32 a,b Mx N ( 3,0)点 N 的直线分两种情况进行讨论,当斜率为 0 时,经分析,不满足 ,当的斜率不为 0 时,可NB+3NA=0设方程为 ,与椭圆方程联立,消元,得到关于 的一元二次方程,设 , ,由x=my+ 3 y A(x1,y1) B(x2,y2),得 ,于是可以根据前面的关系式求出 的值,得到直线方程.NB+3NA=0 y2=-3y1 m试题解析:()由已知可得 , ,解得 , ,3a2+14b2=1 a2-b2a =32 a=2 b=1所以椭圆 的方程为 x24+y2=1()由已知 N 的坐标为 ,(
14、3,0)当直线斜率为 0 时,直线为 轴,易知 不成立 x NB+3NA=0当直线斜率不为 0 时,设直线的方程为 ,x=my+ 3代入 ,整理得, ,x24+y2=1 (4+m2)y2+23my-1=0设 , 则A(x1,y1) B(x2,y2), ,y1+y2=-23m4+m2 y1y2= -14+m2由 ,得 ,NB+3NA=0 y2=-3y1由解得 m=22所以直线的方程为 ,即 x=22y+ 3 y= 2(x- 3)21. 已知函数 , .f(x)=ex g(x)=lnx+a(1)设 ,求 的最小值;h(x)=xf(x) h(x)(2)若曲线 与 仅有一个交点 ,证明:曲线 与 在点 处有相同的切线,且y=f(x) y=g(x) P y=f(x) y=g(x) P.a(2,52)【答案】 () 的最小值是 ()证明见解析h(x) 1e【解析】试题分析:() ,函数定义域为 R,求导数, ,分别令 ,h(x)=xf(x) =xex h(x)=(x+1)ex h(x)0,根据函数单调性,确定函数 的最小值;()由曲线 与 仅有一个交点 ,可设h(x)0 h(x) y=f(x) y=g(x) P