1、离散型随机变量的期望(1),一般地，设离散型随机变量可能取的值为 x1，x2，xi， 取每一个值xi(i1，2，)的概率P(xi)pi，则称下表,为随机变量的概率分布，简称为的分布列,由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p21,一.复习提问,离散型随机变量的分布列和性质,首页,上页,下页,某射手射击所得环数的分布列如下：求射击100次击中4、5、10的次数：,在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数根据这个射手射击所得环数的分布列，他在n次射击中，预计有大约,P(4)n0.0
2、2n 次得4环，,P(5)n0.04n 次得5环，,P(10)n0.22n 次得10环,n次射击的总环数约等于,40.02n50.04n100.22n(40.0250.04100.22)n，,从而，n次射击的平均环数约等于,40.0250.04100.228.32,能否估计出该射手n次射击的平均环数？,首页,上页,下页,类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数的分布列，即已知各个P(i)(i0，1，2，10)，则可预计他任意n次射击的平均环数是,E0P(0)1P(1)10P(10),我们称E为此射手射击所得环数的期望，它刻划了随机变量所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平,首页,上页,下
3、页,一般地，若离散型随机变量的概率分布为,则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望,设ab，其中a，b为常数，则也是随机变量,因为P(axib)P(xi)，i1，2，3，,所以，的分布列为,于是E(ax1b)p1(ax2b)p2(axnb)pna(x1p1x2p2xnpn)b(p1p2+pn)aEb,即 E(ab)aEb,首页,上页,下页,例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望,解：因为P(1)0.7，P(0)0.3，,所以 E1P(1)0P(0),10.700.30.7,首
4、页,上页,下页,期望体现了随机变量所有取值的平均水平,例2 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望,解：抛掷骰子所得点数的概率分布为,所以,首页,上页,下页,例3 有一批数量很大的产品，其次品率是15对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字),解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k1次取出正品而第k次(k1，2，9)取出次品的概率,P(k)0.85k-10.15，(k1，
5、2，9)；,需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率,P(10)0.859,由此可得的概率分布如下：,根据以上的概率分布，可得的期望,E10.1520.1275100.23165.35,首页,上页,下页,题后反思：1、求期望的一般步骤：,1）求出分布列； 2）利用定义求期望。,2、数学期望与算术平均值的关系。,首页,上页,下页,练习：,1、已知随机变量 的分布列为,求E,2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向 上得1分，求得分 的期望。,2.3,0,首页,上页,下页,10,设在一次试验中某事件发生的概率是P，,是次试验中此事件发生的次数，,令q1p，,则P(0)q， P(1)p，,E0
6、q1pp=1p，,由此猜想，在n次独立重复试验中，该事件平均发生np次，,即若B(n，p)，则Enp,两点分布与二项分布之间 有何关系？,证明：,所以,若B(n，p)，则Enp,例4 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的 选择题个数分别是和，,则,B(20，0.9)， B(20，0.25)，,所以，,E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,例5、某篮球运动员投篮的命中率是 ,在某次投篮 比赛中,共投篮3次,设 是他投中的次数:1) 求E ;2)若投中得5分 ,求他得分的期望;3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,求他得分的期望。,首页,上页,下页,课堂小结：,本节课我们讲了一个定义，一个公式,1）E = x1p1x2p2xnpn,2）若 ，则 （a、b是常数）,首页,上页,下页,再见,
