1、“超级全能生”2018 高考全国卷 26 省 9 月联考乙卷理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 032|),4(log|2 xBxyxA，则 BA（ ）A )4,3( B 1, C )4,( D )1,()4,2.已知 i是虚数单位，复数 2iz，则 z的虚部为（ ）A 52 B 5 C 5 D 23.下列说法正确的是（ ）A命题“若 0432x，则 4x.”的否命题是“若 0432x，则 4x.” B 0a是函数 ay在定义域上单调递增的充分不必要条件 C 0),(xx
2、 D若命题 53:nNP，则 503,:0nNp4.九章算术是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（ ）A求两个正数 ba,的最小公倍数 B求两个正数 ba,的最大公约数 C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除 D判断两个正数 是否相等5.在 BC中， c,分别是角 CA,的对应边，若 Ccos3sin，则下列式子正确的是（ ）A ba2 B cba2 C. ba2 D cba26. 在 ABC中， DABC,2,6,4是 的中点， E在 BC上，且 BDAE，则E（
3、）A 16 B 12 C. 8 D 47.学习为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是（ ）A 32 B 21 C. 3 D 618.一个几何的三视图如图所示，则表面积为（ ）A 3218 B 3218或 4 C. 3218或 D 3499. 已知 F是双曲线 )0,(:2bayxC的右焦点， P是 y轴正半轴上一点，以 OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 M（ O为坐标原点）.若点 FM,三点共线，且 F的面积是PMO的面积的 3倍，则双曲线 的离心率为（ ）A 6 B 5
4、 C. 3 D 210.若正四棱锥 ACD内接于球 ，且底面 ABC过球心 ，设正四棱锥 ABCDP的高为 1，则球的体积为（ ）A 34 B 32 C. 4 D 211.已知正 C的边长为 ，在平面 ABC中，动点 MP,满足 A,1是 PC的中点，则线段BM的最小值为（ ）A 25 B 2 C. 13 D 312.已知向量 ),()cos,(inbxa，函数 baxf)(，且 Rx,21，若 )(xf的任何一条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间 4，则 的取值范围是（ ）A 169,235,17 B 165,2,17 C. 169,7,( D165,2,(第卷（共 90 分）二、填空题
5、（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 92)(xa的二项展开式中的 6x的系数为 9，则 a 14.若实数 y,满足 ,3,y则 yz的取值范围为 15.已知椭圆 128:xC与圆 )20(2:2 rryxM，过椭圆 C的上顶点 P作圆 M的两条切线分别与椭圆 相交于 BA,两点（不同于 P点） ，则直线 A与直线 B的斜率之积等于 16.若关于 x的不等式 )(|Rabx在 2,1上恒成立，则实数 b的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项数列 na满足 )()4*2321 Nnan.（
6、1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 nnb，求数列 nb的前 项和 nT.18. 如图 ，四边形 ABCD为等腰梯形， 1,2CBDAB，将 AD沿 C折起，使得平面ADC平面 ， E为 的中点，连接 E.（1）求证： ADBC；（2 ）求直线 E与平面 所成的角的正弦值.19. 某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取 6部进行测试，其结果如下：甲种手机供电时间（小时） 19821320乙种手机供电时间（小时） 185.72035.2（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；（2）为了进一步研究乙
7、种手机的电池性能，从上述 6部乙种手机中随机抽取 4部，记所抽 部手机供电时间不小于 0小时的个数为 X，求 的分布列和数学期望.20. 已知椭圆 )0(1:2bayxE过点 )1,2(，其离心率为 2.（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）直线 mxyl:与 相交于 BA,两点，在 y轴上是否存在点 C，使 AB为正三角形，若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数 xegaf )(,ln().（1 ）若函数 x的最小值为 1，求实数 a的值；（2 ）当 0,a时，求证： exf2)(.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4
8、：坐标系与参数方程已知圆 sin2,co:xC（ 为参数） ，以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 BA,的极坐标分别为 )0,1(.（1 ）求圆 的极坐标方程；（2 ）若 P为圆 C上的一动点，求 22|PBA的取值范围 .23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 |12|)(xxf .（1 ）求不等式 3的解集；（2）若 )0,()(nmxf 对任意 Rx恒成立，求 nm的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBC 6-10:ACBDA 11、12：AB二、填空题13. 1 14. ),1 15. 1 16. ),32(三、解答题17.解：（1）设数列 na的前 项和
9、为 nS.当 n时， 1,)(412，当 2时， 2)(nnaS，两式相减得 1212na，即 0)(11nna，又 2,0，数列 n的首项为 ，公差为 的等差数列，即 12na.（2 ） ,)1(nbnnT)12(.5233， 14 2)(n，-得 1132 2)(8).( nnnn 2(6)12611 ，3(Tnn18.解：（1）证明：在图 中，作 ABCH于 ，则 23,1AH，又,3,2,CHBA， 平面 AD平面 ，且平面 DC平面 CB，平面 ，又 平面 ，BC.（2 ）取 A中点 F，连接 ED,，易得 FDA,两两垂直，以 FDEA,所在直线分别为 x轴、y轴、 z轴建立空间直
10、角坐标系，如图所示， )0,23(),01(),20(),1( CB)2,03(),01(),210( CBDE，设 ),(zyxm为平面 BCD的法向量，则0CB，即 03zx，取 1x，则 ),(.设直线 DE与平面 所成的角为 ，则 46|,cos|inm，直线 E与平面 BC所成的角的正弦值为 46.19.解：（1）甲的平均值 5.20)312(6甲X，乙的平均值 5.05.2(1乙 ，甲的方差 )205.()235.0().()()8.()96 2222 甲S135乙的方差 )5.2.0()25.0()235.0()25.0().17520()18.20(62 乙S314因为甲、乙两
11、种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.（2 ） 6部乙种手机供电时间不小于 20小时的有 4部，小于 20小时的有 部，所以 X得可能取值为 4,32，则 15)(,158)3(,5)( 4646264 CXPCXPCXP ，故 得分布列为P5215815所以 38154352EX.20.解：（1）由已知得 222cba，解得 2,ba.椭圆 E的方程为 124yx.（2 ）把 my代入 的方程得 04232mx，设 ),(),(21xBA，则 3,42121x，6,068， 22221212 634494)(| mmxxkAB 设 的中点为 P，则 ),(,
12、3PxyP3:mxyC，令 0，则 )(C，由题意可知， |2|AB2263494m，解得 5103.符合 ，直线 l的方程为 510xy.21.解：（1） )(ln)(af ，由 0)(xf，得 1e，由 0xf，得 1aex，在 ),a上单调递减，在 ),(1ae上单调递增. eefxfaln()(11min .0.（2 ）证明：当 0,x时，由（ 1）知 exaxxf 1lnl)ln() ，即 exf1)(.xg，则 )0()(xeg，由 0)(，得 1，由 ，得 1x，x在 ,上单调递增，在 ),(上单调递减.eg)(， exfxf 21)(，即 exfg2)(.22.解：（1）把圆 C的参数方程化为普通方程为 (2y，即 0642yx，由 sin,co,22yxyx ，得圆 的极坐标方程为 06i42 .（2 ）设 BAP,)si,c(的直角坐标分别为 )0,1(，则 22222 )sincos1()sin(o3(| BA8,6)4sin16所以 22|P的取值范围为 3,.23.解：（1） )2(31)()(xxf，其图象如图所示，由图可知 f的解集为 0|x或 2.（2 ）由图知 231,23)(minxf . mn，即 )，当且仅当 时等号成立，0,n，解得 38，当且仅当 时等号成立故 的最小值为 .
