1、1第四十一讲 双曲线班级_ 姓名_ 考号_ 日期 _ 得分_一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F 2，F 1MF2120，则双曲线的离心率为( )A. B. 362C. D.63 33解析：由图易知： tan60 ，cb 3不妨设 c ，b1，则 a .3 2e .故选 B.ca 32 62答案：B2已知双曲线 9y2m 2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 m 等于15( )A1 B2C3 D4解析：9y 2m 2x21(m0)a ，b ，取顶点 ，一条 渐近线
2、为 mx3y0，13 1m2 m 2925，15 | 313|m2 9m4，故选 D.答案：D3已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)、F 2( ，0) ，M 是此双曲线上的一点，且10 10满足 则该双曲线的方程是 ( )12120,|,MFAAA. y 21 Bx 2 1x29 y29C. 1 D. 1x23 y27 x27 y23解析：设双曲线方程为 1，且 M 为右支上一点，x2a2 y2b2由已知|MF 1| MF2|2a， 4a 2.21|MFF又 1220,.A4c 244a 2，即 b21.又c ，a 29.10双曲线方程为 y 21，故选 A.x29答案：A4我们把离心率为
3、e 的双曲线 1( a0，b 0)称为黄金双曲线给出以5 12 x2a2 y2b2下几个说法：3双曲线 x2 1 是黄金双曲线；2y25 1若 b2ac，则该双曲线是黄金双曲线；若F 1B1A2 90，则该双曲线是黄金双曲线；若MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是( )A BC D解析：e ，双曲 线是黄金双曲线1 b2a2 1 5 12 5 32 5 12由 b2ac，可得 c2a 2ac，两边同除以 a2，即 e2e 10，从而 e ，双曲线5 12是黄金双曲线|F 1B1|2b 2c 2，|A2B1|2b 2a 2，|F1A2|2( ac )2，注意到F 1B1A290 ，所以
4、b2c 2b 2a 2( ac) 2，即 b2ac，由 可知双曲线为黄金双曲 线|MN | ，由射影定理知|OF 2|2| MF2|F2N|，即 c2 ，从而 b2ac，由可知2b2a b4a2双曲线为黄金双曲线答案：D5过双曲线 x2y 28 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若 |PQ|7，F 2 是双曲线的右焦点，则PF 2Q 的周长是 ( )A28 B148 2C148 D82 2解析：|PF 2|PQ |QF 2|PF 2| |PF1| |QF2|QF 1|2| PQ|148 .2答案：C46已知双曲线 1(a 0，b0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x
5、2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A1,2 B(1,2)C2，) D(2 ，)解析：依题意，应有 tan60，又 ，ba ba e2 1 ，解得 e2.e2 1 3答案：C二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上)7已知点 P 是双曲线 1 上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分别为左、右焦点，x2a2 y2b2c 为半焦距， PF1F2 的内切圆与 F1F2 切于点 M，则| F1M|F2M|_.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F1M| |F2M| |PF1|PF 2|2a，又
6、|F 1M| F2M|2c，解得|F 1M|a c，|F2M|c a，从而|F 1M|F2M|c 2a 2b 2.答案：b 28已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、F 2(c,0)若双曲x2a2 y2b2线上存在点 P，使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是_sin PF1F2sin PF2F1 ac5解析：e ca sin PF2F1sin PF1F2 |PF1|PF2| 1 ，2a |PF2|PF2| 2a|PF2|PF 2|ca，即 e1，10 ，b0)x2a2 y2b2F1(c,0)，F 2(c,0)，P(x0，y0)在PF 1F2 中，由余弦定理，得：|F1
7、F2|2 |PF1|2 |PF2|22|PF 1|PF2|cos (|PF 1|PF 2|)2|PF 1|PF2|.3即 4c24a 2|PF 1|PF2|.又SPF 1F2 2 .3 |PF1|PF2|sin 2 .12 3 3|PF 1|PF2| 8.4c 24a 28，即 b22.又e 2，a 2 .ca 237双曲线的方程为： 1.3x22 y2212已知曲线 C： x 21.y2(1)由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F，动点 P 满足 ，求点 P 的3E轨迹P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2)如果直线 l 的斜率为 ，且过点 M(0，2) ，直线 l 交曲线
8、C 于 A、B 两点，又2，求曲线 C 的方程92MAB解：(1)设 E(x0，y0)，P(x，y)，则 F(x0,0)， ，3,(xx 0，y)3(x x 0，yy 0) 0,2.3代入 x 1 中，得 x 21 为 P 点的轨迹方程y20 20 4y29当 时，轨迹是 圆49(2)由题设知直线 l 的方程为 y x2，2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组 2,1.x消去 y 得：(2)x 24 x4 0.2方程组有两解， 20 且 0，2 或 0 且 2，x 1x2 ，4 28而 x 1x2(y 12)(y 22) x 1x2 x1 x23x 1x2 ，MAB 2 2 3(
9、4 ) 2 ，解得 14.4 2 32曲线 C 的方程是 x2 1.y21413(2010南昌调研试题)如图， P 是以 F1、F 2 为焦点的双曲线 C： 1 上的一x2a2 y2b2点，已知 12120,|.PFA且(1)求双曲线的离心率 e；(2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1、P 2 两点，若.求双曲线 C 的方程12127,04OA解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得(1)由 得 ，即F 1PF2为直角三角形设120,PFA12P2r，于是有 (2r)2r 24c 2 和 2rr 2a，
10、也就是 5(2a)24c 2，所以 e2|,|.5(2) 2，可设 P1(x1,2x1)，P2(x2， 2x2)，P(x，y)，则 x 1x24x 1x2ba e2 1 1OPA，274所以 x1x2 .949由 2 即 x ，y ；又因为2112(),0xPyy得 2x1 x23 2(2x1 x2)3点 P 在双曲线 1 上，所以 1，又 b24a 2，代入上式整理x2a2 y2b2 (2x1 x2)29a2 4(2x1 x2)29b2得 x1x2 a2，由得 a22， b28，故所求双曲 线方程 为 1.98 x22 y28评析：平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题在解析几何中当直线与曲线相交时， 对于交点坐标，若直接求解有时非常复 杂，故往往 设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解本题借助直 线与双曲线相交，利用 设而不求的思想，结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出
