1、2017 届湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在复平面内，复数 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 A=1，2，3，B=x|x 23x+a=0，aA，若 AB，则 a 的值为（ ）A1 B2 C3 D1 或 23将函数 y=sin（2x + ）的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（ ）A By= cos2x Cy=cos2x D4 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“ 现有一
2、根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升5如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为 2 的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C5 D126二项式 的展开式中（ ）A不含 x9 项 B含 x4 项 C含 x2 项 D不含 x 项7A 是抛物线 y2=2px（p 0）上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|=4 时，OFA=120，则抛物线的准线方程是（ ）Ax=1 By=1 Cx
3、= 2 Dy=28某同学为实现“给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN， ”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）Ax N BxN CxN DxN9在ABC 中，C= ， AB=3，则ABC 的周长为（ ）A B C D10函数 y=ln|x|x2 的图象大致为（ ）A B C D11P 是双曲线 C： =1 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，P在 l 上的射影为 Q，F 1 是双曲线 C 的左焦点，则|PF 1|+|PQ|的最小值为（ ）A1 B C D12对于满足 0b3a 的任意实数 a，b ，函数 f（x）=ax 2+bx+c 总有两个不同的零点，则 的取值
4、范围是（ ）A B （1，2 C1，+） D （2，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （1+cosx）dx= 14空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大于 300 为严重污染一环保人士当地某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如图根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为为 （该年为365 天）15化简： = 16
5、平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=2，BAD=120，P 是平行四边形 ABCD 内一点，且 AP=1，若 ，则 3x+2y 的最大值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知数列a n为等差数列，其中 a2+a3=8，a 5=3a2（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n中，b 1=1，b 2=2，从数列a n中取出第 bn 项记为 cn，若c n是等比数列，求b n的前 n 项和18张老师 上班，有路线与路线两条路线可供选择路线：沿途有 A，B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 ，若 A 处遇到红灯
6、或黄灯，则导致延误时间 2 分钟；若 B 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间 3 分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为 20 分钟路线：沿途有 a，b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 ，若 a 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间 8 分钟；若 b 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间 5 分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为 15 分钟（1）若张老师选择路线，求他 20 分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由19如图，以 A，B，C ，D，E 为顶点的六面体中，ABC 和ABD 均为正三角形，且平面 ABC平面 ABD
7、， EC面 ABC，EC= ，AB=2（1）求证：DEAB；（2）求二面角 DBEA 的余弦值20如图，P 是直线 x=4 上一动点，以 P 为圆心的圆 经定点 B（1，0） ，直线 l是圆 在点 B 处的切线，过 A（ 1，0）作圆 的两条切线分别与 l 交于 E，F 两点（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线 l 交直线 x=4 于点 Q，证明：|EB|FQ|=|BF|EQ|21已知函数 f（x ）=e x ，a，f （x）为实数（1）当 a0 时，求函数 f（x ）的单调区间；（2）若 f（x）在（0，+ ）上存在极值点，且极值大于 ln4+2，求 a 的取值范围选修 4-4
8、：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 C2 的方程为 （cosmsin）+1=0（m 为常数） （1）求曲线 C1，C 2 的直角坐标方程；（2）设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点，当 C2 过点 P 时，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（ x）=|xa|+|x3|（1）当 a=1 时，求 f（x）的最小值；（2）若不等式 f（x）3 的解集非空，求 a 的取值范围2017 届湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题
9、，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1在复平面内，复数 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数 ，求出在复平面内，复数 对应的点的坐标，则答案可求【解答】解： = ，在复平面内，复数 对应的点的坐标为：（ ， ） ，位于第二象限故选：B2已知集合 A=1，2，3，B=x|x 23x+a=0，aA，若 AB，则 a 的值为（ ）A1 B2 C3 D1 或 2【考点】交集及其运算【分析】分别令 a=1、2、3 ，求出 B 中方程对应的解，即可得出 A
10、B 时 a 的取值【解答】解：a=1 时，B 中方程为 x23x+1=0，其解为无理数， AB=；a=2 时，B 中方程为 x23x+2=0，其解为 1 和 2，AB=1，2 ；a=3 时，B 中方程为 x23x+3=0，无解，AB=；综上，a 的值为 2故选：B3将函数 y=sin（2x + ）的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（ ）A By= cos2x Cy=cos2x D【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】根据函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律即可得解【解答】解：将函数 y=sin（2x + ）的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为 y=sin2（
11、x + ）+ =sin（2x+ + ）=sin（2x+ ） 故选：A4 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“ 现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升【考点】等差数列的性质【分析】自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，由题意得， ，即
12、，得 ，所以 a2+a3+a8= （升） ，故选：A5如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为 2 的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C5 D12【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为 1 的半球，进而可得答案【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为 1 的半球，其表面积 S= =3，故选：A6二项式 的展开式中（ ）A不含 x9 项 B含 x4 项 C含 x2 项 D不含 x 项【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：T r+1= =（ 1） r x123r，故 x 的次数分别为：12，9，6，3
13、，0， 3，6，因此不含 x 项故选：D7A 是抛物线 y2=2px（p 0）上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|=4 时，OFA=120，则抛物线的准线方程是（ ）Ax=1 By=1 Cx= 2 Dy=2【考点】抛物线的简单性质【分析】当|AF|=4 时， OFA=120，结合抛物线的定义可求得 p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程【解答】解：由题意BFA=OFA90=30，过 A 作准线的垂线 AC，过 F 作 AC 的垂线，垂足分别为 C，B如图，A 点到准线的距离为：d=|AB |+|BC|=p+2=4，解得 p=2，则抛物线的准线方程是 x=1故选 A8某同学为实现“给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN， ”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）
