1、2017 届湖南郴州市高三第二次质监数学（理）试题一、选择题1已知 ， 是虚数单位.若 与 互为共轭复数，则 （ ）,xyRixyi31xyA0 B1 C2 D3【答案】D【解析】试题分析： ,所以 互为共轭复数为()421iii31i，即 ，所以 ，故选 D.2i,xy3xy【考点】1.复数相关的概念；2.复数的运算.2已知 均为单位向量，且 ，则向量 的夹角为（ ,ab 3(2)()2ab,ab）A B C D643456【答案】A【解析】试题分析：向量 的夹角为 ,因为 ，所以,ab1ab，即 ， ，故选 A.323cos2ab 3cos26【考点】1.向量相关的概念；2.向量的数量积及
2、运算.3已知 ， ，则 （ ）(0,)61sin()3s()6A B C D5121235123【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以sin()cos()，故选 B.cos()612【考点】诱导公式.4我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式 ）.1()3VSSh下 下上 上 A 2 寸 B3 寸 C. 4 寸 D5 寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选 B.22
3、219(016)334【考点】1.实际应用问题；2.圆台的体积.5考拉兹猜想又名 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 331n再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2.如此循环，最终都能得到 1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果 （ ）iA4 B5 C.6 D7【答案】D【解析】试题分析：模拟算法：开始： ， 不成立；10,ai1a是奇数，不成立， ， 不成立；a5,2ai是奇数，成立， ， 不成立；163是奇数，不成立， ， 不成立；8,4i1是奇数，不成立， ， 不成立；a5a是奇数，不成立， ， 不成立；2,6ia是奇数，不成立， ， 成立；17输出 ，结束
4、算法.故选 D.7i【考点】程序框图.6已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A B C. D22325【答案】A【解析】试题分析：如图，该三回旋曲图所表示的几何体为三棱锥 ，显然最ABCD长棱为 ，且 ，故选 A.AB23【考点】三视图.7已知函数 是奇函数，当 时， （ 且 ） ，且()fx0x()xfa01，则 的值为（ ）12(log43faA B C. 3 D9【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，21221(log4)(l)(3fffa2a，又 ，所以 ，故选 B.3a0a3【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的表示与求值
5、.8设关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 ，满足,xy210xym 0(,)Pxy.则 的取值范围是（ ）02A B C. D4(,)31(,)32(,)35(,)3【答案】C【解析】试题分析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点使 成立，只要点 在直线 下方即可，0(,)Pxy02y(,)Am20xy即 解得 ，故选 C.m23m【考点】线性规划.9将边长为 的正方形 沿对角线 折成一个直二面角 .则四2ABCDBACD面体 的内切球的半径为（ ）ABCDA1 B C. D232123【答案】D【解析】试题分析：设球心为 ，球的半径为 ，由OR，知 ，故选 D.AB
6、COADCBABDVVVr【考点】1.球的切接问题；2.等体积转换.10已知 为双曲线 的左焦点，点 为双曲线虚轴的一个顶F21(0,)xyabA点，过 的直线与双曲线的一条渐近线在 轴右侧的交点为 ，若,AyB，则此双曲线的离心率是（ ）(21)BA B C. D352【答案】A【解析】试题分析： 的方程为 ，即 ，联立FA1xycb0xcyb得 ，所以 ，0bxcya(,),(2)aBFABc(21)ca解得 ，故选 A.2e【考点】1.双曲线的几何性质；2.向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质与向量的坐标运算，属中档题；圆锥曲线的几何性质高考的高频考点，求有心曲线的离心率
7、，实质上就是根据条建立 ， ，ab之间的等量关系，再由曲线中 的内在联系，进而得到 的等量关系，从而求c,abc,c出离心率.11在 中， 分别是边 的中点， 分别是线段 的中ABC1,BAC2,B1,AB点， 分别是线段 的中点， 设数列 满,n *1(1)nNn， nab足：向量 ，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）*)nabA数列 是单调递增数列，数列 是单调递减数列nB数列 是等比数列+nC.数列 有最小值，无最大值nabD若 中， ， ， ，则最小时，ABC90ACB|n12nab【答案】C【解析】试题分析：由 ，1()(),2n nnnACB，所以 ，1(1)()2nnnnBAC
8、AB11,2nnab所以 C为假命题，故选 C.【考点】1.向量的线性运算；2.数列的性质.【名师点睛】本题考查向量的线性运算，数列的性质，属中档题. 平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，独立考查向量相关知识或以向量为载体考查其它知识，本题就是向量与数列的交汇，以向量的线性运算为基础，得到数列的通项公式，进而考查数列的性质，同时考查了学生应用知识的能力与运算能力.12若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，2|1|0xt1234,x1234xx则 的取值范围是（ ）4132()()A B C. D8,6(8,45(6,5)(6,5【答案】B【解析】试题分析：方程 有四个不同的实数根,
9、在同一坐标系内作2|1|0xt出函数 与函数 的图象如下图所示，所以 是方程2()|fx()g14,x的两根， 是方程 的两根，由求根公式得21t23,x2xt，且 ，所以43,xt0，令 ，由122()()()x()22)fttt得 ，函数 在区间 递增，在区间204ttft65tft6(0,5递减，又 ，所以所求函数的取值范围是6,2)5()6,()4,(2)8fff，故选 B.(8,【考点】1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值；3.一元二次方程.【名师点睛】本题考查函数与方程、导数与函数的单调性、极值以及一元二次方程，属难题；函数与方程是高考的热点内容，通常通过数形结合、构造函数
10、、利用导数研究函数单调性、极值，零点存在定理研究函数的零点问题，本题则研究零点之间距离，把距离表示成函数，从而求其范围.二、填空题13若命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是:p023xRa， a_.【答案】 1,2【解析】试题分析：“ ”是假命题等价于023xa，即 ，解之得 ，即实数 的取值范围23xRa， 12aa是 .1,【考点】1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.14两所学校分别有 2名、3 名学生获奖，这 5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是_.【答案】 15【解析】试题分析：5 名学生要排成一排合影共有 种不同的排法，同校学生排在一5A起共
11、有 种不同的排法，所以所求概率为 .23A2351P【考点】1.古典概型；2.排列与组合.15过点 的直线 与圆 交于 两点， 为圆心，当1(,)2Ml2:(1)4CxyAB、 C最小时，直线 的方程为_.ACB【答案】 430xy【解析】试题分析：由题意得，当 时， 最小，从而直线方程为MB，即 .12()0yx2430xy【考点】直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题；直线与圆的位置关系共有三种，判断位置关系通常是通过圆心到直线的距离与半径比较大小进行的，还一种特殊的判断相交的方法就是当所给动直线过圆内一点时，直线与圆一业=定相交，这时还要注意垂径定理的应用.
12、16已知函数 ，给出下列四个命题：()2|cos|ins2fxx函数 的图象关于直线 对称；函数 在区间 上单调递增；4()fx,4函数 的最小正周期为 ；函数 的值域为 .()fxf2,其中真命题的序号是_.（将你认为真命题的序号都填上）【答案】【解析】试题分析： ,作出函数图sin,co0()2|cos|ins20xfxx象（如下图所示） ，由图可知正确.【考点】1.绝对值的意义；2.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查绝对值的意义，三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数最值与绝对值的综合，由绝对值的意义去掉绝对值符号，利用数形结合解决问题是最的效的方法.极端位置的考虑方法是解决非
13、常规题的一个行之有效的方法.三、解答题17已知等差数列 满足: ，该数列的前三项分别加上 1,1,3na*11(),naN后成等比数列，且 .2logb（1）求数列 , 的通项公式；n（2）求数列 的前 项和 .anT【答案】(1) , ；(2) .21nnb23n【解析】试题分析：(1) 用基本量法，即用为等差数列 的公差 与 表示已知条nad1a件，列出方程，解出 ，即可求数列 的通项公式；由 可得dna2lognb，即可求出数列 的通项公式；(2)因为 ，所以用错位相2lognbnbna减法求 即可.T试题解析：（1）设 为等差数列 的公差，且 ，dna0d由 ，（1 分）123,12a
14、a因三式分别加上 后成等比数列，所以 ，（2 分）, 24dd因为 ，所以 ，（3 分）0dd所以 ，（4 分）121nan又 ，所以 ，即 ，（5 分）2lognb2lognb12n（2）由（1）知 ，所以 ，（6 分）a312nT+，（7 分）2341152n nT+ ，得，（8 分）23112n n-，（9 分）211111 232 2nn nnnT-所以 .（10 分）32nn【考点】1.等差数列的定义与性质；2.对数的性质；3.错位相减法求和.【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列 及一个等比数列 对应项之积组成
15、的nanb数列考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列1n18在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且ABCabcABC.2cos(tn1)（1）求 的大小；（2）若 ， ，求 的面积32abAB【答案】(1) ；(2)516【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系及两角和与差的余弦公式化简已知条件可得 ，由三角形内角和公
16、式及诱导公式可得 ，从而可求cos2AC 1cos2B出角 的值；（2）由余弦定理 得 ，从而B22cosbaB2ab可求出 ，代入三角形面积公式即可.54ac试题解析：（1）由 ，2costan1AC得 ，（1 分）in2cos1AC，（3 分）icso，(4 分)1cos2，（5 分）B又 .（6 分）0,3B（2）由 ，得 ，（8 分）22cosbaB22cosaBb又 ，（10 分）5,34c.（12 分）1sin2216ABCSa【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理及三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换、三角形内角和定
17、理及三角形面积公式，属中档题；高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.19如图，菱形 中， ， 与 相交于点 ， 平面ABCD60ACBDOAE， ./23FEF， ，（1）求证： 平面 ；BDACFE（2）当直线 与平
18、面 所成角的大小为 时，求 的长度.O45AE【答案】(1)见解析；（2） .2【解析】试题分析：(1)由菱形的性质可知 ，由 平面 可得BDCBCD，由此可证 平面 ；（2）以 为原点，以 所在直线分BDAEBAFEO,别为 轴， 轴，以过点 且平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，求出平面xyOz的法向量及向量 ，由直线 与平面 所成角的大小为 ，利用向量 45公式可求出 的长度.试题解析：（1）证明： 四边形 是菱形，ABCD.（1 分）BDAC平面 ， 平面 ，（2 分）E，（3 分）又 平面 ， 平面 ， ，（4 分）FEAFEA平面 .（5 分）BAC（2）以 为原点，以 所在直
19、线分别为 轴， 轴，以过点 且平行于 的直O,ABxyOCF线为 轴建立空间直角坐标系.（6 分）z则 .设 ，则 ，0,3,3,01,3BDFAEa1,0a，（7 分）1,2,FBB设平面 的法向量为 ，则 （8 分）E,nxyz0,nDE即 令 ，得 ，（9 分）230yxaz1,1a，（10 分）23cos,0nOF直线 与平面 所成角的大小为 ，BED45，（11 分）2310a解得 或 （舍） ， .（12 分）12AE【考点】1.直线与平面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.20某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求未来 3天内，连续 2天日销售量不低于 8吨，另一天日销售量低于 8吨的概率；（2）用 表示未来 3天内日销售量不低于 8吨的天数，求随机变量 的分布列及数X X学期望.
