1、第 1 页第23章:相似形知识点强化记忆知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点 2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ,那么就说这两条线段的比是ba,nm,,或写成 注:在求线段比时,线段单位要统一。nmbanba:(2)在四条线段 中,如果 的比等于 的比,那么这四条线段 叫做dc,和 dc和 dcba,成比例线段,简称比例线段注:比例线段是有顺序的,如果说 是 的
2、第四比例项,,那么应得比例式为: a、d 叫比例外项,b、c 叫a()ab在 比 例 式 : : 中 ,比例内项, a、c 叫比例前项,b、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,即 那么 b 叫做 a、d 的比例中项, 此时有 。abd: : 2(3)黄金分割:把线段 分成两条线段 ,且使 是 的比例AB)(,BCAABC和中项,即 ,叫做把线段 黄金分割,点 叫做线段 的黄金分割点,其中2C0.618 即 简记为:A15512C512长 短 全 长注:黄金三角形:顶角是 360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为 0
3、)(1) 基本性质: ; bcadcba: 2:bcac注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如 ,除bcad了可化为 ,还可化为 , , , ,da:b:cd:, , :(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()cbdabc, 交 换 内 项, 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项(3)反比性质(把比的前项、后项交换): abd(4)合、分比性质: accbd注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立如: 等等dcbadcb(5)等比性质:如果 ,那)0(nfnmfedcba么 nfdbme
4、ca注:此性质的证明运用了“设 法” (即引入新的参数 k)这样可以减少未知数的个数,这种方法k是有关比例计算变形中一种常用方法应用等比性质时,要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立如: ;其中 bafdbecafedcbafedcba 3232 032fd知识点 4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由 DEBC 可得: ACEBDAECDB或或注:重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对
5、应成比例. 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知 ADBECF, 可得 等. ABDEBCEFABCCFADEF或 或 或 或注:平行线分线段成比例定理的推论:FEDCBAEAB CD第 2 页平行线等分线段定理:两条直线被三条平行
6、线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。知识点 5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形相似用符号“”表示,读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等,对应边成比例注:对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样,但大小不一定一样全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定
7、理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:反身性:对于任一 有 ABCABC对称性:若 ,则 传递性:若 ,且 ,则 ABC(2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形:用数学语言表述是: , BCDE/ADEBC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理 1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似简述为:两角对应
8、相等,两三角形相似4、判定定理 2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似5、判定定理 3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似简述为:三边对应成比例,两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注 :射 影 定 理 : 在 直 角 三 角 形 中 , 斜 边 上
9、 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。 每 一 条 直 角 边是 这 条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。如 图 , Rt ABC 中 , BAC=90, AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ,则 AD2=BDDC, AB2=BDBC , AC2=CDBC 。知识点 8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中1=2,则ADEABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共角型”、“反 A 共角
10、共边型”、 “蝶型”)(1) EAB CD(3)DB CAE (2) CD EAB EE1242DB CA(1) EAB CD(3)DB CAE (2) CD EAB第 3 页(3) 如图:称为“垂直型” (有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型(也称“射 影 定 理 型 ”) ”“三垂直型” )(4)如图:1=2,B=D,则ADEABC,称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用:(1)若 DEBC(A 型和 X 型)则ADEABC(2)射影定理 若 CD 为 RtABC 斜边上的高(双直角图形) 则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB,CD 2=ADBD,
11、BC 2=BDAB;EADCBEADCBA DCB(3)满足 1、AC 2=ADAB,2、ACD=B,3、ACB=ADC,都可判定ADCACB(4)当 或 ADAB=ACAE 时,ADEACBACADCBEADCB知识点 9:全等与相似的比较:三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例,且夹角相等三边对应成比例直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点 10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例(2)相
12、似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法:(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳:(1)总体思路:“等积”变“比例” , “比例”找“相似”(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个
13、字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的,则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这 几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。 )(,为 中 间 比nmdcba,nmdcnba ), 或(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论
14、证出为止.注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为 k。(6) 对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形) “分离”出来的办法处理。知识点 12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键知
15、识点13 位似图形有关的概念与性质及作法 ECAB DEAB C(D)EA DCB第 4 页1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. 注: (1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点. (2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. (3) 位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注:位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤: (1) 确定位
16、似中心(位似中心可以是平面中任意一点) (2) 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取). (3) 根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置. (4) 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. 注:位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上(图形边上或顶点上)。外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形)内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)(5) 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图
17、形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),相似三角形练习题一、解答填空题(共 30 小题)1、已知 BD,CE 是ABC 的高,BDAC _ ABCE(用两种方法)2、如图,在ABC 中,D 是 AC 上的一点,已知 AB2=ADAC,ABD=35,则C= _度3、如图,已知 ACAB,BDAB,AO=78cm,BO=42cm,CD=159cm,则 CO= _ cm,DO= _ cm第 5 页4、如图,已知ABC=ACD,若 AD=3cm,AB=7cm,则 AC= _ cm5、如图,已知ABC 中,ACB=90,CDAB,垂足为点D,AD=4,BD=1(1
18、)求证:ABCCBD; (2)则 cosB 的值为 _ 6、如图,在平行四边形 ABCD 中,过顶点 A 的直线 AF 交 CD 于 E 点,交BC 的延长线于 F 点(1)则ADE _ FBA; (2)若 E 点为 CD 中点,则 的值为 _ 7、如图,在ABC 中,点 D 是 AB 中点,点 E 在边 AC 上,且AED=ABC,如果AE=3,EC=1,那么边 AB= _ 8、如图,已知 AB:AD=BC:DE=AC:AE,则ABD 与ACE 的关系 _ 9、如图,已知ABC 中,点 E、F 分别是 AC、AB 边上的点,EFBC,AF=2,BF=4,BC=5,连接 BE,CF 相交于点
19、G(1)则线段 EF= _ ; (2)则 SGEF= _ 10、如图,在ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,动点 E(与点 A,C 不重合)在 AC 边上,EFAB 交 BC于 F 点 (1)当ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时,CE= _ ;(2)当ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时,CE= _ 11、如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,B=90,ACCD,若 AD=9,BC=4,则 AC 的长为 _ 第 6 页12、如图,ABC 中,AD 平分BAC,CD=CE,则 ABCD _ ACBD13、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站
20、在距离墙壁 1.60 米处观察装饰画时的示意图,此时小明的眼睛与装饰画底部 A 处于同一水平线上,视线恰好落在装饰画中心位置 E 处,且与 AD 垂直已知装饰画的高度 AD 为 0.66 米,求:(1)装饰画与墙壁的夹角CAD= _ 度(精确到 1) ;(2)装饰画顶部到墙壁的距离 DC= _ 米(精确到 0.01 米) 14、小明想利用太阳光测量楼高他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图,小明边移动边观察,发现站到点 E 处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同此时,测得小明落在墙上的
21、影子高度 CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点 A、E、C 在同一直线上) 已知小明的身高 EF 是 1.7m,楼高 AB 是 _ m(结果精确到 0.1m) 15、亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼,两人准备用测量影子的方法测算其楼高,但恰逢阴天,于是两人商定改用下面方法:如图,亮亮蹲在地上,颖颖站在亮亮和楼之间,两人适当调整自己的位置,当楼的顶部 M,颖颖的头顶 B 及亮亮的眼睛 A 恰在一条直线上时,两人分别标定自己的位置 C,D然后测出两人之间的距离 CD=1.25m,颖颖与楼之间的距离DN=30m(C,D,N 在一条直线上) ,颖颖的身高 BD=1.6m,亮亮蹲地观测时眼睛到地面
22、的距离AC=0.8m住宅楼的高度为 _ 米16、如图所示,一段街道的两边缘所在直线分别为 AB,PQ,并且 ABPQ建筑物的一端 DE 所在的直线 MNAB 于点 M,交 PQ 于点 N小亮从胜利街的 A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点 P 的位置等候小亮(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点 C 标出) ;(2)已知:MN=20 m,MD=8 m,PN=24 m,求(1)中的点 C 到胜利街口的距离 CM= _ m17、如图,在一个长 40m、宽 30m 的长方形小操场上,王刚从 A 点出发,沿着 ABC 的路线以 3m/s 的速度跑向 C 地当他
23、出发 4s 后,张华有东西需要交给他,就从 A 地出发沿王刚走的路线追赶当张华跑到距 B 地 2m 的 D 处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上此时,A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线 AC 上(1)求他们的影子重叠时,两人相距 _ 米 (DE 的长)(2)求张华追赶王刚的速度是 _ m/s(精确到 0.1m/s) 第 7 页18、如图,一油桶高 AE 为 1m,桶内有油,一根木棒 AB 长为1.2m,从桶盖的小口(A)处斜插入桶内,一端插到桶底,另一端与小口(A)齐平,抽出木棒,量得棒上未浸油部分 AC 长为0.48m桶内油面的高度 DE= _ m19、如图,某同学
24、身高 1.6 米,由路灯下向前步行 4 米,发现自己的影子长有 2 米,此路灯高有 _ 米20、兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下,一名同学测得一根长为1 米的竹竿的影长为 0.4 米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为 0.2 米,一级台阶高为 0.3 米,如图所示,若此时落在地面上的影长为 4.4 米(1)一个实际或现实的问题只有数学化后,才有可能用数学的思想方法解决请你认真读题,画出示意图,并在示意图上标注必要的字母和数字(2)利用示意图,树的高度是 _ 米21、小玲用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度:如
25、图,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离 EA=21 米当她与镜子的距离 CE=2.5 米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度 DC=1.6 米教学大楼的高度 AB 是 _ 米(注意:根据光的反射定律:反射角等于入射角) 22、有一块两直角边长分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上,另两个顶点在两条直角边上,如图(1) ;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上,如图(2) 两种情形下正方形的面积哪个大? _ (填(1)或(2)即可) 23、如图,灯泡在圆
26、桌的正上方,当距桌面 2m 时,圆桌的影子的直径为 2.8m,在仅仅改变圆桌的高度,其他条件不变的情况下,圆桌的桌面再上升 _ 米,其影子的直径变为 3.2m24、如图,马路 MN 上有一路灯 O,小明沿着马路 MN 散步,当他在距路灯灯柱 6 米远的 B 处时,他在地面上的影长是 3 米,问当他在距路灯灯柱 10 米远的 D 处时,他的影长 DF 是 _ 米第 8 页25、如图所示,AD、BC 为两路灯,身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间,两人相距 6.5m,小明站在 P 处,小亮站在 Q 处,小明在路灯 C 下的影长为 2m,已知小明身高 1.8m,路灯 BC 高 9m小亮在路灯 D 下
27、的影长为 _ m;建筑物 AD 的高为 _ m26、在九章算术 “勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方不知大小,各中开门,出北门二十步有木,出南门十回步,折而西行千七百七十五步见木问邑方几何 ”用今天的话说,大意是:如图,DEFG 是一座正方形小城,北门 H 位于 DG 的中点,南门 K 位于 EF 的中点,出北门 20 步到 A 处有一树木,出南门 14 步到 C,再向西行 1775 步到 B 处,正好看到 A 处的树木(即点 D 在直线 AB 上) ,小城的边长为 _ 步27、如图,某测量工作人员与标杆顶端 F、电视塔顶端在同一直线上,已知此人眼睛距地面 1.6 米,标杆为 3.2 米,且
28、 BC=1 米,CD=5 米,电视塔的高 ED= _ 米28、已知:如图,一人在距离树 21 米的点 A 处测量树高,将一长为 2米的标杆 BE 在与人相距 3 米处垂直立于地面,此时,观察视线恰好经过标杆顶点 E 及树的顶点 C,此树的高是 _ 米29、一位同学想利用树影测树高 AB在某一时刻测得 1m 的竹竿的影长为 0.7m,但当他马上测树影时,发现影子不全落在地上,一部分落在了附近的幢高楼上(如图) 于是他只得测出了留在墙上的影长 CD 为 1.5m,以及地面部分上的影长 BD 为 4.9m树高是 _ 米30、如图,小龙要测量楼的顶层一根旗杆的顶端距地面的距离他在地面上放置一面镜子,若小龙的眼睛距镜面中心点 2 米,镜面中心点距离小龙的脚 1.2 米,距离大楼底部 12 米,这根旗杆的顶端距地面的距离为 _ 米第 9 页