1、 1专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 2 22 22 22 22 2 2 22 2 2 22 2cos1( 0) ( )sin11( 0)1( 0 0) 1( 0 0)2 ( 0) 2 ( 0213x ax yx a by ba by xy a ba b x y y xx a b y a ba b a by px p y px p 圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在轴上时 参数方程，其中 为参数；焦点在轴上时 双曲线：焦点在轴上： ， ；焦点在轴上： ， 抛物线：开口向右时， ，开口向左时，2 2)2 ( 0) 2 ( 0)x py p x py p ，开口向上时 ，开
2、口向下时 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 21 11 11 ( 0)123 142 x y x ya b a bx y x ya b a bx y x ya b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧共焦点的设法：与椭圆 有公共焦点的椭圆方程为 ；与双曲线 有公共焦点的双曲线方程为 ；与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 ；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；不清楚开口方向的抛物线设法：焦 22( 0)( 0)x y mx my x my m 点在轴上， ；焦点在轴上， 3解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的
3、坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 2 21 2 1 22 2 21 2 1 2 1 2 1 22| | ( ) ( )1| 1 | (1 )( ) 4 1 | |.AB x x y yAB k x x k x x xx y yk (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 22 200 02 2 2022 200 02 2 2020 001 ( )1 ( )2 ( 0) ( ) .b xx y P x y ka b a yb xx y P x y ka b a y py px p P x y
4、 k y 圆锥曲线中点弦斜率公式在椭圆 中，以 ， 为中点的弦所在直线的斜率 ；在双曲线 中，以 ， 为中点的弦所在直线的斜率 ；在抛物线 中，以 ， 为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4差法可得2 (1 ) (1234)05.( )nk m n kmOA OB AB OA OB ABPM PN P MNAP AQ BP BQ A B PQ 解析几何与向量综合的有关结论给出直线的方向向量 ， 或 ， ，等价于已知直线的斜率或给出 与 相交，等价于已知 过 的中点给出 ，等价于已知是 的中点给出 ，等价于已知，与 的中点三点共线u u106/50AB AC AB ACOC OA OB A
5、B CMA MB MA MB AMB MA MB mAMB MA MB m 给出以下情形之一： ；存在实数 ，使 ；若存在实数 ， ，且 ，使 ，等价于已知 ， ， 三点共线给出 ，等价于已知 ，即 是直角；给出 ，等价于已知 是钝角或反向共线；给出70( )AMBMA MB MP MP AMBMA MB ，等价于已知 是锐角或同向共线给出 ，等价于已知 是 的角平分线二. 例题剖析 1.概念性质 2 21 2 12 2125 9| | 12 | | _1_.x yF F F A BFA FB AB 已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于、 两点若 ，则【例】 解析:由椭圆的定义可知
6、：|F1A|+|F2A|=2a=10，|F1B|+|F2B|=2a=10，所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8. 小结: 1对椭圆、双曲线，已知曲线上的点与一个焦点的距离时，常作辅助线：连结它与另一个焦点，考虑使用定义解题 2要熟悉焦点三角形的性质及研究方法 2 21 2 11 2112 3A7 B5 C4 D3x y F F P PFy PF PF 椭圆 的焦点为 ， ， 在椭圆上，如果线段 的中点在轴上，则 是 的倍 【变式训练1】倍 倍 倍22 2 11 23 3 3 7 34 32 2 22 37bPF x PF PFaPF PF 解析：由题意， 轴，则可计算出 ， ，因此
7、是 的倍答案为A2.椭圆方程 2 21 12 2122 2 11( 0) 1,01.12 ( ) .2 y xC a b A Ca bCP C y x hh R C P C M NAP MN h 已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆 的方程；设点 在抛物线 ： 上， 在点处的切线与 交于点 、当线段 的中点与 的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例3 22 21 2 . .11 41 12b a xb bay 由题意解析： 椭圆方程为，得 ，从而 因此，所求的21 1 2 2 2212 2 2 2 2 2 2 214 2 21( ) ( ) ( ) | 22 .4 (
8、2 ) 4 0. 4(1 ) 4( ) ( ) 4 0.16 2( 2) 4 0.2 x tM x y N x y P t t h C P y tMN y tx t h Cx tx t h t x t t h x t hMN Ct h t h 设 ， ， ， ， ， ，则抛物线 在点 处的切线斜率为 ，直线 的方程为： 将上式代入椭圆 的方程中，得 即 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以式中的 设 21 23 3 2( ).2 2(1 )x x t t hMN x x t 线段 的中点的横坐标是 ，则24 4 3 42 221. (1 ) 1 0.2(1 ) 4 0 1 3. 3 2 0
9、,4 01. 1111 .1tPA x x x x t hth h h h hh h th t hh 设线段 的中点的横坐标是 ，则 由题意，得 ，即 由式中的 ，得 ，或 当 时， ，则不等式不成立，所以 当 时，代入方程得 ，将 ， 代入不等式 的，检验成 最小立 以， 值为所 2 212 22 1 12 21 0 ,0,0 2 ( )0x y a b e F ca bF c Q x FQ a Px y QFT FQ PTTF T 已知椭圆 的离心率为，左右焦点分别为 ， 是椭圆外且不在轴上的动点，满足 ，点 ， 是线段 与椭圆的交点，点是【变式训练2线段 上的点，且满足 ，求点】的轨迹1
10、 1 22 1 21 1 12 22 22 2 212121 1( ) ( ) ,022 ,2 . 24x y2 4y44.T x y Qx y F cPTTF FQ a T FQx c x y y FQ ax c y x aaa c c 不妨设 ， ， ， ，如图所示， 且 ，得 为 的中点因此有 ，则可得 ，因此有 ，化简因为又因为得解析：【例3】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率 221 21 21
11、 221 1 2 22 . 1,22 2 1 2.2 2( 1) ( 1)111.( ) ( )4 1.2 PA PB PA PBPA PBy px Pp py yPA k PB k k x k xx xPA PB k kA x y B x yy x x 由已知条件，可设抛物线的方程为 因为点 在抛物线上，所以 ，解得 故所求设直线 的斜率为 ，直线 的抛物线的方程是 ，其准线方程是斜率为 ，则 ， 因为 与 的斜率存在且倾斜角互补，所以由 ， ， ， 均解析：在抛物线 2 21 1 2 24 4y x y x 上，得 ， ， 41 2 12 1 1 22 1 22 1 2 12 21 22
12、2 24 1( 2) 4.1 11( )14 4ABy yy yk x xx x yy y y yy yAB y 所以 ，所以 ，所以由 得，直线 的斜率为 2y x O A B OA OBAOB 抛物线 上异于坐标原点 的两个相异的动点， 满足 ，问： 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，【变式训练3】请说明理由1 21 1 2 2 1 2 1 21 22 21 1 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 1 1.12 24 (x y )(x y ) ( y )( y
13、 ) yy 2 2 2 4 1yyA x y B x y OA OB xx yyxxx yAOB S S OA OB x yS y y y y yy y yy y yy S y y 解析：设 ， ， ， 因为 ，则有 ，所以 ，不妨设 的面积为，则 ，因此有，因此 ，当且仅当min11,1 1,1 1.A B S 时取到最小值即此时 ， ，小结：抛物线焦点弦的性质： 直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有： (1)通径的长为2p； (2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p； (3)x1x2=p2/4，y1y2=-p2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相
14、切 第二课时 一知识体系小结 1 22 21 2 2 22 21 1 221 2 1 2 1 21( 0)| | | | | | | | .1 2 34 5 6tan ( )21FPFx yF F a b P Ba bOOP b a PF a c a c PF PF b aFPF FBF S b FPF 椭圆中的最值， 为椭圆 的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：， ， ， 焦点弦以通径为最短1 22 21 2 2 221 1 221( 0 0)1 2| | . | | . ( )ta 23nFPFx yF F a b Pa bbO OP a PF c a S
15、 FPF 双曲线中的最值， 为双曲线 ， 的左、右焦点， 为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有： 52 2 ( 0) | | .234| | 2 . ( )1 2|2|31pP y px p F PF ABAB p Am n PA PFb aa b 抛物线中的最值点为抛物线 上的任一点，为焦点，则有： 焦点弦 以通径为最值，即 ， 为一定点，则 有最小值双曲线的渐近线求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得用法：可得 或 的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程351 2直线与圆锥曲线的位置关系相离； 相切； 相交特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点当直线
16、与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点【注】：设直线l：AxByC0，圆锥曲线：f(x，y)0，由 AxByC0f(x，y)0 消元(x或y)，若消去y得a1x2b1xc10. （1）若a10，此时圆锥曲线不是椭圆当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合 （2）若a10，b4a1c1，则 0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点； 0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； 0时，直线与圆锥曲线 ，没有 二例题剖析 1.定值问题 2 2 2 1 ( 2 )4 21( ) 12x y M MA B M ABAMB
17、已知椭圆方程为 ，点 ， ，过 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于、 两点异于 求证直线 的斜率为定值； 求 面积的【例】最大值解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 2 22 22 22( 0) ( 2)22( 2) 12 42(4 4 1 2(4 4 14 1 4 1( 2 21) 1 1.2A BA B ABA BA B
18、A BMA MA MBMA k k MA y k xxMB y k x yy yk k k kx x kk k x xk x x ABx x 证明：由题可知直线 的斜率存在，且 与 的斜率互为相反数，不妨设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，直线 的方程为 ，代入 可分别求得，） ）， ，所以即直线 的斜率为定值 .26 2 22 2 2 22 2 21 ( 0) 12 42 2 2 0 0 0 2. 2 2 2.5| | (1 )( ) -4 4 822A B A BA B A BxAB y x mm yx mx m m x x m x x mAB k x x x x m 设直线 的方程
19、为 ，代入 得，由 ，得 而 ，所以2 2 2 4 2 2max2 1. | | 2 0 2451 1.AMBmM AB d S AB d m m mm S 点 到直线 的距离为 则 ，又 ，当 时， 2.定点问题 15 17(0 ) .4 41 223 22 F P F xP P C C y MC A B AMBA B AMB AB y 已知点 ， ，上半平面内的点到点 和轴的距离之和为求动点的轨迹方程； 设动点的轨迹方程为 ，曲线 交轴于点 ，在曲线 上是否存在两点，使 ？若，是曲线上满足 的两点，求【例证：直线 与轴】交于一定点 2 2215 17( ) 0.4 44 (0 4) 0,4
20、2 1 ( 0 41)P x y y x y yP x y yp y 解析： 设点坐标为 ， ，其中 依题意得 ，化简得动点的轨迹方程为 这是一个以 为顶点，开口向下的抛物线的一部分其中 24 44 (0 4) 1,3 1,32.2MA y x MB y xx y y A BAMB 考虑到抛物线的对称性，不妨设直线 ： ，直线 ： ，分别与 联立，可得两个点的坐标为 ， ，此时 22 22214 4.4 ,44 41 1 1( 4 )314 ( ) 0 3 0,3AM y kx BM y xky kx x k A k kx y y kB AB k ABk k ky k k x k x y AB
21、 yk 设直线 的方程为 ，直线 的方程为由方程组 ，解得 ，即 点坐标为 同理可得 点坐标为 ， ，则直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 .令 ，得 ，从而直线 与轴交于定点 2 2 116 941 18 22A ( 0) B ( 0)C C. 4,0 D ( 0)10 5 5x yA FAF B B BC CAC 设 为双曲线 右支上一动点， 为该双曲线的右焦点，连接 交双曲线于 ，过 作直线 垂直于双曲线的右准线，垂足为 ，则直线 必过定点 ，【变式训练1，】 ，7:41( 01 .)0 AAB x解析此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即 与轴垂直时，便可得出一个定点 ， 故选， 3.
22、最值问题 22 1 0,141 1 1( ) ( )2 2 212 | |3 yx M l A BO P OP OA OB N lM PNP 设椭圆方程为 ，过点 的直线交椭圆于、 两点，是坐标原点，点 满足 ，点 的坐标为 ，当绕点 旋转时，求【例：动点的轨迹方程；的最大值】与最小值2 221 1 2 2 21 2 2 1 2 1 22 21 2 20,1 1.1( ) ( ) (4 ) 2 3 01421 44 . ( ) ( ) ( )8 2 2 2 4 44:1 l M k l y kxy kxAx y B x y k x kxyxkx xx x y y kk OP OA OBk ky
23、 yk 直线过点 ，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记 ， ， ， ，由 ，得 ，所以 ， ，解析则 2 22 22 2 2 22( ) 4 0.0,04 0.1 1 1 1 12 . | | ( ) ( )16 4 4 2 21 7 1 213( ) . | |6 12 6 61 1| | .4 4P x y k x y yABP x y yP x x NP x yx x NPx NP 设点的坐标为 ， ，则，消去得当斜率不存在时， 的中点为原点 ，也满足上述方程所以点的轨迹方程为由点的轨迹方程知 ，即 所以故当 时， 取得最大值为 ；当 时， 取得最小值为20,2 (0 2) 2,0
24、| |0( ) 12 0 |2 |M N Q P m PQMP NP m R Pm MP NP 已知定点 、 ， 、 ，动点满足 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形【变式训练2状；当 时，】求 的取值范围82 2 2 2 2 2 2 2 22 2( ) ( 2) ( 2) (2 )| | (2 ) ( ) 4 (2 ) 4( 1) ( 1) 4 4 4 0. 1 222,0 1 (1 P x y MP x y NP x y PQ x yPQ x y MP NP x y m x y x ym x m y mx m m xy m x 设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 所以 ，整理得， 当 时，方
25、程为 ，表示过点 平行于 轴的直线；当 时，方程化为解析：2 2 22) ( )1 12 2( 0)1 1m ym mmm m ，表示以 ，为圆心，以 为半径的圆 2 22 2 2 20 42 (3 ,3 2)|2 | 9 9 12 4 4|2 | 40 12 , 2 2|2 | 824,m x y MP NP x yMP NP x y y x yMP NP y yMP NP 当 时，方程化为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 而的取值范围是所以 第三课时 一知识体系小结 1求轨迹方程的常用方法：轨迹法：建系设动点列几何等式坐标代入得方程化简方程除去不合题意的1点作答(2)待定系数法：已知曲线的类
26、型，先设方程再求参数 (3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤： 设出两动点坐标(x，y)，(x0，y0)结合已知找出x，y与x0，y0的关系，并用x，y表示x0，y0. 将x0，y0代入它满足的曲线方程，得到x，y的关系式即为所求 (4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程 3有关弦的中点问题 (1)通法 (2)“点差法”点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率 点差法的步骤：将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程； 作差消去常数项得到关于x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的关系式 求出A
27、B的斜率 4取值范围问题 (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c-a； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p/2 . 二例题剖析 1.参数范围问题 9 (0 1) 0,1| | ( ) 12 | |1 G ABC A B x MMA MC GM AB R Ck l C P Q AP AQk 已知点 是 的重心， ， ， ，在轴上有一点 ，满足， 求点 的轨迹方程；若斜率为的直线与点 的轨迹交于【例】不同的两点、 ，且满足 ，试求的取值范围222222 2 2( ) ( ) ( )3 3( 0) | |3( ) (0 1)
28、( ) 1( 0)3 3131( 0)3x yC x y G ABC G GM AB RxGM AB MxC y xx M MA MCx x xx y y x 设 ， ， 为 的重心，则 ，因为 ，所以 ，而点 的轨迹方程为点 在轴上，则 ，由 ，得，整理 析得以解 ：所 2 22 2 22 2 2 2 20| |. 0 13(1 3 ) 6 3( 1) 0 *(6 ) 4(1 3 ) 3( 1) 0 1 3 0 *2 k l C P QxAP AQ k l y kx m yk x kmx m lkm k m k m 当 时，与椭圆 有两个不同的交点、 ，由椭圆的对称性知当 时，可设的方程为
29、，代入 ，整理得， ， 因为直线与椭圆交于不同的两点，所以 ，即 ，21 1 2 2 1 2 1 22 21 20 0 0 0 02 2226 3( 1)( ) ( )1 3 1 33( ) 2 1 3 1 311 3| | 13-1 3ANkm mP x y Q x y x x xxk kx x km mPQ N x y x y kx mk kmkAP AQ AN PQ k k k kmk 设 ， ， ， ，则 ， ，则 中点 ， 的坐标为 ， ，又 ，所以 ，所以 ，2 21 3 * 1 1,0 0,121,1km k kk 得 ，代入 得 ，所以 综合得，的取值范围是 2 2 2Rt 1
30、0 3ABC BC BCBC P Q l AP AQ PQ 在 中，斜边 为 ，以 的中点为圆心，作半径为的圆，分别交 于、 两点，设 ，试问是否是定值？如果是定值，请【变式训练1】求出这个值 22 2 2 2 2 2 2 22 2 23 362 4 100 2100 36 68 36 104.O PQO PAQ APDQAP AQ PQ AD AD AO AP AQAP AQ PQ 如图所示，建立直角坐标系因为圆的半径为，因此 ，利用圆心， 可构造得平行四边形 ，根据解析平行四边形的边长关系得， ，而 ，因此，所以：2.存在性问题 10 (0 1)2 2 0 3.132 ( 0) (0 )2
31、| |2 x Bx yk k Q l lM N BM BN l 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为 ， ，且其右焦点到直线 的距离为 求椭圆的方程；是否存在斜率为【例】，且过定点 ，的直线，使与椭圆交于不同的两个点 、 ，且 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由2 22 22 2 22 2 22 221 1 2 2 1 2 2121( 0) 1 ( ,0)2 2 3 2 3 .2 3 151 (1 3 ) 9 02 3 49(133) ( ) 1x y a b b ca bc c a b cxl y kx y k x kxkM x y N xx yy x x MN Pk 设椭
32、圆方程为 ，由已知得 ，设右焦点为 ，由题意得 ，解析：得 ，所以 ，得设直线的方程为 ，代入 ，得 ，设 ， ， ， ，则 ，设 的中椭圆方程点为为，2 22 2 229 3( ) | |2 6 2 6311 2 52 6 09 3 122 62 5 6 6 3. .3 12 3 3 2BPkP BM BN B MNk kkk k kkkkk l l y x 则点的坐标为 ， ，因为 ，所以点 在线段 的中垂线上，所以 ，化简得 ，又由 得， ，因为 ，所以 故存在直线满足题意，的方程为2 2 01( )212 ,0 0l y px p A B lx OAB Ol P a a x x CAB
33、C a 设直线与抛物线 交于、 两点，已知当直线经过抛物线焦点且与轴垂直时， 的面积为 为坐标【原点求抛物线的方程；当直线经过点 且与轴不垂直时，若在轴上存在点 ，使得 为正三角形，变求的取式训练2】值范围 2 21 1 2 2 0 02 1 2022011 2 22 2 21 1 1 2.2 22 ( ) ( ) ( ) ,0( 0) 2 2 02 2OABp pAB p O AB S pp p y xAx y B x y AB M x y C t lx my a y yx my a m y my a y my xx m a ABC MC 解析：由条件可得 ，又 点到 的距离为 ，所以 ，因
34、此抛物线的方程为设 ， ， ， ， 的中点为 ， ，又设 ，直线：，由 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 为正三角形，所以00321 1AB MC AByMC ABx t m ， ，由 ，得 ，11 2 2 2 2 20 0 1 2 1 22 2 2 2 2 222 2 23 31. 2 23 1 4 2 121 13 1 2 0 0 06 2 61(0 )6t m a MC AB x t y x x y ym a t m m m a mmm m a a m m aa 所以 又 ，得 ，化简得 ，因此可得，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以的取值范围为 ，3.综合问题 22 21 211 21
35、3 4 1 .1(2011 )2 ( )C x y C x y MM CP C P CC A B M P AB l 已知抛物线 ： ，圆 ： 的圆心为求点 到抛物线 的准线的距离；已知点是抛物线 上一点异于原点，过点作圆 的两条切线，交抛物线于， 两点，若过 ， 两点的直线 l垂直于 ，求直线浙江卷【例】的方程10,4 2 1414 .41174M p y M 解析：因为 ，且 ，所以准线方程为 ，因此点 到准线的距离为 22 2 21 1 2 2 1 21 2222222 2 2 2 2 2 24 4( ) ( ) ( )41 ( ) 1.2| 4|0,4 1 111 4 2 4 1 2AB
36、 PMPM ABmPm m Ax x B x x k x x k mm mPM AB k k x x m mP C k P y m k x mm kmkk k m m km m k m m 设 ， ， ， ， ， ， ， ，因为 ，则 ，所以设过点且与圆 相切的直线的斜率为，则过的圆的切线方程为 ，由圆心 到切线的距离为，得 ，所以 ， 22 24 1 4 0m k m ，2 2 2 21 2 1 122 2 21 1 2 22 2 1 2 1 2 1 22 21 2 22 (4 ) 01042 ( ) 14 4 4 232 ( ) 1 2 ( 1)( ) 11 5235 PMm mk k y
37、 m k x m x k x m mmm x k y m k x m x k x m mm x k x x k k m x x m mmk k m m m m mm m mmm k 所以 ，设切线 ，则 ，所以 ，设切线 ，则 ，所以 ，所以 ，代入 ，得 ，所以 ，所以 ， 234 3 1155 4.115235y xm ，故所求的直线方程为12 2 2 1 22 21 12 2 221 21 21( 0) ( ,0) ( ,0)| | 2 .0| | 0.12x y a b F c F ca bQ FQ a P FQ TFQ PT TF TF T CT C M FMF S bFMF 已知椭
38、圆 的左、右焦点分别是 、 是椭圆外的动点，满足 点是线段 与该椭圆的交点，点 在线段上，并且满足 ， 求点的轨迹 的方程；试问：在点的轨迹 上，是否存在点 ，使 的【变式训练3】面积 ？若存在，求 的正切值；若不存在，说明理由2 2 21 1 1 2 22 1 2 1( ) 0| | 0| | 2 | | 2 | |1| | | |21 T x y PT TF TF PT TFFQ PF PQ a PF PF a PQ PFT QF OT OT FFQ OT QF aT 设 ， ，因为 ， ，所以 ，又 ，而由椭圆定义 ，所以 ，则 为线段 的中点，连结 ， 为 的中位线，则 ，即点的解析：
39、轨迹方程 2 2 2.x y a 为2 2 2 20 00 0 0202 202 21 0 0 2 0 0( ) | | .1 22|2|( ) ( )x y a bM M x y y cS c y bby a a M S bcb ba M a MF c x y MF c x yc c 假设存在点 满足题意，设 ， ，则 ，得而 ，当 时，存在点 ，使 ；当 时，不存在 点当 时， ， ， ， ，2 2 2 2 2 2 21 2 0 0 1 2 1 221 2 1 2 1 21 2| | |cos1| | |sin . tan 2.22.MF MF x c y a c b MF MF FMF
40、bS MF MF FMF b FMF MFMF ，即 ，又 所以 即存在点 满足题意，且 的正切值为第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题 A组（基本训练题） 一选择题：（每题5分，合计40分） 1抛物线 yx 42 的焦点 F 作直线交抛物线于 222111 , yxPyxP 两点，若621 yy ，则 21PP 的值为 （C ） A5 B6 C8 D10 2. 过点（2，4）作直线与抛物线 xy 82 有且只有一个公共点，这样的直线有（ B） 一条 两条 三条 四条 3. 平面内有一线段，其长为 33 ，动点满足 3PBPA ，为的中点，则OP的最小值为 （ A ）23 4. 过抛物线
41、xy 42 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐13标之和等于5，则这样的直线（ B ） A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 5双曲线 2 22 2 1x ya b （ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若 2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ） A 6 B 3 C 2 D 33 6直线 )(1 Rkkxy 与椭圆 15 22 myx 恒有公共点，则m的取值范围是（ A ） ,55,1 （，） ,1 （，） 7.过点（1，0）且与双曲线x2y2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）
