1、2017 届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）文科数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设 i 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ）32iA i B i C3 D 33 2.已知集合 A=1，2，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 的子集共有（ ）A2 个 B4 个 C6 个 D8 个3设 R，则 “ ”是“直线 与直线 平行”的a1:0laxy02:ayxl（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 在双曲线上，且
2、满足213xy12,FP，则 的面积为（ ）12|5PF2PFA B C D 525已知向量 ， 满足 （ + ）=2，且| |=1，| |=2，则 与 的夹角为（ ）A B C D6已知等比数列a n满足 a1= ，a 3a5=4（a 41） ，则 a2=（ ）A2 B1 C D7按如右图所示的程序框图运算，若输入 ，则输出 k 的值4x是（ ） A7 B9 C15 D318若平面区域 ，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A B C D9在区间0,1 上任意取两个实数 a,b，则函数 在区间（-1 ，1 ）上有且baxxf321)(仅有一个零点的概率
3、为A. B. C. D. 87431810函数 在 的图像大致为（ ）.2exy,-221Oxy-221Oxy-221Oxy-221OxyA B C D11如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， 为线段 A1B 上的动点，则下列结论正确P的是（ ）A 1DBPB平面 平面 1C 的最大值为 190D 的最小值为AP2612已知椭圆 的左、右焦点分别012bayx为 ， ，且 ，若椭圆上存在点 使得 ，则该1F2c1 M1221sinsinFMcFa椭圆离心率的取值范围为（ ）A B C D,01,20， ，二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 ）（第
4、11 题图）13.在 中，已知 , ， 的面积为ABC34bABC。则 . 32c14已知 为偶函数，当 x0 时， ，)(xf xef1)(则曲线 在点（1，2）处的切线方程是 y15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 16.已知函数 满足 ，若函数 与 图像()fxR()2)fx23yxyfx的交点为 ，则 . 12,myy， ， ， 1mix3、解答题（本大题共 6 小题，第 17 至 21 题每题 12 分，在第 22、23 题中任选一题 10 分，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17. （本小题满分 12 分）已知 是递增的等差数列， ， 是函数
5、的两个零点.na1a2210fx（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 .3nnbanbnS18. （12 分）某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1：20 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表： 分数段（分） 50，70） 70，90） 90，110） 110，130）130，150总计频数 b频率 a 0.25（）求表中 a， b 的值及成绩在90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三（第 15 题图）数学成绩的及格率（成绩在90，150内为及格） ； （
6、）若从茎叶图中成绩在100，130）范围内的样品中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于等于 10 的概率19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（）证明 MN平面 PAB；（）求四面体 NBCM 的体积20.(本小题满分 12 分)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PB
7、Q 的角平分线，证明直线 l 过定点21. （12 分） 函数 （ ）.21()lnfxax1（）若 ，求 的单调区间； 8a（）若 时，对任意的 ，总存在某个 ，使得 成立，求实10,30()fxb数 b 的取值范围.选做题（在第 22，23 两题中任选一题；若两题都做，按第 22 题计分.）22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 xOy内，点 ),(yxP 在曲线 C： (sin,co1yx为参数，R）上运动以 为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为0)4cos(（）写出曲线 C 的标准方程和直线 l的直角坐标方程；（）若直线 l与曲线 C 相
8、交于 A、B 两点，点 M 在曲线 C 上移动，试求 ABM面积的最大值23、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲关于 x的不等式 lg(|3|7|).xm（） 当 1m时，解不等式；（）设函数 |)|l(|)xf ，当 为何值时， mxf)(恒成立20162017 学年度高三两校正月联考（文科数学）参考答案及评分标准一、选择题C A D A B C D B A D B D二、填空题13.14. y=2x 15. 16. m323三、解答题17.解：（1）函数 的两个零点为 3，7，（1 分）210fx由题意得 ， .（2 分）1a37设数列 的公差为 d，则 故 （4 分）n
9、,13da所以 的通项公式为 （6 分）n（2）由（1）知 则 （7 分）,nnb，213523nS，（8 分）3 13nn两式相减得 ，2 119 9323nnnS （11 分）所以 .（12 分）13n18.解：（）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有 2 人，在110，130）范围内的有 3人， a=， b=3， （2 分）成绩在90，110）范围内的频率为 1-0.1-0.25-0. 25=0.4， 成绩在90，110）范围内的样本数为 200.4=8， 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为： p=1-0.1-0.25=0.65 （6 分）（）一切可能的结果组成的基本事件空间为
10、=（100，102） ， （100，106） ， （100，106） ， （100，116） ， （100，118） ， （100，128） ，（102，106） ， （102，106） ， （102，116） ， （102，118） ， （102，128） ，（106，106） ， （106，116） ， （106，118） ， （106，128） ，（106，116） ， （106，118） ， （106，128） ，（116，118） ， （116，128） ，（118，128）共 21 个基本事件组成，（9 分）设事件 A=“取出的两个样本中数字之差小于等于 10”，则 A=（100，
11、102） ， （100，106） ， （100，106） ， （102，106） ， （102，106） ， （106，106） ，（106，116） ， （106，116） ， （116，118） ， （118，128）， 共由个 10 基本事件组成， P（A）= （12 分）21019. 【解答】证明：（）取 BC 中点 E，连结 EN，EM，N 为 PC 的中点，NE 是PBC 的中位线，NEPB，NE平面 PAB（2 分）又ADBC，BEAD，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，BE= BC=AM=2，四边形 ABEM 是平行四边形，EMAB，
12、EM平面 PAB（4 分）平面 NEM平面 PAB，MN平面 NEM，MN平面 PAB（6 分）解：（）取 AC 中点 F，连结 NF，NF 是PAC 的中位线，NFPA，NF= =2，又PA面 ABCD，NF面 ABCD，（8 分）如图，延长 BC 至 G，使得 CG=AM，连结 GM，AM CG，四边形 AGCM 是平行四边形，AC=MG=3，又ME=3，EC=CG=2，MEG 的高 h= ，（10 分）S BCM = = =2 ，四面体 NBCM 的体积 VNBCM = = = （12 分）20.解：(1)解：如图，设动圆圆心 O1(x， y)，由题意，| O1A| O1M|，当 O1不
13、在 y 轴上时，过 O1作 O1H MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点， ，又 ，2|4Mx21|4Axy ，2化简得 y28 x(x0)（4 分）又当 O1在 y 轴上时， O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28 x，（5 分）动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28 x.(2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 y kx b(k0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将 y kx b 代入 y28 x 中，得 k2x2(2 bk8) x b20，其中 32 kb640.由求根公式得， x1 x2 ，kx1x2 ，（8 分）bk因为 x 轴是 PBQ
14、 的角平分线，所以 ，12y即 y1(x21) y2(x11)0，(kx1 b)(x21)( kx2 b)(x11)0，2kx1x2( b k)(x1 x2)2 b0，将，代入得 2kb2( k b)(82 bk)2 k2b0， k b，此时 0，（11 分）直线 l 的方程为 y k(x1)，即直线 l 过定点(1,0)（12 分）21. 解：（） ， 281()(0)fx10,0,4xxf时 ， 单 增 ;（4 分）(),()f， 时 ， 单 减 。（）首先，对于任意 ，都存在某个 ，使得 成立，1+a02,3x0()fxb则 , （5 分）2mx1(ln)bx因为函数 在 上是减函数，2
15、2)l lnha(1,+)所以 . . （8 分）(1ln,ax1bx其次，存在 ，使得不等式 成立，2,32l于是 ，min(l)bx令 ，则 ，所以函数 在 上21g)21()()20xgx()gx2,3是增函数，于是 ，故 ，即 b 的取值范围是in()lxlnb. （12 分）ln,22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（1）消去参数 ，得曲线 C 的标准方程： .1)(2yx由 0)4cos(得： 0sinco，即直线 l的直角坐标方程为： .yx（5 分）（2）圆心 ),1(到直线 l的距离为 21d，则圆上的点 M 到直线的最大距离为 rd（其中 r为曲
16、线 C 的半径） ，2)(12|AB设 M 点的坐标为 ),(yx，则过 M 且与直线 l垂直的直线 l方程为： 01，则联立方程 01)(2yx，解得 2y，或 21y，经检验 21yx舍去（10 分）故当点 M 为 ),1(时， ABM面积的最大值为max)(ABS.21(223、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（1）当 1时，原不等式可变为 0|3|7|10x，可得其解集为 |7.（5 分）（2）设 |3|tx，则由对数定义及绝对值的几何意义知 t，因 ylg在 ),0(上为增函数， 则 1t，当 7t时， 1lg，故只需 m即可，即 时， xf)(恒成立（10 分）
