1、2017届安徽省皖西南十校高三上学期期末联考数学理试题第卷(共 60分)一、选择题:本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ,集合 ,则 等于( )260Ax24BxABA B C D,33,2.已知等差数列 中, ,且 ,则 等于( )na59326a1aA-2 B-3 C0 D13.已知命题 ,则下列叙述正确的是( ):,cosxpxA :0,30B :,cosxpxC :,030xD 是假命题p4.若 ,则 等于( )47972cossincoscs51513xsinxA B C. D33215.已知向量 满足 ,则
2、 与 的夹角的余弦值为( ),ab,bababA B C. D281258256.“ ”是“直线 与双曲线 的左支有交点”的( )1b:30lxy2104xybA充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ,设 三个内角ABC所对的边分别为 ,面积为 ,则“三斜求积”公式为 .若ABC、 、 abc、 、 S22214acbS,则用“三斜求积”公式求得 的面积为( )22 2sin4i1ac, ABCA B2 C.3 D3 68.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A6 B9 C.1
3、2 D189.已知变量 满足约束条件 若 的最大值为 2,则 的最小值为( )xy、 30,xya1yx1yxA B C. D163512310.已知函数 是偶函数,其中 ,则下列关于函数12cos3fxx0,2的正确描述是( )cosgxA 在区间 上的最小值为-1 ,123B 的图象可由函数 的图象先向上平移 2个单位,再向右平移 个单位 gxfx 3C. 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位 f 3D 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位gxfx11.已知点 是抛物线 与圆 在第一象限的公共点,且点 到抛物线A2:0Myp22:4CxyaA焦点 的距离等于 .若抛物线 上一动点到其准
4、线与到点 的距离之和的最小值为 , 为坐标原MFa 2aO点,则直线 被圆 所截得的弦长为( )OCA2 B C. D2372372612.已知函数 ,实数 满足 .若 ,使得6,xefxxg,mn012,0,xmnx成立,则 的最大值为( )12fxgnmA4 B C. D34325第卷(共 90分)二、填空题(每题 5分,满分 20分,将答案填在答题纸上)13. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ,上顶点为 ,若 是底角为 30的等腰210xyabAB、 CAB三角形,则 =cb14. 若函数 有零点,则实数 的取值范围是 314,12log,xaf x a15. 已知数列 的前 项和为 ,且
5、,则 nanS21,nna7S16. 在长方体 中,底面 是边长为 的正方形, , 是 的中点.过 作1ABCDABCD13AE1A1C平面 与平面 交于点 ,则 与平面 所成角的正切值为 1CFEFAB三、解答题 (本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12分)已知向量 .sin,3cos,1axb(1)若 ,求 的值;/b226x(2)若 ,求函数 的单调减区间.fxf18. (本小题满分 12分)已知等比数列 的前 项和为 ,且 .nanS163*naN(1)求的值及数列的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 项和 .2311log
6、nnnba1nbnT19. (本小题满分 12分)在 中,角 所对的边分别为 ,且 .ABC, ,ac23oscabAB(1)若 ,求 ;5sinba(2)若 , 的面积为 ,求 .6aAB52bc20. (本小题满分 12分)在四棱锥 中, 平面 , 是三角形, 与 的交点为 ,又PCDPABCDACBDM,点 是 的中点.4,120ABN(1)求证:平面 平面 ;PMNAB(2)求二面角 的余弦值.AC21. (本小题满分 12分)已知右焦点为 的椭圆 过点,且椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点.2,0Fc2:10xyabCxc(1)求椭圆的 的方程;C(2)过点 作直线 与椭圆 交于
7、两点,线段 的中点为 ,点 是椭圆 的右顶点,求直,lCEF、 EFMAC线 的斜率 的取值范围.MAk22. (本小题满分 12分)设函数 .ln1fxmx(1)若 存在最大值 ,且 ,求 的取值范围.fM0m(2)当 时,试问方程 是否有实数根?若有,求出所有实数根;若没有,请说明理由.2xfe试卷答案一、选择题1.D , .,32,A2,4AB2.B 由 得 , , .326a4a5913a3.D 为: , ;当 时, , ,故 是真命p0,x3cos0xx31,cos1xx3cos0xp题,即 是假命题 .4.A 由已知得 ,解得 .12cosin33xsin3x5.C , ,22,2
8、,ababab52ab则 .5cos,86.A 若直线 与双曲线 的左支有交点,则渐近线 与直线 有交点,所310xy2104xyb2byxl以 ,得 ,故选 A.2b27.A 根据正弦定理:由 得 ,则由 得 ,则2siniaCAac221acb24acb.1643ABCS8.C 该几何体的直观图如图所示,其体积为 .14219.D 表示经过可行域内一点 与点 的直线的斜率,当取直线 与 的交点1yx,xy1,0xa30y时, 取最大值 2,即 ,得 ,则取点 时, 取最小值 .,3a32a5a,21y110.C , , 为偶函数, ,则 ,0,20,fx3,cos2fxx,则将函数 的图象
9、向左平移 个单位可得函数 的图象,故选 C.cos3gxf g11.C 抛物线 上一动点到其准线与到点 的距离之和的最小值为 ,又 ,MC2a2CAFa三点共线,且 是线段 的中点, , ,则 ,CAF、 、 AF0,4,pF,4p,4p ,圆心 到直线 : 的距离为 ,所求的弦长为324paOA2yx3.2712.A ,则当 时, ;当 时, .21xexg01x0gx1x0gx. ,作函数 的图象如图所示,当 时,方程两根min12x36fyf2f分别为-5 和-1,则 的最大值为 .nm154二、填空题13. 由题意得 ,则 ,可得离心率为 ,所以 .230CAB3ba632cb14.
10、当 时, ,无零点;当 时,,31x3 4log21log0fxf1x有零点,即 ,解得 .142xaf140a3a15. 120 由已知得 ,则 是公比为 2的等比数列, , ,12nan21a1a ,解得 .712771=aS 70S16. 连接 交于点 ,连接 , 是正方形, 底面 , 平面 ,56ACBD、 OEABCD1ABCD1AC则当 与 垂直时, 平面 . 平面 , .1FE1FF1F在矩形 中, ,则 , , ,1A1AO 322AE, 143F则 ,连接 ,则 为所求线面角, .53AC5tan6C三、解答题17.解:(1) , ,/absin,3cos,1xb ,即 ,s
11、in3cos0xta22222in6costn661xx .73sincos=14x(2) , 3incos2sincos23sin6fabxxx ,3si26fx由 得 ,32kk56xkZ函数 的单调减区间为 .2fx 5,36kkZ18. 解:(1) ,163nSa当 时, ,n19当 时, ,21623nnnaS即 ,13n 是等比数列, ,则 ,得 ,a1a96a3数列 的通项公式为 .n 13n*N(2)由(1)得 ,231log321nnnbaan 12147nnT 347321 .1n19.解:(1)由正弦定理得: ,32sin3i2sin,coscocoabACBAB即 ,2
12、siAcoB3sinC2in ,s3isC , ,则 ,sin0cos35inA ,由正弦定理得: .5bB 5sin3baB(2) 的面积为 ,AC52 ,得 ,1sinbc3bc , ,6a246 ,即103bc21bc , .,420.(1)证明在正三角形 中, ,ABC在 中, ,易证 , 为 中点ACDDBMAC点 是 的中点, .N/MN 面 , ,PABCDPA , ,12030 , ,即 ,69BAD , 平面 ,PABAP 平面 ,又 平面 ,平面 平面 .MNMNPMNAB(2)解:分别以直线 为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示,,Dxyz .434,02,30
13、,0,4BCDP由(1)可知, 为平面 的一个法向量,,AC,2,34,04PCPB,设平面 的一个法向量为 ,,nxyz则 ,即 ,0nPB2340xz令 ,解得 ,3z,y则平面 的一个法向量为 ,C3,n,7cos,nDB由题知二面角 为锐二面角, 二面角 余弦值为 .APCAPCB721.解:(1)椭圆 过点 , ,31,22914ab椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点, ,xc2ac , ,22abc24由得 ,2,3椭圆 的方程为 .C2143xy(2)依题意,直线 过点 且斜率不为零,故可设其方程为 .l,0 12xmy由方程组 消去 ,并整理得 .2143xmy, x2431
14、450my设 120,ExyFMy ,234m ,102y , .0234xm024ymkx当 时, 0k当 时, ,14 , .4m81048m , 且 .108kk综合、可知,直线 的斜率 的取值范围是 .MAk1,822. 解:(1) 的定义域为 , .ln1fxmx0,1mxfx当 或 时, 在区间 上单调,此时函数 无最大值.0m0,当 时, 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减,1fx,1,1所以当 时,函数 有最大值.0f最大值 .=ln1mMf因为 ,所以有 ,解之得 ,0l01em所以 的取值范围是 .,1e(2)当 时,方程可化为 ,即 ,1m2lnxe2lnxe设 ,则 ,lnhx1lhx 时, , 在 上是减函数,当 时, ,10,xe0hxhx10,e1,xe0hx 在 上是增函数,h, .min1xe设 ,则 ,2xg1xge当 时, ,即 在 上单调递增;0,100,1当 时, ,即 在 上单调递减;,xgxgx, ,max1ge ,数形结合可得 在区间 上恒成立,ehxg0,方程 没有实数根.2xfe