1、2017 届安徽省宿州市高三第一次教学质量检测（期末）理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）21Ax 2xB ABA B C D1,20,11,22.复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）z23izizA B C D52i1i5123.向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影为（ ）abb0ababA B C D120324.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 ， 的值分别为 ， ，则输出的 的值
2、为（ ）ab84aA B C. D8124365.函数 的图像大致为（ ）2xfeA B C. D6.已知不等式组 表示的平面区域为 ，点集 ， 是 在 上50xy D00,TxyZ0,xyzxyD取得最大值或最小值的点 ，则 中的点的纵坐标之和为（ ）TA B C. D1610157.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D459217608.将函数 的图像向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的图像，则3sin4fx44gx函数 的图像与函数 的图像（ ）fgxA关于点 对称 B关于点 对称 C.关于直线 对称 D关于直线 对称2,00,22x0x9.
3、已知 的展开式中 与 的项的系数之比为 ，则 的最小值为（ ）441axbxx31:44abA B C. D62810.以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；xysinxy已知 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线， ， ， ，则 ；mm n mn直线 ， ， 的充要条件是 ；1:20laxy2:0lxay12l 12a .1sindA B C. D23411.在 中， ， ， ，一只小蚂蚁从 的内切圆的圆心处开始随机爬行，当C5A12C3BABC蚂蚁（在三角形内部）与 各边距离不低于 个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在 内任1 ABC意行动时安全的概
4、率是（ ）A B C. D14912312.函数 在 上的导函数为 ，对于任意的实数 ，都有 ，若fxRfx x201743fxx，则实数 的取值范围是（ ）14017fttt tA B C. D,23,21,23,2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ，则 2sin,10ta4xfx 4f14.在三棱锥 中，侧棱 ， ， 两两垂直， 、 、 的面积分别为 、ABCDABCDABCDAB2、 ，则三棱锥 的外接球的体积为 23615.已知点 是 的重心，内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，且 ，G abc0578abcGC则角
5、 的大小是 B16.直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 、 两点，与其准线交于点 ，若l 2:0Cypx FCABD， ，则 6AFDF三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列 的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列.nanS132naa263a（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .1nbSnbnT18. 如图所示，四边形 为等腰梯形， 为直角三角形，平面 与平面 垂直，AMNCABCAMNCB， ，点 、 、 分别是 、 、 的中点.过点 作平行于平面 的截面ABCODEMNEANC分别交 、 于点
6、、 ， 是 的中点.DFGH（）证明： ；OBEH（）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.FG63DACH19. 某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动.凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的 个好友参与此活动，以此下去.3（）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的 个好友中不少3于 个好友选择表演节目的概率是多少？2（）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如下列表：选择表演 拒绝表演 合计男 50 10 60女 10 10 20合计 60 20 80根
7、据表中数据，是否有 的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？9%将此样本的频率视为总体的概率，随机调查 名男性好友，设 为 个人中选择表演的人数，求 的分3X3X布列和期望.附： ；22nadbcKd20Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.63520. 已知椭圆 ，焦距为 ，离心率 为 .2:10xyCab 2e12（）求椭圆 的标准方程；（）过点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，直线 与 轴交于点 ，过点 的,2P2:OxyMNxF直线 交椭圆 于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积的最大值.lCABFGAB
8、21. 设函数 .214ln4fxaxxaR（）讨论 的单调性；f（）若函数 存在极值，对于任意的 ，存在正实数 ，使得 ，fx120x 0x12012fxffx试判断 与 的大小关系并给出证明.120请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ） ，曲线 （ 为参数，xOy12:xtCytR2cos2:inxCy）.0,2（）以 为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线 的极坐标方程；x 2（）若曲线 与曲线 相交于点 、 ，求 .1C2AB23.选修 4-5：不等式
9、选讲设函数 ， .fxxaR（）求证：当 时，不等式 成立；1ln1fx（）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值.xfxa a试卷答案一、选择题1-5:CCBBA 6-10:DDBCB 11、12：AA二、填空题13. 14. 15. 16.1863三、解答题17.解：（）由 ，当 时， ，12nSa2n 1132nnSa由-得 ，即 .3n13na由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，解得 .故数列 是以1a263a2361160a13ana为首项， 为公比的等比数列，所以 .3 na（） ， ，则 .13na312nS1132nnS，所以数列 的前 项和11 1439nn nnbS
10、 nb1223 113 3n nnT 123n.21nn18.（）证明：因为点 、 分别是等腰梯形 两底 、 的中点，所以 .又ODAMNCNODC，则 .于是等腰梯形 与直角 所成二面角的平面角为 ，则 .即 ，ABCABB2OBD得 平面 .OMN又平面 平面 ，则 平面 . EFGBEFG因为 平面 ，所以 .EOH（）以 为原点，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴ADxyz的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设 ， ，则 ， ， ， ， .OAaDb0,O,0a,0Ba,b,0Ca所以 ， ， ， ，有 ，平面 的一个法向,02E,2aF,2G,42H,42bHBEFG量为 .1,
11、n设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，BHEFG11 226sinco, 344anHBb得 ab设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 ，所HAC2,nxyz20nHAC5203xyz1y20,1n以 ，因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .125cos,nDDACH519.解析（）这 位好友选择表演分别记为 ， ， ，则 ， ， 分别表示这 位好友拒绝表演.这3ABCABC3位好友参与该活动的可能结果为 ， ， ， ， ， ，3,AB,C， 共有 种.其中 位好友不少于 位好友选择表演的可能结果有 种.根据古典概型公式，,ABC,8324所求概率为 .（也可用二项分布、对称
12、性等方法来求解）412P（）根据 列联表，得到 的观测值2K22nadbcd，所以有 的把握认为“表演节目”与好友的性别有关.2805108.9635609由题意，每名男性选择表演的概率为 ，则 ，53,6XB:，所以随机变量 的概率分布列为：33510,236kkPxkC故随机变量 的期望为 .X5362Enp20.解（）由题意， ，解得 ，由 ，解得 .2c1c1cea2a123167571256所以椭圆的标准方程为2143xy（）由题意，得 、 、 、 四点共圆，该圆的方程为 ，又圆 的方程为OMPN2215416xyO，故直线 的方程为 ，令 ，得 ，即点 的坐标为 ，则点 关于21x
13、y210xyyF,0F轴的对称点为 .(,0)G设 ， ，则 ，因此 最大， 就最大.1,Axy2,Bxy1212GABSFyy:GABS12|y由题意知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，l lxm由 得 ，所以 ， .又因直线 与椭圆 交2143xmy24690ym12634y12934ymlC于不同的两点，故 ，即 ， ，02234mR则 221212112!134GAB nSFyyyr :令 ，则 ， .2tmt224343GABmtSt令 ，则函数 在 上单调递增，即当 时， 在 上单调递增，因此有13fttft3， 1tft1,，所以 .4ft GABS21.解（） 的定义
14、域为 ， .fx0,144xafxa当 时，则 ，所以 在 上单调递增.0a f,当 时，则由 得， ， （舍去）.当 时， ，当 时， 0fx4xa140,xa0fx 4,a.所以 在 上单调递增，在 上单调递减.0fx f,4,a综上所述，当 时， 在 上单调递增.a fx0,当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.0 fx4,4,a（）由（）知，当 时， 存在极值.0a fx 21212112124ln44lnfxfxxx.1212124axxax由题设得 .120 1212ln4ffxf axa又 ，所以121284xxf aa 0ff12 2121121 214ln 4lnxxxx
15、 x .设 ，则 ，则 .2121lnx21txt 2121lnln1xt令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，2ln1tgt 201tg gt,10gt故 .2121ln0x又因为 ，因此 ，即 .21x 1200xff 12xf0fx又由 知 在 上单调递减，所以 ，即 .4faf,12 120x22.解（）由 消去参数后得到其普通方程为 ，把 ， 代2cosinxy 2240xycossiny入可得 .4s（）由 消去参数后得到其普通方程为 ，而曲线 是以 为圆心，以 为半径12xty 30xy2C,02的圆.圆心到直线 的距离为 ，所以弦长 .1C210322214AB解法 2：把 代入 得 ，所以有 ， ，则1:2xty224xy2810t123t128t，221112 31748ttt根据直线方程的参数几何意义知 .124ABt23.解：（）证明：当 时， 的最小值为 ，则 的最小1a21,|2|3,xfx 3lnfx值为 ，所以 成立ln31e lnf（）由绝对值不等式可得 ，再由不等式 在 上恒222xxaxa fxa R成立，可得 ，解得 ，故 的最大值为 .2a 1a 1
