1、初中数学奥林匹克训练题（2）第一试一、填空题1.若 ，则 = 0347cbaabc227/92能使关于 x的方程 只有一个实数根的所有 a的值的总和0121x等于 1553要使方程 x4+(m4)x 2+2(1m)=O 恰有一个不小于 2的实根，那么 m的取值范围是 ml4在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|= 一|x|y|的点(x,y)所围成的204图形的面积为 20045已知 ，那么当4x 2+12y8 达到最大值时，22x33y= yx52312646已知 y=100+10nx10x100 ，其中 n为正整数要使 0y300 对于满足 0x16x的所有 x 都成立，那么 n=
2、47若关于 的方程 的两个实数根 满0142)6(222 baxba 21,x足 则 的最小值为_, 最大值分别为_,1021x4解：设 ，则 ，)(f 0)(,)(ff整理得，且 ，在以 分别为横轴和纵轴的坐标系中画出22ba01baba,上面两个不等式所表示的规划区域。则 ，点 到22)(4b),(规划区域最小值即为到直线 的距离 ，则 的最小值为距42a离的平方 ；点 到规划区域最大值为 的圆心 的距离与半径 2 的和12 )0,()0,(),1(，则 的最大值为 =54ab25498在 RtA BC中，AB=3，BC=4，B=9 O，A D、BE、CF 是ABC 的三条内角平分线那么,
3、DEF 的面积等于 10/7 提示：由内角平分线的性质求，9在ABC 中，AB=6，BC=5，AC=4，AP 是它一条内角平分线，AP 的垂直平分线 EF与 A P相交于点 E，与 BC的延长线相交于点 F那么 AF= 6 提示：如图由海伦公式得 SABC=15 /4 AH=3 /2，PC=2 ，PH=1.5，PA=3 2 ,77PHAPFE10如图，A、B 两地相距 600km,过 A地的一条铁路 AD笔直地沿东西方向向两边延伸点B到 A D的最短距离为 3 6 0km今计划在铁路线 AD上修一个中转站 C，再在 BC间修一条笔直的公路如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，
4、为使通过铁路由 A到 C再通过公路由 C到 B的总运费达到最小值，中转站 C的位置应使 AC= km.480120 3 提示：设物资在每千米铁路上运输费为 1公路上的费用为 2设 CD=x，则 AC=480x BC= x2960总费用 y=480x+2 即 y2+x2+230400+2xy960x960y=518400+4x 2 化简得 3x22xy+960xy 2+960y+288000=0 关于 x 的方程O 即，y2960y1584000又y 最小 y=480+360 3 x=120 AC=480120 3 二、解答题 1、求所有能使 为正整数的正整数 n920n设 =k，k 为正整数则
5、 n2200kn+999k=0设方程有正整数根 n1，且另一根为 n2 由韦达定理有 n1+n2=200k。 n1n2=999k 因此，n2 也是正整数，且 n1、n2 都满足题设条件。不妨设 n1n2 由得 n1100k 由得 n2=999k/n1999k/100k所以，n29经检验可知，只有 n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995因此，所求 n为 5，49952、已知 BE、CF 是锐角ABC 的两条高，求证ABE 的平分线、ACF 的平分线与线段 EF的垂直平分线相交于一点如图。设ABE 的平分线与ACF 的平分线相交于点 N，联结 NE、NF由 B、C、E、F 四点共圆，则A
6、BE=ACF，FBN=FCN所以，B、C、N、F 四点共圆从而，B、C、E、N、F 五点共圆于是由FBN=NBE 得 NF=NE故 N在 EF的垂直平分线上3、在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；(1)直线 y=2x+3 通过这样的点；(2)不论 m取何值，抛物线 y=mx2+(m )(2m )都不通过这样的点38由(2)知 mO设点(x 0，y 0)满足(1)和(2)，则 y0=2x 0+3，且对任意非零实数 m，都有 y0mx02+(m )x0(2m )3283将式代入式，并整理得(x 01)(x 0+2)m x0+ 41所以 x0=1，2 或 63/32代入式得同时满足
7、条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(2,7)，(63/32,15/16)4、已知两个整数数列 和 满足,210a,210b（1）对任意非负整数 ，有n；2n（2）对任意非负整数 有,nm2ba证明：数列 中最多只有 6 个不同的数,210证明：首先，一个整数若是 4 的倍数，则它一定能表示成 ，其中 是非负2)(n整数事实上，由 便得22)1()(4kk若 （ ）的奇偶性相同，则 是 4 的倍数，设,nm2nm ，2n2)(k所以 2)(k于是由条件（2）知，nknkmk aba2)2(2故 knma2所以， 于是在 中，任意两项的差的绝对值至多为 2，所以，它们最多能取 3,531a
8、个不同的值： 2,同样，在 中，任意两项的差的绝对值也至多为 2，所以，它们最多能,40a取 3 个不同的值： 2,1b综上所述，数列 中最多只有 6 个不同的数,0a初中数学奥林匹克训练题（2）第二试1、如图，在锐角三角形 ABC 中， ， 是两条角平分线，I ， O， H 分别是 的1ABABC内心，外心，垂心，连接 HO，分别交 AC， BC 于点 P， Q已知 C， ， I， 四点共11圆（1）求证： ；60C（2）求证： BQAP证明：（1）因为 C， ， I， 四点共圆，所以1A1BI80CB2902所以， 6（2）因为 ，180CAH，O所以， 四点共圆，B,于是 ，30)180
9、(2AOBP又 ，390CAH所以 ，于是 ，同理可得 QB故， AP2、设函数 ，如果方程 恰有两个不同的实数根 ，满足132)(xxf axf)( vu,，求实数 a 的取值范围10vu A C BOIHP QA1B1 第 1 题答题 图ACBOIHPQA1B1第 1 题 图解：因为 .21,45,)(当当当当xxf当 a3 时， 无解；当 a 3 时， 只有一个解xf)( axf)(当 时，直线 与 和 有两个交点，故此时29y425y当有两个不同的解；当 a 时，直线 与 和 有两个交点，axf)( 29a4x4xy故此时 有两个不同的解对于上述两种情形，分别求出它们的解 ，然后解不等
10、式 ，可得实数vu, 102vua 的取值范围是 345a3、若四位数 的各位数码 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边nbcd,bcd长，则称 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数 解：称 为 的数码组，则 ；,a ,1,29aM一、当数码组只含一个值，为 ，共得 个 值；, n二、当数码组恰含二个值 ， ,b、数码组为 型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个1,a， 可取 个值，则数码组个数为 ，对于每组 ，2,9a b192136a,ab有 种占位方式，于是这种 有 个b4n3641、数码组为 型， ，据构成三角形条件，有 ，2,abab2ba的取值 1 2 3 4 5 6
11、 7 8 9中 的个数,bM0310共得 个数码组，对于每组 ， 有 种占位方式，于是这种 有16,abn个4、数码组为 型， ，据构成三角形条件，有 ，同上得3,abab2ba个数码组，对于每组 ，两个 有 种占位方式，于是这种 有16,246Cn个9以上共计 个469304三、当数码组恰含三个值 ， ,abcc、数码组为 型，据构成三角形条件，则有 ，这种1, 2cbac有 组，每组中 有 种占位方式，于是这种 有 个,abc4241An1468、数码组为 型， ，此条件等价于 中取2,abcbac,9M三个不同的数构成三角形的方法数，有 组，每组中 有 种占位方式，于是这3,b24A种
12、有 个n34108、数码组为 型， ，同情况 ，有 个,abcac24308值以上共计 个 值16840984n四、 互不相同，则有 ，这种 有 组，每组有,abcddcbad,abcd16个排法，共得 个 值4!3综上，全部四位三角形数 的个数为 个n930484、排成一排的 名学生生日的月份均不相同，有 名教师，依次挑选这些学生参加 个10nn兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的） ，每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求 的最小值。n的最小值为 。n
13、4若 ，不妨假设这 名学生生日的月份分别为 ，当学生按生日排序为3101,20时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名，由于这两名学4,217,6598,生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列 ，当 时，一定存在三个12,ma 5数 满足 或 。,ijkaijijkaijka设最大数和最小数分别为 ，不妨假设 。若 ，则 满足,stst1t1,sta； ，因为 ，所以要么在 的前面，要么在 的后面1stst5m,s s至少有两个数，不妨假设在 的后面有两个数 ，从而 与1,sa23sa23ss中一定有一个成立。123sssa引用上面的结论，当 时，第一名教师至少可以挑选三名学生；若余下的学生大4n于等于 名，则第二名教师也至少可以挑选三名学生；这时剩下的学生的数目不超过 名，5 4可以被两名教师全部挑选，因此， 的最小值为 。4
