1、山西省实验中学 2018 届高三年级学业质量监测数学（理科）本试卷分第卷（选择題）和第卷（非选择题 两部分.考试时间 120 分钟，满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 , ,所以 ，故选 B.2. 若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 可得： ，的共轭
2、复数为故选：D3. 命题“ ”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】特称命题的否定为全称，故“ ， ”的否定是： ， ，故选 A.4. 张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布” ，则该女最后一天织多少尺布？（ ）A. 18 B. 20 C. 21 D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 ，所以 ，故选 C.5. 我们可以用随机数法估计 的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数 是产生随机数的函数，它能
3、随机产生 内的任何一个实数).若输出的结果为 521，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151【答案】B【解析】模拟执行该程序框图，可知该框图是计算满足 的 组 数据中，满足且 的组数，根据几何概型概率公式可得 且 发生的概率为，当输出结果为 时， 发生的概率为 ，即，由此可估计 的近似值为 3.124，故选 B.6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 80 B. 160 C. 240 D. 480【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥 ，且该四棱锥的底面四边形为矩形， 其中，高为 到 的距离， 即 。
4、所以该几何体的体积为。选 B。7. 设 ，则 的展开式中常数项是（ ）A. -160 B. 160 C. -20 D. 20【答案】A【解析】 【解析】 ,所以 展开式的通项为：，令 ，常数项是 ，故选 A.8. 函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以 为奇函数，排除选项又 时， ,图像在 轴下方，故本题正确答案为9. 已知数列 满足 ，且对任意 都有 ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，两式相除得 ，也满足 , , ，又 的取值范围是 ，故选 D.【方法点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式、等比数列的余弦公式与求和公
5、式以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下尽量把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的式子, 这样就把问题转化为一端是含变量式子, 另一端是参数的不等式，便于利用最值法解决问题. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的多项式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.10. 设正实数 是满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）A. B. C. 8 D. 16【答案】C【解析】设 因为 ， ， 且 ，则 当且仅当 ，即 时取等号，所以 故选 C.点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值
6、时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11. 已知直线双曲线 相切于点 ，与双曲线两条渐近线交于 ， 两点，则 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 与 的位置有关【答案】A【解析】双曲线 的渐近线方程为 当斜率不存在时， ；当斜率存在时，设为 消去 得： ，因为直线与双曲线 相切，所以 ，化简得 解得： ，解得： ，将 代入得 ，故选 A.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三
7、角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12. 已知函数 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则 的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】因为 ，若 ，且 对任意的 恒成立，即 ，因为 即 ，对任意 恒成立，令 ，则 令 ，则 所以函数 在 上单调递增.因为 所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 当 时， ，即 ，当 时， ，即所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增所以 所以 =所以 ，因为 ，故整数 的最大值为 ，故选 B.点睛：不等式恒成立问题
8、常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.二、填空题：本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.13. 在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点和点 重合，始边与 轴的非负半轴重合， 终边上一点 坐标为 ，则 _【答案】【解析】由三角函数定义得 ，所以 14. 己知实数 ， 满足不等式组 则 的最小值为_【答案】-13【解析】做出约束条件 的平面区域，如图所示：联立 解得： ，即 由图可知：当直线 过点 时有最小值：.故答案为 .点睛：线性规划
9、的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 过抛物线 的焦点 作一条倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，则 _【答案】【解析】设点 坐标为 ，点 坐标为 ，抛物线 的焦点为 ，由题意知直线的方程为，联立抛物线方程与直线方程得： ，即 交点 的纵坐标为方程的两个解，由韦达定理得： ，由抛物线性质可知，点 到抛物线焦点的距离为 ，点 到抛物线焦点的距离为 ，所以 ，故本题正确答案为 .16. 若函数 满足 、
10、 都有 ，且 ，则 _【答案】4033【解析】根据题意得： ，令 ，得到 ；令 ，得到 ，则有： ，猜想： ，下面用数学归纳法证明此猜想：当 时，显然成立；假设当 成立，则 ，所以综上可得： ；所以 .故本题正确答案为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 己知 外接圆直径为 ，角 所对的边分别为 .（1）求 的值；（2）设 ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理 即可计算；（2）由正弦定理得到 ，再由余弦定理 以及题目条件 得到关于 的方程，解出 ，代入三角形面积计算公式即可.试题解析：（1）
11、由正弦定理可得： ， 所以 ， ，（2）由 ，得由余弦定理得 ，即 ，又 ，所以 ，解得 或 （舍去） 所以 18. 如图，在四棱锥 中，底面梯形 ， ，平面 平面 ， 是等边三角形，已知 ， .（）求证：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得到 ，证出 平面 即可得证；（2）建立 空间直角坐标系，计算得到平面 的法向量 ，以及平面 的法向量，计算二面角 的余弦值即可.试题解析：（1）证明：在 中，由于 , ,故 又 ， 平面 ，又 ，故平面 平面 （2）如图建立 空间直角坐标系， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ,
12、由令 , 设平面 的法向量 , 由 ，令 ， ，二面角 的余弦值为 19. 北京时间 3 月 15 日下午，谷歌围棋人工智能 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格 .人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100 名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示） ，将日均学习围棋时间不低于 40 分钟的学生称为“围棋迷”.（）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有 的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷 围棋迷 合计男女 10 55合计（）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名学生，抽取 3 次，记被抽取的 3 名淡定生中的“围棋迷”人数为 。若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 .附： ，其中 .0.05 0.013.841 6.635
