1、K12联盟 2018届高三年级第一学期期末检测联考数学(理科试题)第卷(共 60分)一、选择题:本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 , ,故选 C.点睛:研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是不等式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 2. ( )
2、A. B. C. D. 【答案】C【解析】原式3. 已知复数 ( , )满足 ,则 的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数 ( , ), ,它的几何意义是以 为圆心,1 为半径的圆以及内部部分满足 的图象如图中圆内阴影部分所示:则概率故选 B.4. 在二项式 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大,则展开式中含有 项的系数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】第五项的二项式系数最大,则 ,通项为 ,令 ,故系数是.5. 已知 , ,若不等式 恒成立,则 的最大值为( )A. 9 B. 12 C. 18 D. 24【答案】B【解析】 ,不等式 恒成立当且仅当 a
3、=3b时取等号, 的最大值为 12故选:B点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.一正:关系式中,各项均为正数;二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;三相等:含变量的各项均相等,取得最值.6. 函数 在 上单调递增,则 的取值不可能为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ,即 在 上单调递增 且故选 D.7. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】若 ,其前 项和为 .研究程序框图可知,当时,还要
4、循环一次, , ,判断是,退出程序,输出【点睛】本题主要考查算法与程序框图. 程序框图问题的解法:(1)解答程序框图的相关问题,首先要认清程序框图中每个“框”的含义,然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走” ,搞清每走一步产生的结论(2)要特别注意在哪一步结束循环,解答循环结构的程序框图,最好的方法是执行完整每一次循环,防止执行程序不彻底,造成错误8. 已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. 34 B. 22 C. 12 D. 30【答案】B【解析】由该几何体的三视图可知,该几何体是一个三棱锥 ,如图所示:其中,正方体是棱长为 , , ,故选 B.9.
5、已知双曲线 : ( , )的焦点为 , ,抛物线 : 的准线与 交于、 两点,且 与抛物线焦点的连线构成等边三角形,则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线为 ,其焦点为 ,准线为 ,代入 方程解得 .由于 与 构成等边三角形 ,则 ,即 ,分子分母同时除以 得 ,解得 .由于 ,故椭圆焦点在轴上,且离心率为 .10. 本周日有 5所不同的高校来我校作招生宣传,学校要求每位同学可以从中任选 1所或 2所去咨询了解,甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的,则不同的选法共有( )A. 330 种 B. 420 种 C. 510 种 D. 600 种【答案】A【解析
6、】种类有(1)甲 ,乙 ,丙 ,方法数有 ;(2)甲 ,乙 ,丙 ;或甲 ,乙 ,丙 ;或甲 ,乙 ,丙 方法数有 ;(3)甲 ,乙 ,丙 ;或甲 ,乙 ,丙 ;或甲 ,乙 ,丙 方法数有 .故总的方法数有 种.【点睛】解答排列、组合问题的角度:解答排列、组合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素” ,哪些是“位置” ;(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有、无限制等;(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而
7、每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决11. 圆 : ,点 为直线 上的一个动点,过点 向圆 作切线,切点分别为 、 ,则直线过定点( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设 ,画出图象如下图所示,根据直角三角形射影定理可知 ,即直线方程为 ,四个选项中,只有 选项符合,故选 .12. 已知函数 若存在 , ,且 ,使 ,则实数的取值范围为( )A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当 时, , ,故 符合题意,排除 选项,当 时,画出图象如下图所示,由图可知此时符合题意,排除 选项,故选 .第卷(共 90分)二、填空题(每题 5分,满分 20分,将答案填在答题纸上
8、)13. 在 中,内角 、 、 所对的边分别是、 、 ,若 ,则 的大小为_【答案】【解析】根据正弦定理可得 ,即故答案为 .14. 已知向量 ,向量 在向量方向上的投影为 ,且 ,则 _【答案】【解析】设向量与 间的夹角为.向量 在向量方向上的投影为 ,即故答案为 .15. 如图 1,在矩形 中, , , 是 的中点;如图 2,将 沿 折起,使折后平面平面 ,则异面直线 和 所成角的余弦值为 _【答案】【解析】取 的中点为 ,连接 , ,延长 到 使 ,连接 , , ,则 ,所以 为异面直线 和 所成角或它的补角. ,且在 中,根据余弦定理得 .同理可得,又 平面 平面 ,平面 平面 , 平
9、面 平面 平面 ,即同理可得,又在 中,两直线的夹角的取值范围为异面直线 和 所成角的余弦值为故答案为 .点睛:对于异面直线所成的角,一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角(或其补角) ,再根据其所在三角形的边角关系,计算其大小,要注意异面直线所成的角是锐角或直角,若计算出是钝角时,其补角才是异面直线所成的角. 16. 若函数 ,若对任意不同的实数 、 、 ,不等式 恒成立,则实数的取值范围为_【答案】【解析】要使对任意的 , 成立,也即是 最小值的两倍要大于它的最大值.,当 ,即 时, ,由基本不等式得 , 根据上面的分析,则有 ,解得 ,即 ;当 ,即 时, ,有基本不等式得,根据上面的
10、分析,则有 ,解得 ,即 .综上所述 .【点睛】本题主要考查函数的最大值和最小值,考查对于新概念或定义的理解.解题的突破口在于“对任意不同的实数 、 、 ,不等式 恒成立”既然是恒成立,也就是左边相加要比右面的最大值还要大,合起来就是要最小值的两倍,比最大值还要大.根据这个分析利用分类讨论,结合基本不等式来求.三、解答题 (本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 满足 , 且 (1)求证:数列 是等差数列,并求出数列 的通项公式;(2)令 , ,求数列 的前 项和 【答案】 (1) (2)【解析】试题分析:(1)利用分离常数法,将已知化简得
11、,由此求得 的通项公式,进而求得 的通项公式.(2)由(1)化简 利用分组求和法求得 的值.试题解析:(1) , 且 , ,即 , ,数列 是等差数列, , , (2)由(1)知 , , ,18. 在如图所示的几何体中, , , 平面 ,在平行四边形 中, , (1)求证: 平面 ;(2)求二面角 的余弦值【答案】 (1)见解析(2)【解析】 【试题分析】 (1)连接 交 于 ,取 中点 ,连接 , ,利用中位线证明 ,四边形 为平行四边形,从而 ,由此证得 平面 .(2)以 为原点, , , 的方向为 轴, 轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,通过计算平面 和平面 的法向量来求二面角的余弦值.【试题解析】(1)证明:连接 交 于 ,取 中点 ,连接 , ,因为 , ,又 ,所以 , ,从而 , 平面 , 平面 ,所以 平面 (2)在平行四边形 中,由于 , , ,则 ,又 平面 ,则以为原点, , , 的方向为 轴, 轴,轴的正方向建立空间直角坐标系 ,则 , , , ,则 , , ,设平面 的一个法向量为 ,则由 令 ,得 , ,所以 ,