1、基础巩固强化一、选择题1(文 )(2012陕西文， 9)设函数 f(x) ln x，则( )2xAx 为 f(x)的极大值点12B x 为 f(x)的极小值点12C x 2 为 f(x)的极大值点Dx 2 为 f(x)的极小值点答案 D解析 由 f (x) (1 )0 可得 x2.2x2 1x 1x 2x当 02 时f (x)0 ，f(x)单调递增所以 x2 为极小值点(理)(2012 陕西理， 7)设函数 f(x)x ex，则( )Ax 1 为 f(x)的极大值点B x 1 为 f(x)的极小值点C x 1 为 f(x)的极大值点Dx 1 为 f(x)的极小值点答案 D解析 本 题考查了导数
2、的应用求函数的极值f (x) e xxe x，令 f (x)0，exxe x0， x1，当 x(， 1)时， f ( x)e xxe x0，x1 为极小值点，故选 D.点评 求函数的极 值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域2(2013贵州四校期末) 已知函数 f(x)x 32x 24x7，其导函数为 f ( x)则以下四个命题：f(x)的单调减区间是 ( ，2)；23f(x)的极小值是15 ；当 a2 时，对任意的 x2 且 xa，恒有 f(x)f(a)f (a)(xa) ；函数 f(x)有且只有一个零点其中真命题的个数为( )A1 个 B2 个C 3 个 D4 个答案 C
3、解析 f ( x)3x 24x 4(3x2)(x2) ，可得 f(x)在( ， )上为增函数，在( ，2)上为减函数，在(2， )上为增函23 23数，故 错误 ；f(x)极小值 f(2) 15，故 正确；在 (2，)上，f(x )为“下凸”函数，又 a2，xa，当 xa 时，有 f (a) 恒成立；当 xf(a)f ( a)(xa)，故 正确；fx fax af(x)极大值 f( )0 得x2，由 f (x)3，则 f (x)0；当22 时，1x0，函数 f(x)有极小值 f(2)，故选 D.6(文 )已知函数 f(x)x 3px 2qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点，则 f(x)的极大
4、值、极小值分别为 ( )A. ，0 B0，427 427C ，0 D0，427 427答案 A解析 f (x)3x 22px q，由 f (1) 0，f(1)0 得，Error!解得Error!f(x)x 32x 2x，由 f (x) 3x 24x 10 得 x 或 x1，13易得当 x 时 f(x)取极大值 ，13 427当 x1 时 f(x)取极小值 0.(理)(2013 浙江理， 8)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x 1)(x1) k(k1,2)，则( )A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时，f( x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(
5、 x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值答案 C解析 当 k1 时 ，f(x)(e x1)(x 1)，此时 f ( x)e x(x1)(e x 1) exx1， A、B 项均错 当 k 2 时，f (x)(e x1)(x 1)2 此时 f (x )e x(x1) 2(2x2)(e x1) exx22xe x2e x(x1)(x1) 2( x1) (x 1)ex(x1)2，显然 f (1)0，x1 时 f (x)0，x2 ，f ( x)0，得 x2 ，若 k0，则 f(x)显k3然在( 3，1) 上单调递增，k0，x 或 x2 时， f ( x)0，当 01 即
6、 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上 为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当 x(1,4)时，f (x)0.所以 4a16，解得 5a7.所以 a 的取值范围为5,7(理) 已知 f(x)ax 32ax 2b(a0)(1)求出 f(x)的极值；(2)若 f(x)在区间2,1上最大值是 5，最小值是11，求 f(x)的解析式解析 (1)f ( x)3ax 24ax，令 f (x)0x0 或 x .43当 a0 时，x (，0) 0 (0， )43 43( ，)43y 0 0 y 增函数极大值减函数极小值增函数所以当 x 0 时， y 取得极大值 b，当 x 时，y
7、取得极小值 b a，43 3227同理当 a0 时，f(x)在2,0)上单调递增，在(0,1 上单调递减，所以 f(x)maxf (0)b5.又 f( 2) b16af(1)ba，所以 b16a5，a1.综上，f(x)x 32x 25 或 f(x)x 32x 211.能力拓展提升一、选择题11(文) 已知实数 a、b、c 、d 成等比数列，且曲线 y3xx 3的极大值点坐标为(b，c )，则 ad 等于( )A2 B1C1 D2答案 A解析 a、 b、c、d 成等比数列，adbc，又(b，c)为函数 y3xx 3 的极大值点，c3bb 3，且 03 3b2，Error!或Error!ad2.(
8、理) 已知函数 f(x)ax 21 的图象在点 A(1，f(1)处的切线 l 与直线 8xy20 平行，若数列 的前 n 项和为 Sn，则 S2010 的值为1fn( )A. B.20102011 10052011C. D.40204021 20104021答案 D解析 f ( x)2ax ，f(x)在点 A 处的切线斜率为 f (1)2a，由条件知 2a8， a4，f(x)4x 21， 1fn 14n2 1 12n 1 12n 1 ，12( 12n 1 12n 1)数列 的前 n 项和 Sn 1fn 1f1 1f2 1fn 12(1 13) 12 (13 15) 12( 12n 1 12n
9、1) ，S2010 .12(1 12n 1) n2n 1 2010402112(文) 函数 f(x)的定义域是 R，f(0)2，对任意 xR，f(x) f (x )1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为( )Ax|x0 Bx|x1 Dx|xexe x0，所以 g(x)e xf(x)e x为 R上的增函数又 g(0)e 0f(0)e 01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0.(理)(2013 湖北理， 10)已知 a 为常数，函数 f(x)x(lnxax )有两个极值点 x1，x 2(x10，f(x 2) Bf(x 1)0，f( x2)12 12答案 D解析 由 题意知，函数
10、f(x)x(lnxax )xlnxax 2 有两个极值点，即 f (x) lnx12ax0 在区间(0， )上有两个根令 h(x)lnx12ax ，则 h(x) 2a ，当 a0 时1x 2ax 1xh( x)0，h(x)在区间(0，)上递增，f ( x)0 不可能有两个正根，a0.由 h (x)0，可得 x ，从而可知 h(x)在区间(0 ， )上递12a 12a增，在区间 ( ，)上递减因此需 h( )ln 11ln 0，即12a 12a 12a 12a1 时满足条件，故当 00，x1f(1)a .故选 D.12二、填空题13(文)(2013 天津一中月考 )已知 f(x)x 33ax 2
11、bx a 2 在x1 时有极值 0，则 ab 的值为_ 答案 7解析 f (x)3x 26axb，若在 x1 处有极值 0，则Error!解得Error!或Error!但当 a1，b3 时， f (x )3( x1) 20，不合题意，故 ab7.(理)(2013 课标全国 理，16)若函数 f(x)(1x 2)(x2axb) 的图象关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_答案 16解析 函数 f(x)的图 象关于直线 x2 对称，f(x)满足 f(0)f(4) ，f(1)f(3)，即Error!解得Error!f(x)x 48x 314x 28x15.由 f (x) 4x 324x 22
12、8x80，得 x12 ，x22，x 32 .5 5易知，f(x)在(， 2 )上为增函数，在( 2 ，2)上为5 5减函数，在( 2，2 )上为增函数，在(2 ，) 上为减函5 5数f(2 )1( 2 )2(2 )28( 2 )155 5 5 5( 84 )(84 )5 5806416.f(2)1(2) 2(2) 28( 2)153(4 1615) 9.f(2 ) 1(2 )2(2 )28( 2 )155 5 5 5( 84 )(84 )5 5806416.故 f(x)的最大值为 16.14(文) 已知函数 f(x)x 3ax 24 在 x 2 处取得极值，若m、n 1,1，则 f(m)f (
13、n)的最小值是 _答案 13解析 求 导得 f ( x)3x 22ax ，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f (2) 0，即342a 20， a3.由此可得 f(x)x 33x 24，f ( x)3x 26x ，易知 f(x)在( 1,0)上单调递减，在(0,1) 上单调递 增，当 m1,1时，f (m)minf(0)4.又f (x)3x 26x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，当 n1,1时，f (n) minf (1)9.故 f(m)f (n) 的最小值为13.(理)(2013 扬州期末 )已知函数 f(x)lnx (mR )在区间1，emx上取得最小值 4，则 m_.答案 3e
14、解析 f (x) (x0)，1x mx2 x mx2当 m0 时，f (x)0，f(x)在区间1，e 上为增函数，f(x)有最小值 f(1)m4，得 m4，与 m0 矛盾当 m1，f(x) minf(1)m4，得 m4，与 m1 矛盾；若m1，e，即e m1，f(x) minf( m)ln(m )14，解得 me 3，与e m1 矛盾；若me，即 m0，函数 f(x)在(，)上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时，由 f (x)0 得 x .a当 x(， )时，f (x )0，函数 f(x)单调递增；a当 x( ， )时，f ( x)0，函数 f(x)单调递增af(x)的单调增区
15、间为(， )和( ，)，单调减区间为a a( ， )a a故 x 是 f(x)的极大 值点，x 是 f(x)的极小值点a a(理)(2013 昆明调研 )设 f(x)lnx ax(aR 且 a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 a1，证明： x1,2时，f(x) 30 时，f (x)0， 函数 f(x)在(0，)上是增函数当 a0 得 0 .1a 1a函数 f(x)在(0 ， )上是增函数；在( ，) 上是减函数1a 1a(2)当 a1 时， f(x)ln xx，要证 x1,2时，f(x)30 ，1xh(x)在1,2上单调递增，g(1)g(x ) g(2) ，即 0g( x)ln2
16、2，g(x)在1,2上单调递增，g(x) g(2)2ln230 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件二是对于可导函数 f(x)，f ( x0)0 是函数 f(x)在 xx 0 处有极值的必要不充分条件；掌握利用导数讨论函数单调性、极(最) 值的基本方法步骤明确极值与最值的区别牢记定义域的限制；防范错误的认为极值点就是最值点，导数为 0 的点就是极值点，f(x) 单调递增f (x)0.2求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范条理的写出解答过程，养成列表的习惯，含参数时注意分类讨论，已知单调性求参数的值域或取值范围时，要注意其中隐含 f (x )0(或 f ( x)0
17、) 恒成立还要注意 f(x)在区间 A 上单调增( 或减) 与 f(x)的单调增(或减 )区间是 A 的区别3易错警示例 已知函数 f(x)ax 33x 2x1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围错解 求函数的 导数 f (x )3ax 26x 1，当 f (x)0，g(x)0；当 x(1，)时，h(x)0，所以当 x(0,1)时， f ( x)0；当 x(1， ) 时， f (x)0，g(x)0，h(x) 单调递增；当 x(e2 ，)时，h(x)0，(x)单调递增，(x )(0)0，故当 x(0， ) 时， (x)e x(x1)0，即 1.exx 1所以 1x xlnx1e 2 0，g(
18、x)0，整理可得|a| 22ab，故 cosa，b 0 时，由 导 函数 f ( x)ax 2bxc的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增只有 D 选项符合题意3f(x) 是定义在(0 ，)上的非负可导函数，且满足 xf ( x)f (x)0.对任意正数 a、b，若 a0，af(b)bf(a)点评 观 察条件式 xf (x )f(x)0 的特点，可见不等式左边是函数 y xf(x)的导函数，故可构造函数 yxf( x)或 y 通过取导fxx数利用条件式来得到函数的单调性推得结论4(2013山西诊断 )设 D 是函数 yf(x)定义域内的一个
19、区间，若存在 x0 D，使 f(x0)x 0，则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”若函数 f(x)ax 23x a 在区间1,4 上存在次不动点，则实数52a 的取值范围是( )A( ，0) B(0， )12C ，) D(， 12 12答案 D解析 设 g(x)f(x) x，依题意，存在 x1,4，使 g(x)f(x)x ax 22x a 0.当 x1 时，g(1) 0；当 x1 时，由52 12ax22xa 0 得 a .记 h(x) (1 2x2 5x 2x2 12 120；当 x(2,4)时，h(x )bc解析 因 为2log 4ln e1，因而22 时，f (x)12f( )0.1f(ln3)，即 abc.136(2012湖南长郡中学一模) 已知函数 f(x)的导函数为 f ( x)5cos x，x (1,1)，且 f(0)0，如果 f(1x )f(1x 2)0，则实数 x 的取值范围为 _答案 (1， )2解析 导函数是偶函数， 原函数 f(x)是奇函数，且定义域为(1,1)，又由导数值恒大于 0，原函数在定义域上单调递增， 所求不等式变形为 f(1x) f(x21)， 11x x211，解得 1x ，2实数 x 的取 值范围是(1 ， )2
