1、2018 届山东省烟台市高三第一学期期末数学理试题理 科 数 学注意事项：1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书出的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.已知全集为 R，集合 2=124=30RMNxMCN， ， ， ， ， 则A. B. C. D. 12， ， ， 12x2.已知 ，则下列不等式成立的是0baA. B.
2、C. D. 12ab22lglab1lgab3.已知函数 1,00sin,xef f则A.0 B.1 C.e D. 1e4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ，则数列 的公差为anS235SnaA.3 B. C. D.6455.若将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关si2fx0于原点对称，则 的最小值是A. B. C. D. 843846.在区间 上随机取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为0,x2sincoxA. B. C. D. 121371237.函数 的图象大致为2cosyx8.在 中，已知 分别为 BC 的三等ABC,1,3,ACBACMN分点，则 MNA. B. 109
3、209C. D. 8839.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于A.12 B.18 C.20 D.2410.已知 为双曲线 的两个焦点，若双曲线12,0,Fc210,xyabb上存在点 P 使得 ，则双曲线离心率的取值范围为21cAA. B. C. D. 1,3,11.数列 的前 n 项和分别为 ，,nab nnnnnSTcabSaN记若 ，则数列 的前 2018 项和为20182018STA.2017 B.2018 C. D. 2018201912.定义在区间 上的函数 ， 是函数 的导函数，若存在,abyfxffx，使得 ，则称 为函数 上的,ffba,ab在“中值点”.下
4、列函数： sinxxfeln3fx.其中在区间 上至少有两个“中值点”的函数的个数为31fx2,A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 的展开式中 的系数是（用数字作答）5xy3xy14.设变量 满足约束条件 的最小值为,20,23zxyxy则15.中 国 古 代 数 学 经 典 九 章 算 术 中 ， 将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 称 之 为 鳖 臑（ bi no） .若三棱锥 为鳖 臑 ， 且 平面PABCPAABC，PA=2，AB=3， ，该鳖 臑 的 外 接 球 的 表 面 积 为 ，则该鳖
5、臑 的 体 积 为ABC2916.过抛物线 的焦点 F 的一条直线交抛物线于 两20ypx12,xy点，给出以下结论： 为定值；12y若经过点 A 和抛物线的顶点的直线交准线于点 C，则 轴；/B存在这样的抛物线和直线 AB，使得 （O 为坐标原点） ；A若以点 A,B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线.写出所有正确的结论的序号三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分.17.（12 分）已知函数 .22133cossin42
6、fxxx（1 ）求函数 在区间 上的最大值及相应 的值；f0,（2 ）在 中，若 的值.ABC1,2BCfAfA且 ， 求18. （12 分）某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为1，2，3，8，其中 为标准 A， 为标准 B.已知甲车间执行标准 A，乙执5X3X行标准 B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准.（1 ）已知甲车间的等级系数 的概率分布列如下1表：若 的数学期望 的值；16.4,Eab， 求（2）为了分析乙车间的等级系数 ，从该车间生产的火腿中随机抽取 30 根，相应的2X等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3
7、 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7.用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数 的概率分布列和均值；2X（3 ）从乙车间中随机抽取 5 根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率.19. （12 分）已知四棱锥 平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，SABCD，M 是 SB 的中/,90,2,3ABDC点.（1 ）求证：CM/平面 SAD；（2 ）若直线 DM 与平面 SAB 所成角的正切值为 ，F 是 SC 中点，2求二面角 的余弦值.CAFD20. （12 分）已知点 A,B 是椭圆 的左右顶点，点 C
8、 是椭圆的210xyLab：上顶点，若该椭圆的焦距为 ，直线 AC,BC 的斜率之积为 .314（1 ）求椭圆 L 的方程；（2 ）是否存在过点 的直线 l 与椭圆 L 交于两点 P,Q，使得以 PQ 为直径的圆经1,0M过点 C？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.21. （12 分）已知函数 .ln1afxxR（1 ）求函数 的单调区间；f（2 ）若存在 成立，求整数 a 的最小值.1xfx， 使（二）选考题：共 10 分.在第 22、23 题中任选一题作答. 若多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 44，坐标系与参数的方程（10 分）已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数
9、） ，以直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴建立15cos2inxy x极坐标系.（1 ）求曲线 C 的极坐标方程，并说明其轨迹；（2 ）若曲线 的极坐标方程为 ，曲线 C 与 相交于 A,B 两点，求线1 3sinco1段 AB 的长度 .23. 选修 45，不等式选讲（10 分）已知函数.21,123fxgxax（1 ）当 时，求 的解集；5afg（2 ）若存在实数 使得 成立，求实数 a 的取值范围 .xx2017-2018 学年度第一学期高三期末理科数学参考答案一、 选择题C D B C C C A B D C B B二、 填空题13. 14. 15. 16.1204三、 解答题1
10、7. 解：（1 ） 1cos21cos(2)133xxfx . 4 分sin2in3由于 ， ，所以当 即 时，0x23x32x51x取得最大值，最大值为 1. 6 分f（2 ）由已知， 、 是 的内角， ,且 ，ABCAB2ffB可解得 ， . 4712所以 , 10 分6C得 . 12 分sinBA18. 解：（1 ） 即 1()502780.164EXab74.6ab又 ，即 0.2.ab联立得 ，解得 . 4 分64.3（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数 的分布列如下：2X6 分2X3 4 5 6 7 8P0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1zyxSMFDCBA
11、，8.410.71.062.5.043.)(2 XE即乙车间的等级系数的均值为 . 8 分8（3） . 12 分3251()PC（4）19. （1）证明：取 中点 ,连接 ，SANDM,在 中， , , ,SABMN/B2C/四边形 为平行四边形. 2 分CD/又 平面 , 平面SSAD平面 . 4 分/A（2）由已知得： 两两垂直 ， 以,B所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如,BDSxyz图所示的空间直角坐标系， 平面 ，,AASBSB就是 与平面 所成的角. 5 分M在 中， ，即 ，RtD3tan232ADM设 ，则 ， 2AB1C中， 为斜边 中点，StSB4. 6 分342则 ，
12、， ，(0,)(,0)A(1,),(03,)CD(0,23)S1(,3)2F所以 ， . 8(,3),(,)DA1(,)AF分设 是平面 的一个法向量，则1(,)xyzmACF，令 ，得 .113002ACFxyz1y(3,10)m设 是平面 的一个法向量，则(,)yznADF，令 . 22300130ADFxyz21z23,01n10 分 .61cos, 32mn二面角 的余弦值为 . 12 分EAFC120. 解：（1 ）由题意可知， ， ，3c,ACBbka有 ， 2 分214ba即 ，又 ，22bc解得 ，所以椭圆 的方程为 . 4 分2, 214xy（2 ）存在；以 为直径的圆经过点
13、 可得， ，若直线 的斜率为 ，则 为点PQCPQl0,AB，此时 ，此时 不垂直，不,22(3)5cos 3AB,CPQ满足题意，可设直线 的方程为： ，联立 ，消 可得，l1xmy214xyx，2(4)30my则有 . 8 分 1243my设 ，由题意可知 ，因为 ，12(,)(,)PxyQ120xCPQ则 ，即 ，Ck12yx整理可得： ， 212()()m将代入可得： ，2304m整理得 ，解得 或者 ，25053所以直线 的方程为： 或 . 12l1xyxy分21. 解：（1）由题意可知， ， ，022()1axaf方程 对应的 ，2xa14当 ，即 时，当 时， ，4(,)x()0
14、f 在 上单调递减； 2 分()f0,)当 时，方程 的两根为 ，1a20a142a且 ， 414此时， 在 上 ，函数 单调递增，在()fx+2（ ， ） ()0fx()fx上 ，函数 单调递减；14140,)aa（ ， ） ， 4 分当 时， ， ， 02102此时当 ， 单调递增，14(0,),(axfx()f当 时， ， 单调递减； 6 分,20x综上：当 时， ， 单调递增，当0a14(,)2ax(fx时， 单调递减；14(,)2x(f当 时， 在 上单调递增，0a(fx14+12a（ ， ）在 上单调递减；14,)2（ ， ） ，当 时， 在 上单调递减； 7 分a()fx0,)（
15、2）原式等价于 ，ln21ax即存在 ，使 成立1设 ， ，ln2()xg则 ， 9 分21)设 ，()lnhx则 ， 在 上单调递增0x()hx1,)又 ，根据零点存(3)l21l3,4ln2ln0在性定理，可知 在 上有唯一零点，设该零点为 ， 则 ，且()h,x(3,4)，即 ，00nhxx002x 11 分mil() 1g由题意可知 ， 又 ， ， 的最小值为 . 1201a0(3,4)aZ5分22. 解：（ 1）曲线 的普通方程为 所以曲线 是以 为C)2(12yxC)2,1(圆心， 为半径的圆。将 代入式并化简得 所以5sincoy sin4co曲线 的极坐标方程为 . 642分（2）由题意得，曲线 的直角坐标方程为 .所以圆心 到直线 的距1C03yxC1
