1、东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 2011-2012-2 得分适用专业 理工各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120 分钟（可带计算器 ）题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分批阅人一 简述与问答题（每题 8 分，共 24 分）1.数学建模过程必须科学系统，简述建模过程中需要注意的若干问题。2.数学模型的分类方法很多，如果按数学方法分类，请至少列举 5 类常见类型的数学模型。3.简述层次分析法建模的一般步骤（不要求给出具体模型） 。二 建模与求解（每题 9 分，共 27 分）设有 3 个化肥厂供应 4 个地区化肥，各化肥厂年产量（万吨） ，
2、各地区需求量（万吨）及从各化肥厂到各地区的运费（万元/万吨）如下表所示，建立该问题数学模型。请明确所求问题？（运费最小？）地区化肥厂 单价地区 1 地区 2 地区 3 地区 4 产量ABC16 13 22 1714 13 19 1519 20 23 506050最低需求最高需求30 70 0 1050 70 30 100学号 姓名 密封线自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效5.考虑最小旋转曲面问题。求连接已知平面上两点（1,1） ， （3,3）的一条曲线 ，()yfx使之绕 X 坐标轴旋转所得旋转曲面侧面积最小。请解决如下问题：（1）建立该问题的数学模型（表示
3、为泛函形式） 。（2）给出上述泛函的 Euler 方程（不用解此方程） 。6.某游泳馆即将开业，为使游泳池水达到卫生要求且不影响正常开业，需要人工清洁池水， 即排放一些浑浊的池水，同时注入等量的净水。假设泳池长 60 米，宽 30 米，水深1.5 米，在池水颗粒物浓度为 时开始以速度 排水。30.2(/)kgm3(/min)v建立池水净化的数学模型。（2） 如果要在 2 小时内使池水颗粒物降到 ，求排水速度 。30.1(/)kgv三 数据分析与解答（每题 12 分，共 24 分）7.已知数据 满足指数关系，请根据以下观测数据，利用最小二乘法估计参数（精确,xy到小数点后两位） 。1 2 4 8
4、 1612.41 8.99 4.04 0.82 0.038.考虑 Leslie 模型1 12 23 3()()0169,.5xkxkk当 时，求系数矩阵模最大特征值及对应的特征向量（精确到小数点后两位） 。k如果系数矩阵的模最大特征值为 1，求 值。 k四 分析证明题（12 分）9考虑零件的预防性更换问题。如果零件的寿命 X 服从已知分布，其分布函数为.记 。正常更换周期为 。正常更换0()()tFfsd()(),()/RtFtrftRT费用为 ，故障更换费用为 。bab（1）计算平均更换周期。（2）计算平均更换费用。（3）证明如果 服从指数分布，则不存在预防性更换周期。X五 综合练习（13 分）10 （选址问题）在铁路线同侧有 A,B 两家货场，分别距铁路 4 公里及 8 公里（见下图） ，距离为 18 公里，现需要在铁路上新建车站 P，并修建从货场到车站的公路。已知公CD路单位造价为每公里 1 千万（不考虑建公用道路情况） 。（1）在铁路上建一车站 ，使公路建设费用最少，确定 P 的位置。P（2）如果 E 所在的虚线处为城郊结合部， 公里。 A 在郊区，城区的单位道路6ED建设费用是郊区 2 倍，连接城区的公路最好经过城郊结合部的何处（坐标精确到整数位） 。
