1、亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc九年级数学复习分式、一元二次方程、圆、图形的全等、样本与总体等各章内容华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：复习分式、一元二次方程、圆、图形的全等、样本与总体等各章内容教学过程例 1. 计算：（1） 3125322()(解：原式 9482537（2） ()xyyx22解：原式 ()y2xyx22（3） ()x14632解：原式 x()4362xxx2271363()()例 2. 解方程（1） xx210解： x()()()21023亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/
2、www.eku.cc540x经检验： 是原方程的解x5原方程的解是 。4（2） 372()解： x8 xx1277，（3） 240解：6()x2 xx1266，例 3. 已知关于 x 的方程 有实数根，求：m 的取值范围。mx3190()解：m=0 时，方程为 02，m0 时，若方程有实根，则 ，则：()()231491249605m 时，方程有实根。1例 4. 已知关于 x 的方程 和 有整数mx240xm224450根，求：整数 m 的值。解：方程有整数根，方程有实根 124601()， 同理，方程的判别式大于等于零，即 2224450()()652， 541m亿库教育网 http:/ww
3、w.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccm 是整数，m=0，1，1m=0 时，方程 是 无整数根，m=0 舍去x250m=1 时，方程 为 ，有 4x12方程为 5， 有 ，舍去m1 12时 ， 方 程 为 无 实 根 ， 例 5. 如图，AC=BC，C=90，A 的平分线 AD 交 BC 于 D，过 B 作 BEAD 交AD 的延长线于 E，求证：AD=2BE证明：延长 AC、BE 到 M 点BEAE，C=90 M+ 3=1+M=903=1在ACD 和BCM 中 3ACBMACDBCMBM=AD在AEM 和AEB 中 12AEBAEMAEBBE=EMAD=BM=2BE例
4、6. 如图，在O 的直径 AB 的延长线上取一点 P，自 P 引 PC 切O 于 C，已知 PC的长为O 的半径的 倍， PB=3，求：图中阴影部分的面积。3亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc解：连结 OCPC 是切线PCO=90 PCO3 tan 11=60 cos ， 即212CBP ， CO313 SP 93OCB扇 形 602 SPOCB阴 影 扇 形例 7. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，（1）若 ，CD=1，求：O 的半径C3（2）取 BE 中点 F，连 DF，判断 DF 和O 的位置关系解：（1）设半径为 R，
5、则在 中 ， 有tBBC22 ()()312O 的半径为 1（2）连结 BD，则ADB=90EDB=90F 为 EB 中点DF=FB，DO=OB，OF=OFODF OBFODF=90DF 切O 于 D例 8. 如图，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CDAB，垂足为E，POCPCE，亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc（1）求证：PC 是O 的切线（2）若 OE：EA=1：2， PA=6，求O 的半径（3）求 sinPCA 的值解：（1）POC=PCEPOC+OCE=PCE+ OCE=OCP=90OC 是半径，PC 是O
6、切线（2）设 OE=x，EA=2x，则 OA=3x CxPEC313， sini 61， OA=3 ，即半径为 3（3）3+OCA=90，而OCA=OAC3+OAC=902+OAC=90，3=2AE=2，OE=1，OC=3 CEO AAEC284233sini例 9. （1）如图甲，OA、 OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C 是 OB 延长线上任意一点，过点 C 作 CD 切O 于点 D，连接 AD 交 OC 于 E，求证：CD=CE ；（2）若将图甲中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F，交O 于 B，其他条件不变（如图乙），那么上述结论 CD=CE 还成立吗？为什么
7、？亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc（3）若将图甲中的半径 OB 所在直线向上平行移动到O 外的 CF，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点，其他条件不变（如图丙），那么上述结论 CD=CE 还成立吗？为什么？证明：（1）连接 OD，则 ODCD，CDE+ODA=90在 RtAOE 中，AEO+A=90在O 中，OA=OD，A=ODA，CDE=AEO又AEO=CED，CDE=CED，CD=CE（2）CE=CD 仍然成立。原来的半径 OB 所在直线向上平行移动，CFAO 于 F，在 RtAFE 中，A+AEF=90连接 OD，有ODA+
8、CDE=90，且 OA=OD，A= ODAAEF= CDE，又AEF= CED，CED=CDE，CD=CE（3）CE=CD 仍然成立原来的半径 OB 所在直线向上平行移动，AOCF延长 OA 交 CF 于 G，在 RtAEG 中，AEG+ GAE=90连接 OD，有CDA+ODA=90，且 OA=OD，ADO=OAD= GAECDE=CED，CD=CE例 10. 如图，A 和 B 是外离两圆，A 的半径为 2，B 的半径为 1，AB=4，P 为连结两圆圆心的线段 AB 上一点，PC 切A 于点 C，PD 切B 于点 D（1）若 PC=PD，求 PB 的长；（2）试问线段 AB 上是否存在一点
9、P，使 ？如果存在，则这样的 PCD24亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc点有几个？并求出 PB 的值；如果不存在，说明理由。（3）当点 P 在线段 AB 上运动到某处，使 PCPD 时，就有APCPBD，请问：除上述情况外，当点 P 在线段 AB 上运动到何处（说明 PB 的长为多少；或 PC、PD 具有何种关系）时，这两个三角形仍相似？并判断此时直线 CP 与B 的位置关系，证明你的结论。证明：（1）PC 切A 于点 CPC AC， PA22同理， ，PC=PD，DB 2设 PB=x，把 代入得x4x2214()解得 x138()即 P
10、B 的长为 （PA 长为 ）98（2）假定存在一点 P 使 ，设 PB=x，则 ，CD24PDx21，PCx24()代入条件得 ，12x化简得 ，解得87022P 在两圆间的圆外部分， 2PBx， 即满足条件的 P 点只有一个，这时 。（3）当 PC：PD=2 ：1 或 时，也有PCA PDB43这时，在PCA 与PDB 中， ，ACBDPABCDRt2()或 ， PCA PDB， BPD=APC=BPE （E 在 CP 的延长线上）B 点在DPE 的角平分线上， B 到 PD 与 PE 的距离相等，B 与 PD 相切，B 也与 CP 的延长线 PE 相切例 11. 如图，B 为线段 AD 上
11、一点，ABC 和BDE 都是等边三角形，连结 CE 并延长交 AD 的延长线于点 F，ABC 的外接圆O 交 CF 于点 M，（1）求证：BE 是O 的切线；（2）求证：AC 2CM CF；亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc（3）若 求 BD；CMF27127， ，（4）若过点 D 作 DGBE 交 EF 于点 G，过 G 作 GHDE 交 DF 于点 H，则易知DGH 是等边三角形，设等边ABC、BDE、DGH 的面积分别为 S1、S 2、S 3，试探究S1、S 2、S 3 之间的等量关系，请直接写出其结论。证明：（1）连结 OBABC
12、和BDE 都是等边三角形AB=BC=AC，CAB=ABC=EBD=60且OBC=30又CBE= 80606OBE=30+60 =90，即 OBBEBE 是O 的切线（2）（方法一）连结 AM则AMC=ABC=CAF=60又ACM=FCAACMFCA ACFM 2（方法二）连结 BM，证BCMFCB（3）由 ，可求得 AC=2F设 BxACx， 由 ， 得 ()2172解得 B464， 舍 去 ， ()由 EBAC，得 EF， 26 BD3， （4） SS213123或例 12. 已知：如图 1 所示，ACG=90，AC=2，点 B 为 CG 边上的一个动点，连结AB，将ACB 沿 AB 边所在
13、的直线翻折得到ADB，过点 D 作 DFCG 于点 F。亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc（1）当 BC 时，判断直线 FD 与以 AB 为直径的O 的位置关系，并加以证明；23（2）如图 2，点 B 在 CG 上向点 C 运动，直线 FD 与以 AB 为直径的O 交于 D、H两点，连结 AH，当CAB=BAD=DAH 时，求 BC 的长。解：（1）判断：直线 FD 与以 AB 为直径的O 相切证明：如图，作以 AB 为直径的OADB 是将ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到的ADBACB，ADB=ACB=90 ，O 为 AB 的中点，连
14、结 OD，点 D 在O 上， DBA12在 RtACB 中， ，AC=2C3， tanCAB=BAD=30 ，ABC=ABD=60 BOD 是等边三角形，BOD=60 ，ABC=BODFC DO，DFCG，ODF=BFD=90ODFD，FD 为 O 的切线（2）如图，延长 AD 交 CG 于点 E，同（1）中的方法，可证点 C 在O 上四边形 ADBC 是圆内接四边形，FBD=1+2，同理FDB=2+31=2=3，FBD= FDB ，又DFB=90FBD=CAD=45，ACE=90EC=AC=2，设 BC=x，可知 BD=BC=x，又EDB=90 EBxBCEx2， ， 解得 2 C【模拟试题
15、】一、填空题（1）一个氧原子重量为 克，20 个氧原子重量为_克（用科26571025.学记数法表示）亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc（2）当 x_时，分式 的值有意义，当 x_时，分式213x的值为 0x41()（3）一个扇形的弧长是 20 ，面积是 240 ，则扇形的直径是_。cmc2（4）若方程 有两个相等的实数根，则 m=_。x24（5）从 2、3、4、5 中任取两个数字组成一个能被 5 整除的两位数的概率是_。（6）已知相切两圆的圆心距为 18cm，其中一个圆的半径是 7cm，则另一个圆的半径为_。（7）如图 1，OA、OB、O
16、C 两两不相交，且它们的半径都是 1cm，则图中阴影部分的面积之和为_。图 1二、解答题：（1）已知：如图 2，AEAB，ADAC ，AB=AC ， B= C，求证：BD=CE图 2（2）计算： 13602410tan()( xx241（3）解方程 ()902 51x 62x（4）如图 3，一台机器的大轮O 1 和O 2 外切于点 C，且两轮都和板面相切于亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccA、B，若O 1 的半径为 3cm，O 2 的半径为 1cm，求阴影部分的面积。图 3（5）已知关于 x 的方程 的两根的平方和是 11，求 k 的值。k
17、x2210()（6）如图 4，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 AD、 DC 上，且EBF=45 ，BM EF交 EF 于 M，求证 BA=BM图 4（7）如图，AB 是O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，弦 CE 交 AB 于点 D，连结OE、AC，已知POE=2CAB，P=E图 5求证：CEAB求证：PC 是O 的切线若 BD=2OD，且 PB=9，求O 的半径及 tanP 的值亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc【试题答案】一、填空题：（1） 5341024.（2） ； （3）48cm（4）4（5） 1（6）11cm 或 25
18、cm（7） 2cm二、解答题：（1）证明：AEAB ，ADACBAE=CAD=90BAE+DAE=CAD+ DAECAE=DAB在CAE 和BAD 中 CBAEDCAEBADBD=CE（2）解：原式 2312()3解：原式 ()()xx212()x12（3）解： ()9 或23 ，x121解： 05x4亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc x104610265103 x1253，解： 21()()5x经检验： 为增根，舍去1原方程无解。（4）解：连结 ，过 O2 作 O2MO 1A 于 MOAB21， ，则 MO2BA 为矩形， OAcmBc
19、1231， M124 cos 1212 ， AOB6010 O21tan3 SABMOAB梯 形 12 1234312()() 扇 形 N1603SOB扇 形 22 阴 影 梯 扇 扇 形SOANB124362()cm（5）解：设方程两根为 x1，x 2，则 xk12()亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccxk12 ()xkk121244212301() ，若方程有实根，则 ()()404822kk 舍 k931（6）证明：延长 DA 至 N，使 AN=CF正方形 ABCDAB=BC，BAD=C=90在ABN 和BCF 中ABCNF ABNB
20、CFBN=BF，ABN=CBFEBF=45CBF+ABE=45EBN=ABN+ABE=45在BEN 和BEF 中BENFBENBEFBMEF，BANE，AB=BM（7）证明：连结 OC，OC=OA，亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccCAO=ACO， COB=2CABPOE=2 CAB ， POE=POC在COD 和EOD 中OCED CODEODCOD=EODOC=OEODCE证明：OC=OE，E=OCEP=E，P= OCEOCE+DCP=P+DCP=90OCP=90PC 是O 切线解：设O 的半径为 r，OD=x则 BD=2x，r=3x由OCDOPC得 CDPxx2239， 即 ()()解得 xr39， 故同理，可求故 tan 24
