1、2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,第六章 动态规划,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,问题描述1) KNAP(1,j,X)目标函数：约束条件：0/1背包问题：KNAP(1,n,M)最优性原理对于0/1背包问题成立求解策略：向后处理法,6.5 0/1背包问题,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,2) 向后递推关系式记fj(X)是KNAP(1,j,X)的最优解，则fn(M)有fn(M) = maxfn-1(M),fn-1(M-wn)+pn对于任意的fi(X)，i0,有fi(X) = maxfi-1(X),fi-1(X-wi)+p
2、i递推过程：初始值0 X0f0(X)= X0求出fi在所有可能的X取值情况下的值。 fn(M)=KNAP(1,n,M),2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例1 背包问题n=3,(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5)，M=6 递推计算过程,第1个物品无法放入,第1个物品可放入,第1个物品无法放入,第1个物品可放入，第2个物品无法放入,第1个物品或第2个物品可放入,第1个物品和第2个物品可放入,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例1 背包问题n=3,(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,
3、2,5)，M=6 递推计算过程,解向量的推导（最优的决策序列）,f3(M)=6,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,f1,f2,f3计算过程的图解 (w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5)，M=6,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,f0(x)=0,i: fi-1(x-wi) +pi,i=0:函数不存在,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,i1: f0(x-w1) + p1,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,f1(x),1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,i2: f1(x-w2) + p2,3,w,w,w,w,1,2,3
4、,4,5,6,7,0,1,2,3,w,f2(x), fi-1(X-wi)+pi曲线的构造：将fi-1(X)的曲线在X轴上右移wi个单位，然后上 移pi个单位而得到； fi(X)曲线的构造：由fi-1(X) 和fi-1(X-wi)+pi的曲线按X相同时f取大值的规则归并而成,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,1,2,3,4,5,6,7,0,6,7,8,w,1,2,3,4,5,8,9,i3: f2(x-w3) + p3,1,2,3,4,5,6,7,0,6,7,8,w,1,2,3,4,5,8,9,f3(x),10,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,i2: f1(x-w2
5、) + p2,3,w,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,3,w,f2(x),2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,1,2,3,4,5,6,7,0,6,7,8,w,1,2,3,4,5,8,9,f3(x),10,p,(P,W),(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5),(Pj,Wj): Pj=fi(Wj),2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,1,2,3,4,5,6,7,0,6,7,8,w,1,2,3,4,5,8,9,f3(x),10,p,(P,W),(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2
6、,5),S2,S3 ?,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,p,1,2,3,4,5,6,7,0,6,7,8,w,1,2,3,4,5,8,9,f3(x),10,p,(P,W),(0,0),(1,2),(2,3),(3,5),(5,4),(6,6),(7,7),(8,9),(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5),S2,S3 ?,(0,0),(1,2),(2,3),(6,6),(7,7),(8,9),(5,4),(3,5),支配规则：如果Si-1和 之一有序偶(Pj,Wj)，另一有(Pk,Wk)，且有 WjWk ，PjPk， 则序偶(Pj,W
7、j)将被舍弃。（即取最大值规则）。,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,记 fi的序偶集合为Si = (Pj,Wj)|Wj是fi曲线中使得fi产生一次跳跃的X值，0jr 即Pj=fi(Wj)，r是跳跃点个数 (P0,W0)=(0,0)若共有r个阶跃值，则分别对应r个(Pj,Wj)序偶， 1jr 若WjWj+1,则PjPj+1，0jr若WjXWj+1，fi(X)=fi(Wj)若XWr，fi(X)=fi(Wr),序偶表示,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院, Si的构造记 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则 其中，Si-1是fi-1的所有序
8、偶的集合Si的构造：由Si-1和 按照支配规则合并而成。支配规则：如果Si-1和 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，且有 WjWk , Pj Pk， 则序偶(Pj,Wj)将被舍弃。（即取最大值规则）。注： Si中的序偶是背包问题KNAP(1,i,X)在X各种取值下子问题的最优解,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例2 背包问题n=3,(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5)，M=6,支 配,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例2 背包问题n=3,(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p
9、3)=(1,2,5)，M=6,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,另一种求Si的推理过程,KNAP(1,3,X),(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5),2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,另一种求Si的推理过程,x1,x2,xn有2n个不同的0、1序列。对于每一个序列，若把 记为Wj， 记为Pj，则此序列产生一对与之对应的序偶(Pj,Wj)。 在2n个序偶中，满足WjM，且使Pj取最大值得序偶就是背包问题的最优解。 用动态规划的向后处理法求解时，假定Si-1是以下序偶所组成的集合，这些序偶是由x1,x2,xi-1
10、的2i-1个决策序列中一些可能的序列所组成的序偶(Pj,Wj)。 Si可按下述步骤得到。在xi=0的情况下，产生的序偶与Si-1相同。而在xi=1的情况下，产生的序偶是将(pi,wi)加到Si-1的每一对序偶(Pj,Wj)得到的，这序偶集就是 。然后按支配规则将Si-1和 归并在一起就得到Si。,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,支配规则的正确性,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,KNAP(1,n,M)的求解,生成序偶集Si（应将WM的那些序偶(P,W)去掉 ，因为由它们不能导出满足约束条件的可行解。 ）。 Si是背包问题KNAP(1,i,X)在
11、0XM各种取值下的最优解。 通过计算Sn可以找到KNAP(1,n,X)，0XM的所有解。 KNAP(1,n,M)的最优解由Sn的最后一对序偶的P值给出。,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,KNAP(1,n,M)的求解,Sn的最末序偶或者是的Sn-1最末序偶，或者是 (Pj+pn,Wj+wn)，其中(Pj,Wj)Sn-1且Wj是Sn-1中满足Wj+wnM的最大值。通常情况下只需求此值，而不需要算出Sn中每个元素。 若已找到Sn的最末序偶(Pl,Wl)，那么使pixi=Pl，wixi=Wl的x1,x2,xn的决策值可以通过检索这些Si来确定。,2008-09-01,版权所有
12、：杨波，武汉科技大学理学院,决策序列的推导,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,决策序列的推导,的最后序偶,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例3S0=(0,0)S1=(0,0),(1,2) S2=(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)S3=(0,0),(1,2), (2,3),(5,4),(6,6), (7,7),(8,9)M=6，f3(6)由S3中的最后序偶(6,6)给出。1) (6,6) S2x3=12) (6-p3,6-w3)=(1,2)S2且(1,2)S1x2=03) (1,2) S0x1=1,2008-09-01,版权所有：杨
13、波，武汉科技大学理学院,void DKP(p,w,n,M) S0 =(0,0)for( i=1;i=n-1;i+ ) =(P1,W1)|(P1-pi,W1-wi) Si-1 and W1M /生成 /Si =MERGE-PURGE(Si-1, ) /将Si-1和 归并为Si/(PX,WX)= Sn-1的最末一个有效序偶(PY,WY)=(P1pn,W1+wn)，其中，W1是Sn-1中使得WwnM的所有序偶中取最大值的W/沿Sn-1, S1回溯确定xn,xn-1,x1的取值/if PXPYxn=0 /PX将是Sn的最末序偶/else xn=1 /PY将是Sn的最末序偶/回溯确定xn-1,x1,求S
14、n中最末序偶,非形式的背包算法,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,1)序偶集Si的存储结构使用两个一维数组P和W存放所有的序偶(P1,W1),其中P存放P1值，W存放W1值 序偶集S0, S1, Sn-1顺序、连续地存放于P和W中； 用指针F(i)表示Si中第一个元素在数组(P,W)中的下标位置，0in; F(n)Sn-1中最末元素位置11 2 3 4 5 6 7P 0 0 1 0 1 2 3 W 0 0 2 0 2 3 5F(0)F(1) F(2) F(3),DKP的实现,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,2) 序偶的生成与合并 Si的序偶将按
15、照P和W的递增次序生成 中序偶的生成将与 和Si-1的合并同时进行设 生成的下一序偶是(PQ,WQ)；对所有的(PQ,WQ)，根据支配规则处理如下： 将Si-1中所有W值小于WQ的序偶直接计入Si中； 根据支配规则，若Si-1中有W值小于WQ的序偶支配(PQ,WQ)，则(PQ,WQ)将被舍弃，否则(PQ,WQ)计入Si中；并清除Si-1中所有可被支配的序偶，这些序偶有WWQ且PPQ 对所有的(PQ,WQ)重复上述处理； 将最后Si-1中剩余的序偶直接计入Si中； 所有计入Si中的新序偶依次存放到由F(i)指示的Si的存放位置上。注：不需要存放 的专用空间,2008-09-01,版权所有：杨波，
16、武汉科技大学理学院,3) 算法的实现 0/1背包问题的算法描述 void DKNAP(double p,double w,int n,double M,int m) /p为效益值，w为相应的重量，n物品数，m为（P,M）对的最大数，double P=new doublem+2; double W=new doublem+2;int F=new intn;int l,h,u,i,j,p,k,next; / l是 Si-1 中 第一对序偶的指针，而h是 Si-1 中最末序偶的指针/u提供了在S1i中不用产生的序偶指示的最小值减1/k为 Si-1 中（P,W）组的指针；next为Si中（P,W）组的
17、指针 F0=1;W1=P1=0; l=h=1; /S0的首端和末端 F1=next=2; /S1中的数对（P,W）将要存放的第一个空位置，/next指示存放位置 for(i=1;i=n-1;i+) /生成Si k=l; /k指向Si-1 中第一对（P,W），k结束于hu=在lrh中使得的Wr+wi=M最大的r /生成S1i同时生成Si 时去掉不满足约束条件的序偶,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,for(j=l;jPnext-1) /(pp,ww)不受支配 Pnext=pp;Wnext=ww;next+; while(k=h) / 求解装包方案在此省略 ,2008-09
18、-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,4. 过程DKNAP的分析 1) 空间复杂度记Si中的序偶数为：|Si|则有， |Si| |Si-1| |又， | | |Si-1|所以， |Si|2|Si-1|最坏情况下，由Si-1生成 以及生成Si时没有序偶被支配，则故，DKNAP所需的空间复杂度（P、W数组）为:(2n),2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,2) 时间复杂度由Si-1生成Si的时间为： ，0in-1故，DKNAP计算所有的Si所需的时间为：进一步考察：若每件物品的重量wi和效益值pi均为整数，则Si中每个序偶(P,W)的P值和W值也是整数，且有 ，WM又，
19、在任一Si中，所有序偶具有互异P值和W值，故有且,至少有一个（0,0）,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,故，在所有wj和pj均为整数的情况下，DKNAP的时间和空间复杂度将为：,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,序偶集合的一种启发式生成策略在由S0生成Sn-1的过程中，有些序偶无论如何也不会导致问题的最优解，这些序偶最终也不会出现在任何最优决策序列中，故可以及时的舍去，以进一步降低计算量。原理如下：设L是最优解的估计值，但有fn(M)L设PLEFT(i)= 即i+1至n件物品的效益值之和 若正在生成的序偶(P,W)有PPLEFT(i)L，则(P
20、,W)将不计入Si中。L的选择： 取Si的最末序偶(P,W)的P作为L，Pfn(M) 将某些剩余物品的p值与这个P值加在一起作为L,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,例6.15 0/1背包问题n=6,(p1,p2,p3,p4,p5,p6)=(w1,w2,w3,w4,w5,w6)=(100,50,20,10,7,3),M=165不使用启发方法的序偶集S0=0S1=0,100S2=0,50,100,150S3=0,20,50,70,100,120,150S4=0,10,20,30,50,60,70,80,100,110,120,130,150，160S5=0,7,10,17
21、,20,27,30,37,50,57,60,67,70,77,80,87,100,107,110,117,120,127,130,137,150,157,160则，f6(165)=163注：每对序偶(P,W)仅用单一量P（或W）表示,2008-09-01,版权所有：杨波，武汉科技大学理学院,启发式规则求解分析：将物品1,2,4,6装入背包，将占用163的重量并产生163的效益。故，取期望值L163.按照启发式生成规则，从Si中删除所有PPLEFT(i)L的序偶，则有PLEFT(0)=p1+p2+p3+p4+p5+p6=190S0=0 =100 PLEFT(1)=p2+p3+p4+p5+p6=90S1=100 =150 PLEFT(2)=p3+p4+p5+p6=40S2=150 = PLEFT(3)=p4+p5+p6=20 (w3=20)S3=150 =160 PLEFT(4)=p5+p6=10S4=160 = PLEFT(5)=p6=3 (w5=7)S5=160 PLEFT(6)=0f6(165)=160+3 163,n=6,(p1,p2,p3,p4,p5,p6)=(w1,w2,w3,w4,w5,w6)=(100,50,20,10,7,3),M=165,
