1、第六章 导行电磁波,6.1 导行电磁波的一般分析方法,电磁波沿着波导传播，设波导中的正弦电磁波是沿着z轴方向传播，即各场量都包含e-rz因子，并利用横向微分算子 的概念，得： 波导中电场的波动方程： （6.1.1） 式中： 波导中磁场的波动方程： （6.1.2）,一般情况下，电场和磁场不仅有横向分量，还有纵向分量，则电场强度E和磁场强度H可表示为：（6.1.3） （6.1.4）,把(6.1.3)和(6.1.4)代入(6.1.1)和(6.1.2)，得：（6.1.6）和（6.1.8）是两个标量偏微分方程，很容易求 Ez和Hz,（6.1.5）,（6.1.6）,（6.1.7）,（6.1.8）,利用麦克
2、斯韦方程即可求出Et和Ht （6.1.9）（6.1.10） （6.1.11）（6.1.12）,圆对称形波导往往采用圆标坐标系。在圆坐标坐标系中，横向场的表达式为： （6.1.13）（6.1.14）（6.1.15） （6.1.16）,在均匀波导的电磁波也可分为三种模式：,横电磁波，简称TEM波，这种模式的电磁波在传播方向上没有电场分量，也没有磁场分量，即Ez=Hz=0 横磁波，简称TM波，这种模式的电磁波在传播方向上有电场分量，但是没有磁场分量，即 横电波，简称TE波，这种模式的电磁波在传播方向没有电场分量，但是有磁场分量，即,这三种模式情况下得到的场极化的简化，很容易就能求出各个场量，但是实际
3、上的很多应用场合，单独一种模式不能满足所有的边界条件，但它们的线性组合总能满足这些特殊要求，并且提供一个完整的普遍的解，这时的波称为混合波。,6.2 矩形波导中的导行电磁波,1、矩形波导（如图6.1） 矩形波导由良导体制成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁上镀上一层高电导率的金或银，为了简化分析，一般把波导的良导电体壁近似为理想导体壁矩形波导中只能存在TM波或TE波，不可能存在TEM波。,2、矩形波导中的TM波,式中：,（6.2.1）,（6.2.2）,（6.2.3）,（6.2.4）,波导中传输的TM波有如下特性：,（1） m、n为整数，m=1,2,3,n=1,2,3,。m和n取值不
4、同，TM波的场结构模式不同。 （2） TM波的场结构模式可以用TMmn表示。不同模式的场，即不同的m和n的取值，有两个方面不同： 一是横截面的场分布不同，二是传播的相位系数不同。 （3） 由于m和n不能取零，所以矩形波导中TM00、TM0n、TMn0波形不能存在，TM波中最简单的波形是TM11。矩形波导中TM11和TM21的场结构如图6.2所示。（“”为电力线，“”为磁力线）,3. 矩形波导中的TE波,式中：,（6.2.5）,（6.2.6）,（6.2.7）,（6.2.8）,由式(6.2.5)(6.2.8)可以看出：,（1） m和n取值不同，TE波的场结构模式也不相同。为了保证Hx、Hy、Hz、
5、Ex、Ey这5个场量不全为零，m和n不能同时为零。 （2） TE波的场结构模式可以用TEmn表示，不同模式的场也有横截面上的场分布和传播的相位常数两个方面的不同。 （3） 由于m和n不能同时为零，所以矩形波导中TE00波型不能存在，TE波最低模式是TE10。矩形波导中TE10、TE11、TE21、TE02的场结构如图6.3所示。（“”为电力线，“”为磁力线）,4.截止频率和截止长度,不同模式的电磁波，其截止频率fc或截止波长c是不相同的。几个低阶模的截止波长：,5. 相速、群速和波阻抗,（1） 相速vpTE波或TM波：TEM波：由此可见,TE波或TM波的相速与TEM波的相速并不相同。,式中：,
6、（6.2.9）,（6.2.10）,（2） 群速vg（调幅波包络的运动速度，也就是能量的传播速度）,TE波或TM波：,TEM波：,（6.2.11）,（6.2.12）,TE波或TM波与TEM波的群速也不相同。TE波或TM波的相速大于介质中的光速，而群速要小于介质中的光速。,（3） 波阻抗（波导电子波阻抗定义为相互垂直的横向电场分量与横向磁场分量之比）,TE波：,TM波：,式中：,（6.2.13）,（6.2.14）,TE波与TM波的波阻抗是不同的。,例6.1空气填充的矩形波导a=22.86mm,b=10.16mm，频率为f=14GHz的电磁波在该波导中有哪些模式是传导模？当该波导填充r=2、r=1的
7、介质后，在同一频率下，又有哪些模式是传导模?,6.3矩形波导中的TE10波,矩形波导单模传输时，传输的是TE10，因此TE10也称为矩形波导的主模或工作模。TE10作为矩形波导的工作模式，具有以下突出的优点： （1） 可以通过设计波导尺寸实现单模传输； （2） 具有最宽的工作频带； （3） 在同一截止波长下，传输TE10波所要求的a边尺寸最小，而且与b边无关，所以可节约材料。理论上，b边越小，越节省材料，但考虑到波导击穿和衰减增大等问题，波导较小时，b取0.4a0.5a； 波导较大时b取0.1a0.2a。波导尺寸已经标准系列化，可由微波工程手册查到； （4） 在给定频率下具有最小衰减。,（6.
8、3.1）,（6.3.2）,（6.3.3）,TE10模只有Ey、Hx、Hz三个场分量，这三个场分量均与坐标y无关，电磁场沿y轴方向无变化，呈现均匀分布。Ey、Hx、Hz的瞬时值表达式为:,TE10模电磁场结构立体图如图6.5所示。随时间t增加，TE10模的场结构以相速vp向+z方向运动,根据电磁场的边界条件，得到面电流密度的瞬时表达式：,绘出波导壁电流分布如图6.6所示 从TE10模面电流密度的瞬时表达式或波导壁电流分布还可以看出在宽边的中央位置（即y=0或y=b面上x=a/2），面电流密度Js只有z轴方向的分量。利用这个性质，可以在宽边沿中央位置切一很小的细缝，实现观测而对波导内场分布的影响可
9、以忽略。,例6.2 3种型号的空气填充的矩形波导，尺寸为 BJ-4058.20mm29.10mm BJ-10022.86mm10.16mm BJ-12019.05mm9.52mm分别求出其单模范围。,解：矩形波导单模工作时 c(TE20)c(TE10)，即a2a 所以其频率范围为c/2afc/a将以上3种型号波导尺寸代入得BJ-40：2.575.15GHzBJ-100：6.56213.12GHzBJ-120：7.8815.7GHz,6.4圆柱形波导的导行电磁波,圆柱形波导是横截面为圆形的空心金属波导管，其结构如图6.7所示，图中圆柱形波导的内半径为a。,（6.4.1）,（6.4.2）,（6.4
10、.3）,（6.4.4）,1. 圆波导中的TM波,TM波的场量为：,（6.4.5）,（6.4.6）,（6.4.7）,（6.4.8）,式中E0为常数，它的大小由激励源决定。,2. 圆波导中的TE波,（6.4.9）,（6.4.10）,（6.4.11）,（6.4.12）,3. 截止波长,不同m和n的电磁场结构是不同的，人们把圆波导中的电磁场用TEmn、TMmn来表示，其中m表示场量沿波导的圆周出现最大值的对数，n表示场量沿波导的半径出现的最大值的个数。截止波长即为传播常数=0时的波长，不同模式的截止波长是不相同的。下面分别求出。,（1） TM模的截止波长,umn的前几个值由表6.1给出,（6.4.13
11、）,（6.4.14）,（2） TE模的截止波长,Umn的前几个值由表6.2给出,（6.4.15）,（6.4.16）,按照以上方法可分别求出几种低阶模的截止波长c：TE01： 1.64aTE11： 3.41aTE21： 2.06aTM01： 2.62aTM11： 1.64aTM21： 1.22a把这些截止波长c按其大小排列，如图6.9所示。,从图6.9可以清楚看到，c(TE11)最长，所以TE11是圆波导主模。在c(TE11)时，所有模式都处于截止状态； 当c(TE11)c(TM01)时，只有TE11一种模式传输，所以圆波导的单模传输条件为2.62a3.41a,4. 简并现象,圆波导中的导行波存
12、在着简并现象，即不同模式的电磁场具有相同的截止波长、相同的传输特性的现象，分为E-H简并和极化简并。 （1） E-H简并 从图6.9可以看出，TE01和TM11的截止波长是相同的，从贝塞尔函数可以证明TE0n和TM1n模简并。 （2） 极化简并 从前面推导出来的公式可以任何一个场量都包含cosm和sinm两个线性无关的互相正交的独立成分。但这两种独立成分却有相同的截止波长、传输特性和完全相同的场结构。所以它们是互相简并的，称为极化简并。 圆波导中的TE11模也存在极化简并，这对于长距离传输电磁信号是不利的，因为圆波导由于机械加工等原因，会出现不圆度，将使极化简并模破坏。,6.5光导纤维问题,光
13、纤是圆柱状介质波导，石英光纤中光的波长通常在0.81.8m的红外光范围内，光纤的模式理论是电磁场与电磁波的重要应用之一。图6.10光纤的结构光纤的结构如图6.10所示，是由纤芯和包层组成。纤芯的半径为a，折射率一般用n1表示，包层的半径为b，折射率为n2，这里没有画出涂覆层及护套。 光纤的种类繁多，按折射率分布可分为阶跃型光纤和渐变型光纤。所谓阶跃型光纤是纤芯的折射率n1为常数，不随半径发生变化； 而渐变型光纤是纤芯的折射率随半径发生变化，即n1=n1(r)。,1. 阶跃光纤的电磁场解,（6.5.1）,（6.5.2）,（6.5.3）,（6.5.4）,（6.5.5）,（6.5.6）,（6.5.7
14、）,（6.5.8）,特征方程：,（6.5.9）,2. 导波模式,（1） 光导纤维不存在TEM模 （2） 存在TE0n和TM0n （3） 存在HEmn和EHmn,3. 归一化截止频率Vc,由U和W可以引入归一化频率V,定义为V2=U2+W2 （6.9.10）导波截止时的归一化频率称为归一化截止频率Vc。VVc 称为导波条件。下面分别来求各种模式的归一化截止频率Vc。,式中：,所以：,式中：,（6.9.11）,（1） TE0n和TM0n,取m=0，截止时W0，则Vc=Uc=u0n式中u01=2.405 u02=5.520 u03=8.654即Vc(TE01)=Vc(TM01)=2.405,Vc(T
15、E02)=Vc(TM02)=5.520,Vc(TE03)=Vc(TM03)=8.654,（2） EH模Vc=Uc=umn （3） HE模m=1时，Vc(HE11)=0,Vc(HE1n)=u1,n-1m2时，Vc=Uc=um-2,n把以上讨论总结为表6.3。表中标量模是标量近似法得出的，因为具有线性偏振性，又称线性偏振模,从表6.3可以得出光纤中单模的传输条件为0V2.405 传输的单模为HE11(写成标量模为LP01),6.6同轴线问题,同轴线是双导体结构的导波装置，其结构如图6.11所示。 图6.11同轴线结构同轴线传输电磁波的主模式是TEM波，可以工作在很宽的频率范围，工作频率可以从0Hz
16、到几十GHz，是一种宽频带的导波装置。,1. 主模TEM波的性质,特性阻抗Z0为：设z=0处，内外导体之间的电压为U0，则,（6.1.2）,（6.1.1）,（6.1.3）,2. 同轴线的单模条件,截止波长的近似表达式c(TMmn)2/n(b-a)(n=1,2,) （6.1.4）c(TEmn)/m(a+b)(m=1,2,) （6.1.5） 所以高阶模中第一高阶模为TM11，其截止波长为c(TM11)=(a+b) （6.1.6） 为了保证同轴线中只传输TEM波，而不传输TM11波，工作波长与同轴线尺寸应满足c(TM11)(a+b) （6.1.7）(6.1.7)式称为同轴线的单模条件。,3. 同轴线
17、的尺寸选择,（1） 导体损耗最小（2） 最大功率容量,（6.1.8）,导体损耗最小时，,则，b/a3.59 （6.1.9）,（6.1.10）,Pbr取最大最大值时，,则，b/a=1.65 （6.1.11）,6.7传输线问题,平行双线传输线如图6.12所示,1. 平行双线传输线传播的TEM波,平行双线传输线用来传播TEM波，其电场和磁场的分布和静态场相似，场的分布如图6.13所示。 图6.13中实线为电力线，起始于一条导线，终止于另一条导线； 虚线为磁力线，是围绕着载流导线的闭合曲线。,2. 传输线方程,传输线传输高频信号时会出现以下分布参数效应： （1） 电流流过导线使导线发热，表明导线存在分
18、布电阻，设单位长度传输线的电阻为R0，单位为/m； （2） 导线之间的绝缘不完善而存在漏电流，因而导线间有分布漏导，设单位长度传输线的电导为G0，单位为S/m； （3） 导线之间有电压，因而就有电场，导线上有电荷，所以导线间存在分布电容，设单位长度传输线的电容为C0，单位为F/m； （4） 由于导线上有电流，因而导线周围存在着磁场，所以导线存在着分布电感，设单位长度传输线的电感为L0，单位为H/m。,式中：,（6.7.1）,3. 传输线上波的传输特性参数,（1） 特性阻抗对于无损耗传输线： （2） 传播常数对于无损传输线：,（6.7.2）,（6.7.3）,（6.7.4）,（3） 输入阻抗,（a
19、）短路情况，即ZL=0，时Zin=Zcthz （6.7.6） 对于无损传输线，Zin=jZctanz （6.7.7） （b）开路情况，即ZL=，时Zin=Zccthz （6.7.8） 对于无损传输线，Zin=-jZccotz （6.7.9）,（6.7.5）,4. 利用短截线可以实现电感、电容和阻抗变换,（1） 电感器的实现（2） 电容器的实现（3） /4阻抗变换器,（6.7.10）,（6.7.11）,（6.7.12）,例6.3长度为15cm(小于/4)的低损耗传输线，测得其开路（ZL）时的输入阻抗Zin0=-j54.6(),短路（ZL=0）时的输入阻抗为Zins=j103()。试求：（1） 特
20、性阻抗Zc；(2) 传播系数。,6.8谐振腔问题,谐振腔是空腔谐振器的简称，它是微波系统中的一个最基本的元件，在微波电路中起着电磁波的能量和选择电磁波频率的作用。 （1） 谐振波长0（谐振腔的谐振波长0是指在空腔谐振器中工作模式的电磁场发生谐振时的波长）谐振腔发生谐振的频率称为谐振频率f0：f0=v/0 （2） 固有品质因数Q0（表征谐振腔的频率选择性和谐振器能量损耗的参数称为品质因数）Q=0W/PL,1. 矩形空腔谐振器,矩形空腔谐振器如图6.16所示，它是由一个横截面尺寸为ab的矩形波导，在长度为d的两端用金属导体封闭而成。,谐振波长0谐振频率f0对于TE波，其模式可表示为TEmnp，谐振
21、频率f0mnp和谐振波长0mnp与TM波有相同的表达式，因此为简并模。,（6.8.1）,（6.8.2）,谐振腔在电路中具体应用时，要和外电路耦合。谐振腔和外电路的耦合方式有电耦合和磁耦合两种。电耦合一般可采用在谐振腔中电场较大处的壁上开一个小孔，插进一探针，从而使电场在探针上感应电流来实现，如图6.17所示。磁耦合一般可采用在谐振腔中磁场较大处开一个小孔来实现； 或通过小孔也插入一个导线环，从而使磁场在小导线环上感应电流来实现，如图6.18所示。,例6.4 边长为3cm的正方形谐振腔，内部充满空气，求谐振于TE101、TM011、TE102、TM11模式的谐振频率。,例6.5如图6.16所示的
22、矩形谐振腔，对于TE101模式，求： （1） 谐振频率f0101； (2) 场的表达式； （3） 谐振腔存储的电场能量和磁场能量。,2. 圆柱形空腔谐振器,圆柱形空腔谐振器如图6.19所示，它是一段长度为d、半径为a的圆形波导，两端用金属封闭而成。,对于TM波，谐振频率f0为对于TE模谐振频率f0为,（6.8.3）,（6.8.4）,（1） TE111谐振模（2） TM010谐振模（3） TE011谐振模,（6.8.5）,（6.8.6）,（6.8.7）,例6.6 直径d=2a的铜制TE011模式的圆柱形空腔谐振器，腔内填充空气，谐振频率为5GHz，求谐振腔的尺寸。,解：由式(6.8.7)可知：,
