等腰三角形的存在性问题.doc

1、等腰三角形的存在性问题解题策略如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC ，BABC ，CACB 三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验例题精讲1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 在坐标为(3，4) ，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标解析因为 D（3，4） ，所以 OD5， 3cos5DOP如图 1，当 PDPO 时

2、，作 PEOD 于 E在 Rt OPE 中， ， ，所以 此时点 P 的坐标为 3cosOP22625(,0)6如图 2，当 OPOD5 时，点 P 的坐标为(5 ，0)如图 3，当 DODP 时，点 D 在 OP 的垂直平分线上，此时点 P 的坐标为(6 ，0)2如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点 A 出发，沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 个单位/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，当 P、 Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动在 P、 Q 两点移动过程中，当 PQC 为等腰三角形时，求 t 的值解析在 Rt A

3、BC 中， .因此 .108622BCA4cos5ACB在PQC 中，CQt，CP102t.如图 1，当 时， ，解得 (秒). CPQ102tt103t如图 2，当 时，过点 Q 作 QMAC 于 M，则 CM .152PCt在 Rt QMC 中， ，解得 (秒).45cosCtM9t如图 3，当 时，过点 P 作 PNBC 于 N，则 CN .P 12Qt在 Rt PNC 中， ，解得 (秒).142cos50tCN80t综上所述，当 t 为 时，PQC 为等腰三角形. 秒秒 、秒 、 8923103如图，直线 y2x 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 是 x 轴正半

4、轴上的一个动点，直线 PQ 与直线 AB 垂直，交 y 轴于点 Q，如果APQ 是等腰三角形，求点 P 的坐标解析由 y2x 2 得，A(1，0)，B(0 ，2)所以 OA1，OB2如图，由AOBQOP 得，OPOQOB OA21设点 Q 的坐标为(0，m)，那么点 P 的坐标为(2m ，0)因此 AP2(2 m1) 2，AQ 2 m21，PQ 2m 2(2m )25m 2当 APAQ 时，AP 2AQ 2，解方程(2 m1) 2m 21，得 或 所以符合条件的点 P 不存在043当 PAPQ 时，PA 2PQ 2，解方程(2 m1) 25m 2，得 所以 5(25,0)P当 QAQP 时，Q

5、A 2QP 2，解方程 m215m 2，得 所以 1,)4如图，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解析 （1）如图，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 Rt OBC 中， BOC30 ，OB4，所以 BC2， 3O所以点 B 的坐标为 (2,3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax( x4)

6、，代入点 B ， 解得 (,)(6)a36a所以抛物线的解析式为 234yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 3当 P 在 时，B、O、P 三点共线(2,)当 BPBO 4 时，BP 216所以 解得 224()16y123y当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得 3综合、，点 P 的坐标为 (,)5如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P(0,m )是线段 OC 上一动点（C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D

7、（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）当APD 是等腰三角形时，求 m 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图2） 当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过的路长（不必写解答过程） 图 1 图 2解析 （1）因为 PC/DB，所以 因此 PMDM ，CP BD 2m所以 AD4m 于CPMBD是得到点 D 的坐标为(2，4m) （2）在APD 中， ， ， 22()A24Am222()4()PDM当 APAD 时， 解得 （如图 1） 43当 PAPD 时，

8、解得 （如图 2）或 （不合题意，舍去） 24m2()43m4当 DADP 时， 解得 （如图 3）或 （不合题意，舍去） () m综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为 ， 或 24另解第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图 1，当 APAD 时，AM 垂直平分 PD，那么PCMMBA所以 因此 ， 2PCMBA12PC3m如图 2，当 PAPD 时，P 在 AD 的垂直平分线上所以 DA2PO因此 解得 443（3）点 H 所经过的路径长为 思路是这样的：5如图 4，在 Rt OHM 中，斜边 OM 为定值，因此以 OM 为直径的G 经过点 H，也就

9、是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 5，P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，COH45，CGH906如图，在矩形 ABCD 中，ABm （m 是大于 0 的常数） ，BC 8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合）连结 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE=x，BFy（1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？2y解析(1)因为EDC 与FEB 都是DEC 的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以 DCEEBF因此 ，

10、即 DCEBF8mxy整理，得 y 关于 x 的函数关系为 218yxm(2)如图 1，当 m8 时， 因此当 x4 时，y 取得最大值为 222(4)8(3) 若 ，那么 整理，得 解得 x2 或 x62yx810x要使DEF 为等腰三角形，只存在 EDEF 的情况 因为DCEEBF ，所以 CEBF，即 xy 将 xy 2 代入 ，得 m6（如图 2） ； 将 xy 6 代入 ，得 m2（如图 3） 1 1y第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 37如图，在ABC 中，AB AC 10，BC 16，DE 4动线段 DE（端点 D 从点 B 开始）沿 BC 以每秒 1 个单位长度

11、的速度向点 C 运动，当端点 E 到达点 C 时运动停止过点 E 作 EF/AC 交 AB 于点 F（当点 E 与点 C重合时，EF 与 CA 重合） ，联结 DF，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）直接写出用含 t 的代数式表示线段 BE、EF 的长；（2）在这个运动过程中，DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由；（3）设 M、N 分别是 DF、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积解析 （1） ， 4BEt5(4)8Ft（2）DEF 中，DEF C 是确定的如图 1，当 DEDF 时， ，即 解得 DEAB5(4)8106t1562t如图 2，

12、当 EDEF 时， 解得 54()8t2t如图 3，当 FDFE 时， ，即 解得 ，即 D 与 B 重合FECDB(4)106tt第 7 题图 1 第 7 题图 2 第 7 题图 3（3）MN 是FDE 的中位线，MN/DE，MN2，MN 扫过的形状是平行四边形如图 4，运动结束，N 在 AC 的中点，N 到 BC 的距离为 3；如图 5，运动开始，D 与 B 重合，M 到 BC 的距离为 4所以平行四边形的高为 ，面积为 39492第 7 题图 4 第 7 题图 58如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB3，BC ，直线 y32经过点 C，交

13、 y 轴于点 G32x（1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ） ，D（ ） ；（2）求顶点在直线 y 上且经过点 C、D 的抛物线的解析式；32x（3）将（2）中的抛物线沿直线 y 平移，平移后的抛物线交 y 轴于点 F，顶点x为点 E（顶点在 y 轴右侧） 平移后是否存在这样的抛物线，使EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 解析 （1） ， (4,23)C(1,)D（2）顶点 E 在 AB 的垂直平分线上，横坐标为 ，代入直线 y ，得 5232x2y设抛物线的解析式为 ，代入点 ，可得 253()yax(4,3)Ca所以物线的解析式为 （3）由顶点

14、E 在直线 y 上， 可知点 G 的坐标为 ，直线与 y 轴正半轴的夹角为 30， 32x(0,23)即EGF30设点 E 的坐标为 ，那么 EG2m ，平移后的抛物线为 所以点 F 的(,3)m 2()3yxm坐标为 2(0,如图 1，当 GEGF 时，y Fy GGE2m，所以 23解得 m0 或 m0 时顶点 E 在 y 轴上，不符合题意32此时抛物线的解析式为 22373()yx如图 2，当 EFEG 时，FG ，所以 解得 m0 或 E23m32此时抛物线的解析式为 23()yx当顶点 E 在 y 轴右侧时，FEG 为钝角，因此不存在 FEFG 的情况第 8 题图 1 第 8 题图

15、29如图，已知ABC 中，ABAC 6，BC 8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，ADEB设 BD 的长为 x，CE 的长为 y（1）当 D 为 BC 的中点时，求 CE 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）如果ADE 为等腰三角形，求 x 的值备用图 备用图解析 （1）当 D 为 BC 的中点时，ADBC，DEAC，CE 83（2）如图 1，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12又因为 ABAC ，所以CB所以DCEABD因此 ，即 CEAD86xy整理，得 x 的取值范围是 0x821463y（3）如图 1，当 DADE 时，DCEABD因此 DCAB，8x6解得 x2如图 2，当 ADAE 时，D 与 B 重合，E 与 C 重合，此时 x0如图 3，当 EAED 时，DAEADEBC，所以DACABC因此 解得86x72x第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3