1、恒成立题型及解题方法一 一次函数型：给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。二次函数型1、由二次函数的性质求参数的取值范围例、若关于 x的不等式 20ax在 R上恒成立,求实数 a的取值范围.2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例 1、已知二次函数满足 (0)1f，而且 (1)(2fxfx，请解决下列问题（1）求二次函数的解析式。（2）若 ()2fxm在区间 ,上恒成立 ，求
2、 m的取值范围。例 2、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。三.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例、已知当 x R 时，不等式 a+cos2x5-4sinx+ 恒成立，求实数 a 的取值范围。45anmo xynmo xy四.根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数 f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的 x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x)恒成立若函数 y=
3、f(x)的周期为 T，则对一切定义域中的 x,f(x)=f(x+T)恒成立。例、若 f(x)=sin(x+ )+cos(x- )为偶函数，求 的值。五.直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 1、当 x (1,2)时，不等式(x-1) 2logax 恒成立，求 a 的取值范围。例 2、已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范围。训练题组1、在 ABC 中，已知 恒成立， 2|)(|,2cos)4(s
4、in)(2 mBfBBf 且求实数 m 的范围。2、若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，则1)(22yx 0cnc 的取值范围是（ ）A、 B、 1c 12cC、 D、23、设 其中 ，如果 时， 恒有意义，求 的4()lg,3xafR(.1)x()fxa取值范围。4、 设函数是定义在 上的增函数，如果不等式 对于任(,)2(1)()faxfa意 恒成立，求实数 的取值范围。0,1xa5、 已知当 x R 时，不等式 a+cos2x5-4sinx 恒成立，求实数 a 的取值范围。6、已知不等式： 对一切大于 1 的自然32)1(21.21aLognn数 n 恒成立，求实数 a
5、 的范围。7、设 , ,若恒有 成立,求实数 的取xxf4)(2axg134)( )(xgfa值范围.8、已知向量 =(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数 f(x) 在区间 (1，1)上是增函数，求 t 的abab取值范围。9、设函数 2()1xfea（）若 ，求 的单调区间；（）若当 0 时 0，求 的取值范围2a()f x()fa10、已知函数 .1()lnafxx()R()当 时，讨论 的单调性；（）设 当 时，若对12a()f 2(4.gxb1a任意 ，存在 ，使 ，求实数 取值范围.1(0,)x21,12()f11、已知函数 。 （I）讨论函数 的单调性；（II）设1ln)1
6、(2axxf )(xf.如果对任意 ， ，求 的取值范围。1a,0,2212|()|4|ffa12、设函数3211fxxmxR，其中 0m（1）当 时，求曲线yf在点 ,f处的切线的斜率（2）求函数 fx的单调区间与极值（3 ）已知函数 x有三个互不相同的零点 120,x，且 12，若对任意的12,1ff恒成立，求 m的取值范围13、设函数 。 （）求函数 的单调区间； 1()(01)lnfxx且 ()fx（）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围。12a,a14、已知实数 ，且满足以下条件：、 ， 有解；、Rxax|sin|， ；求实数 的取值范围43,x01sini2x课后作业1、 已知
7、时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,1x240xxaa2、 若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,2x23x3、 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。)1(2xm2m4、 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。21x2x6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。23log0ax1,3xa7、已知函数 的值域为 R，则实数 的取值范围是 。4()lg5)xfmm8、已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。4,0(,4)(2xaxf 0)(xf a9、已知函数 的值域 ，函数 ，()fx0,(2,)x()1,2,gxa使得 成立，则实数 的取值范围是 。10
8、2,x01(gf10、对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a 024)(2axax函数 上为增函数，则实数 m 的取值范围是 .1,)3(log2在mxy11、若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_.3()lnfxaxya12、若函数 的定义域为 R，则 的取值范围是 。2()1xafa13、在 R 上定义运算 ：x yx(1 y)若不等式(xa) (xa)1 对任意实数 x 成立，则 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 231a312a14、设函数432()()fxaxbR，其中 ,b若对于任意的 2， ，不等式 1在 ， 上恒成立，求 的取值范围部分答案
9、：训练 9、解：（） 时， ，12a21()xfe。当 时 ;当 时，()xxxfee,()fx1,0;当 时， 。故 在 ， 单调增加，在（-0,()0f()fx10,1， 0）单调减少。（） 。令 ，则 。若 ，则当()1)afxx()1ag()xgea1时， ， 为减函数，而 ，从而当 x0 时 0，即,(g0()g0.()fx若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，从而当a0,lna()gx()()时 0，即 0. 综合得 的取值范围为0,lnx()gxfa,1训练 10：解析：() ，1l(0)xx22l1( ()aafxx令 )(0)h（1）当 时， ，当 ,函数 单调0a1hx(0
10、,1),()0xhfx()fx递减；当 ，函数 单调递增.(1,),()ff(2)当 时，由 ，即 ，解得 .0fx2ax12,1xa当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；2a12()h()0f()f当 时， ， 时 ，函数 单调递减；0a(,1x,hx()fx时， ，函数 单调递增；(,)x()0,)xf()f时， ，函数 单调递减.1(hxx当 时 ，当 ,函数 单调递减；0a,1)0,()hf()fx当 ，函数 单调递增.(1,)0,(xxfx综上所述：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；)(,(1,)当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 在 单调递减；12a2x()0h()0fx
11、()fx0,)当 时，函数 在 单调递减， 单调递增， 单调递减.0fx,11,a1a（）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意4()，1(,2)x有 ，-ff又已知存在 ，使 ，所以 ， ， （）21,x12()fxg21()gx1,又 2()4,gb当 时， 与（）矛盾；min()50xb当 时， 也与（）矛盾；1,22i1g当 时， .bmin 17()()84,8x11：解：（） 的定义域为（0，+）. .f21()aaxfx当 时， 0，故 在（0 ，+）单调增加；a()fx()fx当 时， 0，故 在（0 ，+）单调减少；1当-1 0 时，令 =0，解
12、得 .a()fx12a则当 时， 0； 时， 0.1(,)2x()f(,)x()fx故 在 单调增加，在 单调减少.()f0,)a1(,)2a（）不妨假设 ，而 -1，由（）知在（0，+）单调减少，从而12x， 等价于,(,)1212()4fxfx， 120x2()令 ，则()4gfx)agx等价于 在（0，+ ）单调减少，即 .()gx1240ax从而22 241)4()1xa故 a 的取值范围为（-，-2. 12： 【答案 】 （1 ）1（2） )(xf在 ),m和 ),(内减函数，在 )1,(m内增函数。函数 )(f在 处取得极大值 )1(f，且 )1(f= 3223函数 )(xf在 m
13、1处取得极小值 )(mf，且 )(f=123【解析】解：当)(,2,31)( /2 fxfxf 故时 ，所以曲线 ） ）（，在 点 （)(fxfy处的切线斜率为 1.（2 ）解： 12 m，令 0)(xf，得到 mx1,因为 m1,0所 以当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：m1)1,(m),1(m)(xf+ 0 - 0 +f极小值 极大值)(xf在 )1,m和 ),(内减函数，在 )1,(m内增函数。函数 )(f在 处取得极大值 )1(f，且 )(f= 31223函数 )(xf在 m1处取得极小值 )(f，且 )(f=2（3 ）解：由题设， )(3131)( 2122 xxmxxf
14、 所以方程13122mx=0 由两个相异的实根 21,x，故 321，且0)(42，解得)(m，舍因为123,21221 xxx故所 以若0)(3)(, 2121 f则，而 0)(1xf，不合题意若 ,21x则对任意的 ,21x有 ,21则0)(3)(21f又 )(1f，所以函数 )(xf在 ,21x的最小值为 0，于是对任意的 ,21x， )(ff恒成立的充要条件是03mf,解得 3m综上，m 的取值范围是),21(13、 (1) 若 则 列表如下ln),xf(0,fx1e1)e(,)(1,)()fx+ 0 - -单调增 极大值 1()fe单调减 单调减(2)在 两边取对数, 得 ,由于 所以 (1)12ax1ln2lax0,1ln2lax由(1)的结果可知 ,当 时, , ()1()fe为使(1)式对所有 成立, 当且仅当 ,即01xln2al
