1、第一章 三角函数一、基本概念（1 ）任意角正角：按逆时针方向旋转的角负角：按顺时针方向旋转的角零角：不做任何旋转形成的角（2）任意角的大小角度制设角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，若 ，则终边x03在其上的角的集合为 Zk,3600终边在 轴上的角的集合为x18,终边在 轴上的角的集合为y09,kk终边在坐标轴上的角的集合为 ,与角 终边相同的角的集合为360,kk弧度制弧度制是角度的另一种表示方法. 概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做 1 弧度的角.单位： . rad有概念可得：角度制和弧度制单位换算： ，则80rad1设 是半径是 的圆，弧长为 所对应的圆心角.
2、 则rlrl角度制和弧度制单位换算，则180rad常见的角度制和弧度制的转化：（4）象限角（任意角的归类）设角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，x则称 为第几象限角第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918,第三象限角的集合为 3601836027,kkk第四象限角的集合为 27,2、 三角函数（1 ） 求三角函数值设 是任意角，它的终边与圆心在原点的圆交于点 ，那么yxP,角度0345609123501827360弧度6432462、 、2sinyx2cosyxxytan 特例：若原始单位圆，则 、 、sicost 终点在 轴的角的
3、正切值不存在y 、 （）1cossin22cosinta 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即、 、sin2sinkcos2coktantank其中 z 三角函数在各象限的符号：（2）三角函数图像与性质1） 正弦函数图像图像来源描点法（略）平移、拉伸sincostan第一象限 + + +第二象限 + - -第三象限 - - +第四象限 - + -A、 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸sinyx长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；1sinyx再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的sinyx
4、倍（横坐标不变） ，得到函数 的图象AsinyxAB、 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不sinyx 1变） ，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左sixsinyx（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数i的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐sinyx A标不变） ，得到函数 的图象sinyxA图像性质函数 的性质：sin0,yxA、.振幅： ；B、周期： ；C、.频率： ；D、相位：212f；xE、初相： F、函数 ， 、 为相邻的取得函数最大值0,coswAxy1x2与函数最小值的自变量的取值，则 ，maxin2y212xx诱导公式
5、A、 ：函数 图像周期性Zkxxsin2sinxsinB、 ：函数 图像在任意相距 的两个自变量所对应的iii函数值互为相反数C、 ：函数 图像关于原点对称，或者函数 图像在sinsixsi xsin互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数D、 ：函数 图像关于 对称sinsixsi22）余弦函数余弦函数图像来源（略）描点法（五点法）平移旋转图像性质函数 的性质：0,coswAxyA、.振幅： ；B、周期： ；C、.频率： ；D、相位：212f；xE、初相： F、函数 ， 、 为相邻的取得函数最大值0,coswAxy1x2与函数最小值的自变量的取值，则 ，maxin2y212xx诱导公
6、式A、 ：函数 图像周期性Zkxxcos2cosxcosB、 ：函数 图像在任意相距 的 两个自变量所对应的函数值相反C、 ：函数 图像关于 轴对称，或函数 图像在互cossxcsyxcos为相反数的两个自变量所对应的函数值相等D、 ：函数 图像关于 对称coscosxcs0,23）正切函数诱导公式A、 ：函数 图像周期性ZkxxtantanxtanB、 ：函数 图像关于原点对称，或函数 图像在ttt xtan互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数C、 ：函数 图像关于 对称tantanxta0,24）正弦函数与余弦函数关系：诱导公式A、函数 是由 向左平移而来的，即xcosin x
7、cos2sinB、 函数 与 的图像关于 对称xcs2sinoxsi4x5） 三角函数表格：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xk值域 1,1,R最值当时，2xk；当ma1y2xk时， min1y当 时， 2xk；当max1y时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上,2kk是增函数；在 ,上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2xk称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴（3 ）三角函数的诱导公式， ， 1sin2sinkco2cosktan2tan
8、kk， ， iistt， ， 3sinsicotanta， ， 4iiscosttn， ， 5sinco2in26icos2cossin小结： 图像中 的作用是压缩或者伸长，影响的是周期、单调区间； 的作用是平移，w影响的是奇偶性； 的作用是纵向拉伸，影响的是最值、值域。A 一般地，函数 的图像，可以看成是由下面的方法得0.sinwAxy到的：先画出 的图像；再把正弦曲线向左（右）平移 个单位长度，得到函数i 的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数xysin 1的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，这时的曲线就是函w A数 的图像。xAysi 平移拉伸而来，但是用此
9、方法画inxysin由图wxysi像较繁琐. 方法是“五点（画图法） ”！原因就是说任何 的图像都可以由wxAysin平移，压缩，拉伸而来的，所以说 的一个周期中的五个点对应到xysin xsi的五个点也是一个周期， 注定单调性也是一致的wA0w 是振幅， 是相位， 是初相，周期 ，频率xT221wTf第 2 章 平面向量一、基本概念向量：既有大小，又有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量二、向量的运算（1）向量的加法三角形法则的
10、特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab当 a，b 不共线时， 当 a，b 同向时， ba当 a，b 反向时， 运算性质： A、交换律： abB、结合律： cbcC、 0aa坐标运算：设 ， ，则1,xy2,bxy12,abxy（2） 向量的减法：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量转化成加法注：baBA坐标运算：设 ， ，1,xy2,bxy则 12,abxy（3） 向量的数乘： 、 、 aa、 、 bbaa当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向0a0a相 反；当 时，0向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 .设
11、0abab，1,xy，其中 ，则当且仅当 时，向量 、2,b0b1210xya0b共线坐标运算：设 ，则,axy,axy（4） 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量1e2，a有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这1212ae1e2一平面内所有向量的一组基底）（5） 分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当12121,xy2,时，点 的坐标是12 1212,时 ，就 为 中 点 公 式 ）（6） 平面向量的数量积： cos0,180abab零向量与任一向量的数量积为 性质：设 和 都是非零向量，则ab0a
12、b设 与 同向时， 、 或2aa设 与 反向时，abab当且仅当 、 是共线向量时满足等号成立运算律： 、 、abababcabc夹 角是 ,cos2222 夹 角是 babababa ,22坐标运算：设两个非零向量 ， ，则1,xy2,xy12xy设 ，则 ，或 ,axy2a2a设 ， ，则1,axy2,bxy120abxy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，b1,a2,ab则 122cosxyab第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ；coscsosincoscossin ；iniciinici tanta1ttata1tan 、tatannttantan
13、ta（7） cosi2sisi 2cossin2i（8） inini ii2、 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sinicos 222 )cos(incosincossini1 2222coinc1i升幂公式2sinco1,2sco1 cos1ta2降幂公式 ，2sit22tant1三、4、 合一变形（）（1 ） xbaxbaxba cossincossin 222sicosi2xbain2abt（2 ） xbxbaxba cossicossin 222scosin2xbac2bat2tan1 cos;2tan1 sin: 2万 能 公 式 例 1、 （课本例题， ）已知 ，求 、 的值19P5
14、3sincostan目的：已知某角的正切、正弦、余弦三者之一，快速求其余两个解析一：因为 ，且 ，所以 是第三或第四象限053sin1sin由于 得：coi222516sinco2若 是第三象限角，则 ，54s435cosita若 是第四象限角，则 ， 54cos435cosinta解析二：联立方程组 即是cosinta1i22cos53tan1cs22则可得： 、 或 、54s3tan44t思路：此题若是一道选择题，用方法一、方法二太繁琐!方法：我们先判断 是第三或第四象限若 是第三象限角，则 、 . 我们心里可以假设一个0costan直角三角形，假设一个角是 ，因为 . 所以 的对边是 3
15、，53si斜边是 5. 有勾股定理可得邻边是 4，故 、 ，然4cotan后判断符号即可得到 、 或 、5cos43tan5cos43tan例 2、 （课本练习 、证明 ）20P2目的：快速应用 、 进行恒等变形1cossin2cosinta（1） 222244 cosin1iicosin 2222244 sicosincosini （2） 2icosi1xx（3） 、 、sintan 1tancosixxx 22csii1ii1si（4） xx2222222 cos1inosinsicoinitanx22taicsin例 3、 （课本例题 、 ） （ 1）证明：26P7 xcos3i（2）化
16、简 xxx29sinsi3sinco12si 目的：灵活应用三角函数的诱导公式（1）解析 第一步，利用 图像上任意相差 的两个自变量所对应的函数xysin值互为相反数，即是 第二步，利用xx2sin23sinxysin关于 对称得 ，故xycos4xcos2sinx23sin 第一步，利用 图像上任意相差 的两个自变量所对应的函xysin数值互为相反数，即是 第二步，利用xx2sin23sinxysin图像是由 图像平移而来的，故 第三步 xycosxcos2sin的图像关于 轴对称故 故xycsyxcsosxcos3i（2）解析： xini2inxcoscosxsinin2xxx sin2c
17、os23cos1cos xxx sinisinsin3si siiiixxco2sin29sin思考：奇变偶不变，符号看象限！小结：（1）对于此类型题，我们的方法一般式：周期性、半周期、函数平移或奇偶性（2）思考：奇变偶不变，符号看象限（理解记忆！）例 4、 （课本探究 ）你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图像变31P形得到余弦函数的图像吗？目的：用正余弦函数图像来解释诱导公式 的含义，一变我xxcos2sin们能灵活应用公式！解析： 告诉我们：正弦函数 的自变量取值比余弦xxcos2sinxysin函数 自变量取值大 时，函数值相等，即是：正弦函数是由y2余弦函数向右平移而
18、来的小结：思考其他诱导公式的含义！例 5、 （课本思考 ）你能否从函数图像变换的角度，利用函数 的图3P 2,0sinxy像来得到 的图像？同样的，能否从函数2,0sin1xy2,0cosxy的图像得到函数 的图像？2,0cosxy目的：函数的平移、对称、旋转解析： 图像是由 的图像向上平移 1 个单2,0sin1xy 2,0sinxy位长度而来的，理由：相等的自变量取值， 的函数值总2,0sin1xy比的函数值大 12,0sinxy函数 的图像是由函数 的图像关于,co 2,0cosxy轴对称而来的，理由：相等的自变量取值， 的函数值x ,与的函数值互为相反数2,0cosxy思考：如何求函数
19、平移、对称、旋转（特例关于原点对称） ，比如说：已知函数是奇函数，且已知 时的函数表达式，求 时的函数表达式？0x0x例 6、 （课本思考 ）求下列函数的周期： 、 、35PRy,cos3Rxy,2sin，并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些Rxy,621sin量有关目的：利用周期函数的概念（或函数平移旋转对称）求三角函数的周期解析一： ，设周期是 ，则Rxy,621sink621sinkx，整理得 ，则可知six si621sinxx，即：原函数的周期是4k4解析二： 图像是由函数 先向右平移 得到Rxy,621sin Rxy,sin6函数 的图像，然后由 的图像水xy,sixy,si
20、平拉伸 2 倍得到函数 的图像，最后将函数Rxy,621sin的图像竖直拉伸 2 倍得到 ， Rxy,621sin 621sinxy图像Rx已知 的周期是 ，因为 是由函数xy,sin2Rxy,6sin平移而来的，所以说周期仍是 ；R,i 2xy,621sin的图像是由 水平拉伸 2 倍而来，故周期增大为Rxy,6sin； 是由 图421T621sinxyRRxy,6sin像纵向拉伸，胡周期不变，综合上述可知： 的周21sixy期是 即： 周期为 ，既可以推广421TwxAysinwT到如果函数 的周期是 ，那么函数 的周期是 xfyTxfyT例 7、 （课本例题 ）求函数 的单调递增区间39
21、P2,321sinx目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法”解析一：令 ，函数 的单调增区间是321xzzysink2,由 ，解得：kzk2 xk43435当且仅当 时 ，满足定义域02,35xx取值范围，故函数 的单调递增区间是：2,321sinxy35xx解析二：利用“五点作图法” （描点法）画图，由函数图像进行单调性判断：x 38532347310故函数 的单调递增区间是：2,321sinxy35x例 8、 （课本例题 ）利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小：39P（1） （2）10sin8si与 417cos53cos与目的：用函数单调性比大小解析：利用
22、三角函数的单调性比较同名三角函数的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后比较大小例 9、 （课本例题 ）求函数 的定义域、周期和单调区间4P32tanxy目的：求正切函数的定义域、周期、单调区间解析：正切函数与正、余弦函数的区别：（1）正切函数定义域不是全体实数，而正、余弦函数的定义域是全体实数（2）正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间！而正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间y 0 -1 0 1 0 -1 0（3）正切函数的周期为 ，正、余弦函数的周期为wTwT2理由：函数 周期是 ，函数 、 周期均是xytanxysinxcos2小结：（1）三角函数周期
23、两种求法：三角函数概念；公式法（2）三角函数单调性的两种求法：复合函数求单调性；五点作图法（描点法）例 10、 （课本习题 A10， ）已知函数 是以 2 为最小正周期的周期函数，且46Pxf2,0x时， ，求 、 的值21xf3f27目的：利用周期函数的性质，由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式解析：略方法：仿照下面此题方法一致，多思考！（课本必修一习题 1.3， ）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，39PxfR0x，画出函数 的图像，求出函数解析式xf1f解析一：因为函数 是定义在 上的奇函数，所以函数在 的图像上的坐标fR0x点关于原点对称后的坐标点满足 我们可以设 图像上
24、的 xf1坐标点为 ，则关于原点对称后的点的坐标为 ，因为xf, xf,满足 ，可得：f, xf1，xxf21即： 2xf此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于 与 的一个等式，通过xf化简即可得到 xf解析二：找规律 11ff 22ff313ff 44ff. .若 ，则0aaaff 1若 ，则x 2xxfxf 例 11、 （课本习题 B3， ）已知函数 的图像如图所示，试回答下列问题47Pxf（1）求函数的周期（2）画出函数 的图像1xfy（3）你能写出函数 的解析式f目的：函数的平移解析：（1）周期： 2（2） 函数图像是由 向左平移一个单位长度而来的1xfyxfy（3） 时，f时，1x
25、2xf，534f时，12nxznxf,2例 12、 （课本练习 ，3）函数 的振幅、周期和频率各是多少？它的56P4si3y图像与正弦曲线有什么关系？目的：知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得，并能利用平移拉伸（压缩）来画函数的图像解析： 是由 先向右平移 ，然后横坐标变为原来的421sin3xyxysin42 倍，纵坐标缩短为原来的 倍32或 是由 先横坐标变为原来的 2 倍，然后向右41sin3xyxysin平移 ，最后纵坐标缩短为原来的 倍232小结： 图像形成的两种方法，先平移后压缩；或者先压缩后平421sin3xy移，两种方法，但是一种思路例 1、 （课本探究 ）数的
26、加法满足交换律和结合律，即对于任意 ,有82P Rbaab，任意 、 的加法是否也满足交换律和结合律？请cbaab画图进行探索目的：向量加法交换律和结合律的理解！解析：由向量加法的三角形法则可知： 、DCABACBD即是： 、abcba例 2、 （课本探究 ）向量是否有减法？如何理解向量减法？我们知道，减去一个数等于85P加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？目的：向量减法和加法的灵活转化解析：baAE例 3、 （课本探究 ）已知非零向量 ，作出 和 ，你能说明它87Paa们的几何含义吗？（课本思考 ）你能解释上述运算律的几何意义吗？8目的：理解向量数乘的几何含义解析： 、 、 a
27、aa， 上述四个纯粹是很好理解，解析略、baba理解：此两个先画图，利用相似即可理解当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方 0a0a向相反；当 时，0a理解： 的正负代表方向，大小代表向量长度伸长或压缩例 4、 （课本例题 ）如图所示，已知任意两个非零向量 ，试做 、89Pba,baOA、baOB2，你能判断 、 、 三点的位置关系吗？为什么？baC3ABC目的：利用向量判断三点是否在一条直线上解析：假设 、 、 三点在一条直线上，必定满足ABBCAbaO2BC3存在 ，此时A1例 5、 （课本例题 ）如图所示，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 、89P a
28、AB，你能用 表示 吗？bADa, DMCBA,目的：利用平面内两个非零向量表示平面内其它向量（向量间的关系） ，特例：若这两个向量长度均为 1，夹角为 ，即是平面直角坐标系90解析：利用向量的加减法baADBCAM2122ba1自行求解MDB,例 6、 （课本思考 ）已知 、 你能得出 、 、 的坐标96P1,yxa2,yxbbaa吗目的：理解向量的坐标表示解析：设 是与 轴、 轴相同的两个单位向量，故 、ji,xyjyixa11,，故jib22,212121 ,jyixba212121 ,yjyixa 、jiji11例 7、 （课本思考 ）已知 、 ，其中 ，我们知道， 向98P1,yxa2,yxb0bba,量共线，则存在实数 ，使 .那么如何用坐标表示两个共线向量？a目的：用坐标表示两个共线向量解析一： 、 ，由 可得：jyixa11,jyixb22,ba，即是jyijijyix221 21消去 后得： 0121x也就是说，当且仅当 时，向量 （ ）共线121yba,0解析二：
