1、MATLAB第五讲 MATLAB的符号计算功能,一、符号表达式和符号矩阵的创建 1、 符号变量的赋值 2、符号常量 3、符号矩阵的创建 4、符号方程的创建 5、将数字矩阵转化为符号矩阵 6、符号表达式的升幂 7、符号表达式的合并 8、变量代换 二、符号函数的微积分 1、求导数 2、求积分 3、 求泰勒级数taylortool(f),三、求符号方程的精确解和近似解 1、求解单个符号方程 2 、对代数方程组求解 四、符号矩阵的基本运算 1、加、减、乘 2、求逆运算 3、求符号矩阵的除法 4、求矩阵的特征值和特征向量 5、求符号矩阵的行列式 6、求符号矩阵的约当矩阵 7、求符号矩阵的奇异值 五、符号
2、函数画图六、求符号函数的零点七、求微分方程的解,一、入门 Symbolic工具包,MATLAB有一个符号计算工具包叫作Symbolic Math Toolbox 其中有60多个专用函数。包括微积分、线性代数、方程求解、多项式的简约与展开、特殊数学函数等。 sym的指令在C:MATLAB6p1toolboxsymbolic，如果在搜索路境中没有设定则要添加。,符号表达式和符号矩阵的创建,符号表达式是数字、函数、变量的MATLAB字符串，或字符串数组。 符号运算是指使用已知的规则和给定的符号恆等式求解符号方程。 生成符号表达式用引号或sym函数 例, M=a,b;c,d ? Undefined f
3、unction or variable a. M=sym(a,b;c,d) M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d,1、符号变量的赋值 f1=sin(x)2；f2=exp(-x2/2)；f3=1/(1+x2)； f1 =sin(x)2 f2 =exp(-x2/2) f3 =1/(1+x2),符号常量,没有变量的符号表达式叫作符号常量, a2=3 a2 = 3 a2+1 ans =52 a2是一个符号常量，它是用ASCII码来存储的，3的ASCII码是51因此a2+1得到的是52而不是4,（1）sym命令 M1=sym(sin(x),cos(x);-cos(x),sin(x)
4、M1 = sin(x), cos(x) -cos(x), sin(x) （2）直接输入法 M2=1+x+x2,sin(x); cos(x), x2 M2 =1+x+x2,sin(x) cos(x), x2 ,2、符号矩阵的创建,3、符号方程的创建, EQF=a*x2+b*x+c=0 EQF =a*x2+b*x+c=0, M=2/3,sqrt(3)/3,0.333;2.5,1/0.7,log(3) M =0.6667 0.5774 0.33302.5000 1.4286 1.0986 fuhaoM=sym(M) fuhaoM = 2/3, sqrt(1/3), 333/1000 5/2, 10/
5、7 , 4947709893870346*2(-52),4、将数字矩阵转化为符号矩阵,5、isstr( )用来检测变量是否符号变量,例, a2=3 a2 =3 isstr(a2) ans =1, a3=3 a3 =3 isstr(a3) ans =0,用引号定义的a2是符号变量,用普通的赋值定义的变量不是符号变量,6、符号表达式的升幂, f=2*x2+3*x-5; sympow(f,3) ans =(2*x2+3*x-5)3,7、符号表达式的合并, f1=sin(x); f2=sin(2*x); f3=symop(f1,/,f2,+,3)f3 =sin(x)/sin(2*x)+3,8、变量代换
6、, f1=1/(1+x2); f2=sin(x); subs(f1,s,x) ans =1/(1+(s)2) subs(f2,alpha,x)ans =sin(alpha),例1计算符号函数的导数 f=sin(x)2 %定义函数的符号表达式 f = sin(x)2 diff(f) ans = 2*sin(x)*cos(x) diff(f,2)ans = 2*cos(x)2-2*sin(x)2,二、符号函数的微积分1、求导 diff(f), f=sin(x)2 ； int(f,x) ans =-1/2*sin(x)*cos(x)+1/2*x int(1/(1+x2) ans = atan(x),
7、2、符号函数求积分 inf(f),例 f=sin(x)2; taylortool(f),3、求泰勒级数taylortool(f),在框中可以交互作用，给出所需的阶数，立即返回表达式和图形。,几个常用命令 Solve(方程）%求精确解 vpa(S,n) %求n位有效数字的近似解 numeric(S) %将不含自由自变量的近似解转化为数值解 digits(n) % 设定近似解的有效位数subs(S,Dsym,Fsym) %将数值Fsym带入自变量Dsym,三、求符号方程的精确解和近似解, R1=solve(x2-x-1=0) R1 = 1/2*5(1/2)+1/2 1/2-1/2*5(1/2) R
8、V=vpa(R1) RV = 1.6180339887498948482045868343657 -.61803398874989484820458683436570 RV4=vpa(R1,4) RV4 = 1.618 -.6180,例 对符号方程求解, RV30=vpa(R1,16) RV30 = 1.618033988749895 -.6180339887498950 numeric(R1) ans =1.6180-0.6180,1、求解单个符号方程, solve(a*x2+b*x+c=0)%默认对缺省变量x求解ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(
9、-b-(b2-4*a*c)(1/2) solve(a*x2+b*x+c,b)%对b求解ans =-(a*x2+c)/x,2、对代数方程组求解, equ1=d+(n+p)/2=q; equ2=p=n+d+q-10; equ3=q+d=p+n/4; equ4=q+p=n+8*d-1; r1,r2,r3,r3=solve(equ1,equ2,equ3,equ4,p,n,d,q)r1 = 3r2 =8r3 =15r3 =15,1、 加、减、乘symadd(A,B) %符号加symsub(A,B） %符号减symmul(A,B) %符号乘,四、符号矩阵的基本运算,例 format compact A=s
10、ym(a11,a12;a21,a22) B=sym(b11,b12;b21,b22),C=symadd(A,B) C = a11+b11, a12+b12 a21+b21, a22+b22 D=symsub(A,B) D = a11-b11, a12-b12 a21-b21, a22-b22, E=symmul(A,B) E = a11*b11+a12*b21, a11*b12+a12*b22 a21*b11+a22*b21, a21*b12+a22*b22,例 求二阶符号矩阵的逆 M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d inv(M) ans = d/(a*d-b*c), -
11、b/(a*d-b*c) -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c),2、求逆运算,3、求符号矩阵的除法, symdiv(A,B) ans = -1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12), (-b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21) -1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21), (-b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21),4、求矩阵的特征值和特征向量, V,a=eigensys(A) V = -(1/2*a22-1/2*a11-1/2*(a222 -2
12、*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21, -(1/2*a22-1/2*a11+1/2*(a222-2*a11*a22+a112+4*a12*a21)(1/2)/a21 1, 1 a =1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2), 0 0,1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2),5、求符号矩阵的行列式,例 A=sym(a11,a12;a21,a22)%定义符号矩阵 A = a11, a12 a21, a22 detA=dete
13、rm(A) detA =a11*a22-a12*a21, f=sym(1/2,1/4;1/4,1/2)f = 1/2, 1/4 1/4, 1/2 V,J=jordan(f)V = 1/2, 1/2 -1/2, 1/2 J = 1/4, 0 0, 3/4,6、求符号矩阵的约当矩阵 inv(V)AV,7、求符号矩阵的奇异值, M=sym(magic(3) %构造3阶魔方阵M = 8, 1, 6 3, 5, 7 4, 9, 2 singvals(M) %求奇异值ans = 15 2*3(1/2) 4*3(1/2),fplot(function,a,b) %画出函数f(x)在a,b上的图形 例 画出函
14、数在0，8上的图形 f=2*exp(-x)*sin(x); %定义函数 fplot(f,0,8),五、符号函数画图,fzero(fun,a,b, ,options) 在求零点之前先要确定一个根的隔离区间，也就是说，a,b区间内有且仅有函数的一个零点，这里采用的是对分法求零点。 fzero(fun,x0) %用牛顿法求零点。 例 求函数的零点 fx=x3-x+1; a=fzero(fx,-1),六、求符号函数的零点,七、求微分方程的解, dsolve(Dy=1+y2) %求通解 ans =tan(t+C1), dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)%求特解ans =tan(t+1/4*pi
15、),求二阶微分方程的解, y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0)y =C1*exp(3*t)+C2*exp(-t) y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=0,y(1)=1)y =1/(exp(3)-exp(-1)*exp(3*t)-1/(exp(3)-exp(-1)*exp(-t) y=simple(y) %化简表达式y =(exp(3*t)-exp(-t)/(exp(3)-exp(-1), ezplot(y,-6,2),画出二阶微分方程的解的图形,求微分方程组的解, f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g)f =exp(3*t)*(cos(4*t)*C1+sin(4*t)*C2)g =-exp(3*t)*(sin(4*t)*C1-cos(4*t)*C2),练习 1、求下列符号函数的零点（1）（2）建议先画出函数的图形，观察根的范围。 2、求微分方程的符号解（1）（2）（3）,
