1、1不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴)例 1 求 的值域6a)(2xxf解答：配方法： 4a62a222 xf所以值域为 ，4a62例 2 求 在 上的值域)(2xxf 1，解答：函数图像法： 42316)(2 xf画出函数的图像可知， 在 时取到最小值 ，而在)(2xf 2时取到最大值 8，可得值域为 。1x 843，例 3 求 在 上的值域6a)(2xxf 1，解答：由函数的图像可知，函数的最值跟 a 的取值有关，所以进行分类讨论： 当 时，对称轴在 的左侧，所以根据图像可知，a， , 此时值域为 .a7)1(maxff 7)1(minff a7， 当
2、 时，对称轴在 与 y 轴之间，所以根据图像可知，02x， ,此时值域为 .a7)1(maxff 4a6)2(2minff a7462， 当 时，对称轴在 y 轴与 之间，所以根据图像可知，201x， ,a7)1(maxff 4a6)2(2minff所以此时值域为 462，2 当 时，对称轴在 的右侧，所以根据图像可知，a21x，7)1(maxff a7)(minff所以此时的值域为 a，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例 4 求 的值域62log)(2xxf解答：复合形式用换元：令 ，则由例 1 可知，t ,5t根据单调性，可求出 的值域为2l,5log2例 5 求 的值域64)(
3、1xxf解答：因为 ，所以，采用换元法，令 ，则2 xt,0t则原函数变为 ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为t 6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数) 法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合 (解析几何法：求斜率 );(4) 判别式法（定义域无限制为 R）;例 6 求函数 的值域132)xf解法一：分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为 ，由反比例函数的性质可知，值域为1xt tt2,2,解法二：反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则 ，得到 ，可知13)(xfy 32xy23yx2y
4、例 7 求函数 在 的值域2)(f10，解法一：分离变量之后采用函数图像法。令 ， ，原函数变为1xt2,t3，可以画出 的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为tt12t1235，解法二：反函数法。将 代入 中，求解 不等式，23yx10， 1230y可以得到值域范围 。25，例 8 求函数 的值域13)(xf解法一：分离变量法，令 ，原函数变为t 12tt由均值不等式可知当 ，当 ，可以得到原函数21,0tt 1,0tt的值域为 ,31,解法二：判别式法。令 ，则 ，13)(2xfy 32xyx整理得关于 的一元二次方程 ，满足方程有解，该x02y方程的判别式 可得 ,即函数的值0343y
5、 3y或域为 ,1,例 9 求函数 在 的值域1)(2xf 0，解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令 ， ，原函数变为 画对勾函数图像，1xt2,t 12tt可得 的值域范围是 ，则函数的值域为t 5， 273，4题型四：三角函数的值域求三角函数的值域方法：（1）二次换元配方；（2）三角函数有界性；（3）数形结合（单位圆求斜率） 。例：求函数 的值域2cos4sin3)(xxf解答：使用辅助角公式， ，可2sin52cos4in3)( xxf知函数的值域为 7，例 10 求函数 的值域cssi2)(2xxf解答：先化简，再转为一次三角函数后使
6、用辅助角公式， 42sin132cosin3co4sin23)(2 xxxf可知函数的值域为 1，例 11 求函数 的值域2cos4cs2)(xxf解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。 1cos4cs2cos41o4cs2)( 2 xxxf令 ，则原函数化为 ，则按前1,ott 1tt面的例题可得函数的值域为 ，3，例 12 求函数 值域xxf sin2cosin2)(xxxf cossin2co1cosin2)( 令 ，则原函数化为 ，同理，按2,tt 12t二次函数的值域求法，可得结果 。，注意：用 换元。2cossin12cossincosin 2xxx 题型五：绝对值
7、函数的值域：绝对值函数值域：（1 ）零点分类讨论法（ 2）数形结合：利用绝对值几何意义。例 13 求函数 的值域15)(xxf5解法一：零点分类讨论法。当 时， ；当 时，1x6)(xf5x；当 时， 。所以函数的值域为6)(xf5426，解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴， 分别表示 到-51x与 x与 1 的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为 6，例 14 求函数 的值域32)(2xxxf解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令 ，,1,2txt则原函数化为 ，则根据数轴法，可以得到函数的值域为3t 3，题型六：根式函数的值域根式函数的值域方法：（1）代数换元法；（2）三角换元法
8、；（3）解析几何法：距离、切距等。 （3）单调性法。例 15 求函数 的值域xxf1)(解法一：换元法，令 ，则原函数化为 ，根,0,tt 12t据二次函数值域的求法，可得原函数值域为 。,45例 16 求函数 的值域xxf1)(解法一、解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果 ,1解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域 ，代,入可得函数的值域 。,1例 17 求函数 的值域2)(xxf解法一：三角换元法，令 ，这样换元既可以保证换2,sin元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号， 4sin2cossincosisi1sin122 x6注意 ，画出三角函数图像
9、可得值域为 。2, 2,1例 18 求函数 的值域21)(xxf解法一：三角换元，类似于上一道题，令 ，这样可2,tan以得到 ， cosincstt12tan1222 xx化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为 ,3解法三：对勾换元法，利用 进行换元，令1221xx，则原函数化为 ，,0,21ttx ttt 213根据均值不等式可得值域 ,3题型七：对勾函数： 值域。by=ax+(0,x)的均值不等式法：转化成型如 = + (a0,b0)，利用均值不等式求值域注意：利用均值不等式求最值或求值域时要满足：一正 二定 三相等 当 时 2x-45例 2.x,求 y
10、=的 最 小 值 ；2+1解 ： 2Ax-21=当 仅 当 时 x-且 =2时即 3取 “”变 2式 ： 若 0,y的 最 大 值 .+1解 ： =x-当 仅 当 时且 x=即 取变 1式 2.求 fsin+.0, 的 值 域 .517，57变 1式 3.求 fx=-的 值 域 .0， +题型七：高次函数、超越复杂函数值域高次函数、超越复杂函数值域：求导法结合单调性。例 25： ，5432yx1,x例析求函数值域的方法常用的方法有：直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法（反函数） 、换元法、图象法、利用函数单调性等。（一）方法讲解1、求值域的常用方法 ;（1）观察法 ：从自变量 的范围
11、出发，推出 的取值范围x()yfx（2）单调性法 ：如果 在 上单调递增，则其值域为 ；如果()f,ab(),fab在 上单调递减，则其值域为 。如一次函数，形如()fx,ab(),fa的函数。0)y（3）换元法 ：形如 的函数，可令 ，则yaxbcd(0)cxdt，转化为关于 的二次函数求值域；形如含有 的结构的函数，可用三2tdxct 2a角换元，令 求解。如 ，可设 ，化为osat()1fxx1tx；又如 ，可设 化为21(0)yt2ycos(0)。 注意：换元必换限！sinc（4）反表示法 ：形如 ，可以把 关于 的函数化为 关于 的函数。(0)cxdyabyxxy如 ，可化为 ，由
12、，可求得 的范围；再如 ，可21xy21 1xe化为 ，利用 的有界性可求得 的范围。xexey（5）配方法： 试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。注意：配方、画图、截段！（6）判别式法： 如 ，其中 不全为 0。2112axbcy12,a8注意：用此方法求值域时函数的定义域一定要求为 ！R（7）不等式法： 利用函数 在 和 上单调递增，在(0)kyx,k,和 上单调递减来求解。,0k,k（8）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，再得值域；高次函数可用导数求值域。（9）几何意义法（数形结合法）：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。（二）方法运用。一、直接法：从自变量
13、的范围出发，推出 的取值范围。x()yfx例 1：求函数 的值域。1y解： ， ， 函数 的值域为 。0xx1yx,)二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。2()()Fxafbfc例 2：求函数 （ ）的值域。24yx1,x解： ， 2()6 ， ，1,x3,x2()9x ，23()55y函数 （ ）的值域为 。4yx1,x3,5三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 3：求函数 的值域。12xy解：由 解得 ，xxy ， ， 函数 的值域为 。20x10y112xy(1,)y四
14、、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 4：求函数 的值域。25xy9解： ，17(25)12255xyxx ， ， 函数 的值域为 。702yy1|2y五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此yaxbcdabcd0a法求。例 5：求函数 的值域。21x解：令 （ ） ，则 ，t0t21t 2215()4ytt当 ，即 时， ，无最小值。函数 的值域为138xmaxy21yx。5(,4六、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实
15、数根，判别式x(,)0Fxy，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数02112abcya2的值域，常用此方法求解。例 6：求函数 的值域。231xy解：由 变形得 ，2x2()()30xy当 时，此方程无解；1y当 时， ， ，xR2(1)4()30yy解得 ，又 ，3y函数 的值域为21x|13y七、函数的单调性法：10确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 7：求函数 的值域。12yx解：当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，x12x函数 在定义域 上是增函数。y(, ， 函数 的值域为 。11212yx1(,2练习：（1） ；（
16、2） ；45xy 34（3）设 是定义在 上的奇函数，且满足如下两个条件：)(xfR对于任意 ,有 ；当 时， ，且y, )()(yfxyf0x0)(xf.2)1(f求函数 在 上的最大值和最小值。xf3,八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 8：求函数 的值域。21yx解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可得R，2(1)()yx ， （ ， ） ， ，21yx1y0y1y函数 的值域为21xy|九、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例 9：求函数 的值域。|3|5|yx解： ，2|8x(3)5x 的图像如图所示，|3|5|yx 8 5-3 oy x11由图像知：函数 的值域为|3|5|yx8,)十、观察法例 10：求 的值域。21十二、求导法例 12：设 ，试求 在 上的最大值和最小值8563xxyy3,0
