1、莫雷三角形性质研究谭周兴，李明真（北京航空航天大学 数学与系统科学学院 北京 100083）摘要：莫雷在 1904年提出了优美的莫雷定理，而本篇文章介绍了与之相关莫雷三角形的一些性质的研究结果。包括莫雷定理、外角三平分线的莫雷定理、莫雷三角形一些性质分析的总结。关键词：莫雷定理；莫雷三角形；外角三等分引言“尺规三等分已知角”是著名的古典几何三大问题之一， 历经两千多年, 不少人经过无数次的尝试结果都失败了。直至 1837 年，万芝尔首先证明尺规三等分已知角是不可能的。正因为如此有的数学家认为：长期以来人们忽视了对三等分角的性质的研究。19 世纪末、20 世纪初是初等几何研究的复兴时期之一，这期
2、间数学工作者及爱好者曾提出一些十分漂亮的定理。其中有一条被誉为“最令人神往和惊讶”的著名定理，是由英国数学家FMorley 于 1904 年提出的下述定理：将任意三角形 ABC 的每个角三等分，设 PQR 为这些角的三等分线的交点，则PQR 是正三角形。这为我们提供了许多灵感，利用 geogebra 等画图软件可以对三角形的每种角进行三等分，综合各种情况，能够观察到许多令人惊讶的性质。如关于三角形外角的莫雷定理：将任意三角形 ABC 的每个角的外角三等分，设 PQR 为这些角的外角的相邻三等分线的交点，则PQR 是正三角形。如：三角形一内角与另两个外角的三等分线(或其反向延长线)两两相交所得的
3、三角形为等边三角形等优美的结论，下文着重介绍这些性质及其证明。、莫雷定理及其证明定理 1（莫雷定理）：将任意三角形 ABC 的每个角三等分，设 EDF 为这些角的三等分线的交点，则EDF 是正三角形。证明：设三角形三个角 ABC 分别为 3、3、3，AE：AC=sin：sin（+） ，AF：AB=sin：sin（+） ，AB：AC=sin3：sin3，AE:AF=（ACsin（+）/sin）：（ABsin（+）/sin） ，又有sin3：sin3=（sinsin(60+)sin(60-) ）：（sin sin(60+) sin(60-) ） ，AE：AF=sin(60+)：sin(60+)，在
4、AEF 中，AEF=60+，同理CED=60+，DEF=60，DEF 为正三角形.证毕.、外角形式的莫雷定理及其证明 1定理 2：三角形各外角的三等分线中（各有两个共六条） ，靠近每边的两条的交点构成正三角形。证明 1：设ABC 的 A= 3t，B= 3u，C= 3v，则 t+ u+ v= 60，CAE= u+v= 60-t，DBC= t+v= 60-u，ACE =BCD= t+u，DCE=ACE+ ACB+BCD=120+v，BDC= 180-DBC-BCD = 120- t 同理，CEA= 120- u在ABC 内作BGA，且使B AG= t， ABG= u，则BGA= 180- T- U
5、= 120+ V= DCE在BGA，ABC，DBC，CEA 中，由正弦定理，分别可得：BG：GA=sint：sinu，BC：CA=sin3t：sin3u，DC：BC=sin( 60-u)：sin( 120-t)，CE：CA=sin( 60- t)：sin( 120-u)所以 = = )( 60) ( 120)( 60) ( 120)3( 60) ( 120)3( 60) ( 120)= = .从而BGADCE，故CDE =GB A= u.同理可得BDF= v.所以FDE =BDC-BDF-CDE= 120-t-v-u= 60同理DEF=EFD= 60从而DEF 是正三角形. 证毕.、莫雷三角形
6、的一些性质1、三角形一个内角与另两个外角的三等分线(或其反向延长线)两两交所得的三角形为等边三角形。 2证明：设ABC 的三个角分别为 3a，3b，3c，三个外角对应为 3a，3b ，3c ， ABC 的外接圆半径为 R。sin3c=4sincsin(60+c)sin(a+b)，对称地有sin3b=4sinbsin(60+b)sin(a+c)sin3a=4sinasin(60+a)sin(b+c)则 BQ= = =8Rsinasincsin(60+c)ABsinasin(180a3b2b) 2Rsin(60ab)在CPB 中同理得：BP=8Rsincsinasin(60-a)又 cosQBP=
7、cosb=-cos(60+c+c)由余弦定理得 PQ=BP2+BQ2-2BPBQcosb=8Rsinasincsinb同理 PR=8Rsinasincsinb=PQ在ARQ 中，AR 和 AQ 可同理在三角形 ARC 和三角形 AQB 中用正弦定理得到运用余弦定理 RQ=AR2+AQ2-2ARAQcosa=8Rsinasincsinb= PQ=PR从而该三角形为正三角形.证毕.2、Morley 定理中得到的正三角形的一个顶点与相邻两个内角的三等分线与该三角形两边的交点组成一个正三角形。 23、设 PQR 为任意ABC 的莫雷三角形,点 P、Q、R 依次关于 BC、CA、AB 的对称点与该边上的
8、两个内角的不相邻的三等分线的交点的连线和该边相交于 X、Y、Z,则 AX、BY、CZ 三线共点。 3证明：在ABC 中, AQ 和 AR、BR 和 BP、CP 和 CQ 分别是 A、B、C 的三等分线. AQ 与 BP 相交于 F,BR 与 CQ 相交于 D, CP 与 AR 相交于 E.设 P 点关于直线 BC 的对称点为 G, 连结 DG 交 BC 于点 X , 再连结 BG、CG, 由对称性可知:PBX =XBG, PCX =XCG,DBG =B, DCG =C.在BDC 与CDG 中分别利用正弦定理有= , = 又BG =BP, CG =CP = 又 = = = 1/2 1/2 在BD
9、G 与BPC 中, 由正弦定理, 易得= , = , =2/32/3 /3/32/3/32/3/3整理可得 = , = =1.233233233233 由 Ceva 定理的逆定理知 4AX、BY、CZ 三线共点. 证毕.、总结几何学的历史,已长达两千多年,而这个三角形的平凡性质却如此姗姗来迟, 恐怕与尺规不可能三等分任意角的著名命题有关,它束缚了人们的头脑。类似于莫雷定理，三等分三角形的各种角能够得到许多类似的结论，一个三角形内外角的 12 条三等分线交成 5 个正三角形。 5这里仅仅介绍了其中几种情况。从证明可以看出，几何定理的证明需要灵感和技巧，不同方法的复杂程度有天壤之别。对于各类定理，
10、可以设计算法在计算机上实施，将抽象的灵感和技巧转换为具体复杂的计算，从而可以实现定理证明的机械化和自动化 6。从而上述的莫雷三角形的性质可以用一种统一的方法证明，还可能抓住这个问题的内涵所在。参考文献1 纪保存. 关于三角形外角三等分线的一个定理J. 数学通报, 2000, (1): 20-202 罗华明. Morley 定理及其推广的三角证明 N. 广西右江民族师专学报, 2001 年 6 月(1).3 李显权. 莫雷三角形的一个新性质J. 数学教学研究, 2005, (154): 32-334 徐道. Ceva 定理的推广J. 昭通师专学报, 1990, (1): 24-255 李汉丰.
11、莫莱定理及其推广J. 黄河学刊（自然科学版）, 1997, 11(4): 9-136 王东明、牟晨琪等. 多项式代数M. 北京:王东明, 2011. 293-302附：选择这个小问题来研究，是因为我在中学的时候也偶然发现过这一定理。当初在学习角平分线，在私底下试了试三等分线和四等分线，发现了这个正三角形，不过当时能力有限，没有能够证明这个问题。研究这个问题，我们用了 geogebra 这个画图软件画出的图形是动态的比较方便，可以对角三等分线、外角三等分线进行组合得出一些性质并尝试证明。其中大部分的性质都有参考文献对其有详细的证明过程，文章中第部分的第 1,2 条性质没有找到参考文献的证明，自己想了个证明，算是自己的主要贡献，而第 2 条性质证明类似于第 1 条性质的证明，故省略。经过商量谭周兴的贡献比为 60%,李明真为 40%。
