1、第七篇第一章统计理论基础1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。1解：假设我们考察的系统是 n mol 的理想气体，由于理想气体状态方程为：(1)(2)故定压膨胀系数：而等压压缩系数: 综上有理想气体（n mol）：2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数 ， ，其中 都是常数，试求此气体的状态方程。2解：根据题意：把体积 看成是 数并微分有：两边同时积分有： 由极限情况下： , 故： 得到： 3一弹性棒的热力学状态可用它的长度 L，应力描述 f 和温度 T 关系,即为其状态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：其中 为棒横截面积， 为线膨胀系数， 为杨氏模量
2、。3证明：杨氏模量的定义： 与类比线胀系数：对长度 积分有：证毕4对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程：，其中 是常数， 只是 的函数.证明：（a）(b) 状态方程：4证明：(a)由：（1）又由 ： （2）（2）式两边对 求导（T 一定时）：此式与 比较可知：f（P）=（因 与 T 无关 也与 P 无关）(b) 将 带入(1)式有：当 时， ,故5试给出半径为的维球体积：5证明：在半径为 1 的 维球区域内积分为：以另一种方式求上述积分有：由两式可知：证毕6利用附录给出的斯特林公式： 证明上题中的系数满足下式： 6证明：第一部分：只要将上题中解答过程的(3)式中的 换成 即得。
3、故关键是证明第二部分由于(1)由于：即有（1）式成立，故待证命题成立。证毕第二章统计热力学基础1单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能量比占据间隙点时高 。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数 。（a） 考虑有 个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵（b） 设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？（c） 若 ，晶体的温度时 300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量 ，则占据格点时能量 。现有 个原子占据间隙点故有 个占据格点。此宏观态对应的微观态数故熵：（b） 按（a）中晶体达到平衡总能量：根据：（d）
4、 由代入（b）式求得：2考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由 个长度为 链环沿着 轴，但可以重叠（如图），链条两个端点的距离为 ，系统是孤立的，链环各种方位有相同的能量，证明 时可以得到胡克定律。证明：我们从端点 开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“+”，指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为 ，所有指向左方的链环数为则总链环数为：且几何关系：两端链条间隔为 的这样一个宏观态（即一定 使 一定）对应的微观态数故熵故张力：当 时，即 时有张力近似地为：（ 为比例常数）此即为胡克定律。证毕。20证明下列平衡判据（a）在 不变情形下,平衡态的 最小.（b）在 不变情形下，平衡态的
5、最小。证明：（a）对于封闭系统，由热力学第一定律热力学第二定律当 都不变时表明 不变时，系统进行的方向是沿着 减小的方向，直到达到平衡时 最小.（b）热力学第一定律可以得到（ 是非膨胀功）当 不变时，即 且无非膨胀功 ，有：故系统沿着 减小方向进行，直到达到平衡时 最小。证毕.22在三相点附近，固，气二相的平衡曲线在 图上的斜率比液，气两相平衡曲线的斜率陡，试从物理上说明。答：由克劳修斯克拉拍龙方程:可以知道，再三相点时为一定，故平衡曲线的斜率主要起决于，其物理意义在于：以 相变到 相过程中，单位摩尔体积改变所吸收的潜热。所以固气二相的平衡曲线在 图上的斜率比液-气两相平衡曲线的斜率陡，说明从
6、固到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热大于从液到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热。物理实质在于：固相到液相，液相再到气相可以等价于固相到气相，故 而固到液的改变一般不大，故近似地显然这样得到解释。23(a)用自由能判据，而不是用自由焓判据证明麦克斯威等面积法则。（b）用热力学第二定律证明等面积法则。23证明：假设 段表示实际气体气液平衡相变过程，按照自由能判据, 由于：可知在 点与 点，有相同的温度，故：(1)对（1）式两遍从 求积分：(2)自由能是状态量，与积分过程无关。（2）式右边按 A O B 积分与按 A JO B 积分所得值完全相同。按照一重积分几何意义有：此即等面积法则。
7、（2）若按热力学第二定律：考虑在 A.B 两点 均为态函数的值，且 由（1）式：(2)将（2）是按两种不同方式积分(路径)积分，一种沿 A O B 一种 A J ON B证毕第三章统计系综1. 将 各近独立的频率 为的谐振子组成的系统，每个谐振子的能量为（a）求当系统的能量为 时的微观态数和熵（b）求当系统达到平衡时，此系统能量与温度的关系，并和7.3.2 中用正则分布所得的结果比较。解：(a) 假定 N 个独立的谐振子对应的量子数分别为 根据题意则系统的微观态数即相当于将 个东西分配到 个不相同（可以区别）的容器中的方法种数， 可等于 0 相当于容器可以是空的.故：由斯特劳林近似公式：考虑到
8、可近似的取：（1）（2）根据温度 T 定义:由（2）式所以总能量：与7.3.2 比较，由于这里是 个谐振子。故应该说此结果与用正则分布所得的结果完全一致2. 设有 个独立可识别粒子组成的系统每个离子有两个可能状态，一个能量为0 的状态，一个能量为 的状态，求系统的配分函数，内能和热容量，并证明当温度很高 时 ，当温度很低 时， 。解：根据题意，配分函数 满足可分解性，先求出单个可识别粒子的配分函数：故系统的配分函数：（1）可求系统的内能：系统的热容量由（3）式讨论极限温度下情况 当温度很高时。即 时；由（3）式当温度很低，即 时3.一块晶体包含 个原子，原子的自旋磁矩为 ，被置于均匀磁场 中，
9、这些原子可取三个取向：平行、垂直、和反平行磁场，求（a）晶体的配分函数（b）晶体的磁矩（c）高温弱场和低温强场的磁矩（d）求原子磁矩平行、反平行和垂直于外场几率，并由此求磁矩（不考虑磁矩间相互作用）解（a）将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数（b）从热力学方程可导出晶体磁矩：（c）高温弱场时，即 晶体磁矩 M 按（3）式子求极限当低温强场时 ，此时(d)设原子的磁矩平行、反平行和垂直于 的几率分别记为 .则故原子磁矩故:4绝对温度为的固体，每单位体积中有 个带负电荷杂质离子，这些离子代替了固体中的若干正常原子，整个固体呈中性。因为每个具有 的离子，在其邻近都有一个电荷为 正离子，正
10、离子小，因而能够自由的在晶体中移动，在无外场下，它以相等的几率位于静止的负离子周围等距离的位置上如果沿着方向，加 ，是求极化强度。即单体体积内沿着 方向的平均偶磁极矩？解：每种情况正离子在负离子周围形成电偶极矩大小解：电偶极子在 E 中能量可能值由此单个偶极子配分函数故所以极化强度6假定系统由 个相同的独立结点对组成（线性聚合体中可能有两种情况）每一结合对包括阿 A 结点和 B 结点，A,B 结点最多只能分别被一个分子战友。A 结点上吸附一个分子时，其能量 , B 结点上吸附一个分子时，其能量 . A,B 结点上都吸附一个分子时，还有相互作用能 ，不同结点对的分子间没有相互作用，求吸附率：解：
11、将每个结点看成是一个开放系统，现求子巨配分函数 ：（1）由（1）式可知个独立结点总巨配分函数：吸附平均粒子数：7固体表面由 个相同的近独立的结点组成，每个结点可吸附 个分子S=0.1.2. .m, 当结点吸附 S 个分子时，结点能量为： 用 分别代表吸附 0 个分子，1 个分子， 和 m 个分子的结点数，显然有：（1） N 为吸附的总分子数，求系统的配分函数，巨配分函数，巨吸附率，通过此题你对正则系统和巨正则函数的应用有何体会。10为了计算石墨的比热采取以下简化模型。石墨具有高度各向异性的晶格层。每个碳原子作三维简谐振动。在平行于层的方向回复力很大。因此在 x,y 方向（层的平面内）本征频率均
12、等于 ,很大。有 .另一方面，垂直于层的恢复里很小，因此在 方向本征频率 很小，有 .按此模型，石墨在 300K 的摩尔热容量是多少？解：设 1 石墨中含有 原子数 ,则由于相邻原子间有很强的相互作用，每个原子只能在格点（平衡位置）附近捉微振动，每个原子有三个自由度。在简谐近似下，可以简正坐标变换，使 个耦合线性谐振字转化成 个独立的线性谐振子，由题意知：个谐振子中有 个频率 . 个频率为总能量:系统总的配分函数:故石墨内能:根据热容量定义:第八篇 理想气体第一章 波尔兹曼气体1. 表面活性物质的分子在液面上二维面 由运动可看成一种二维的理想气体（a）试由 MB分布导出二维理想气体的分子速率分
13、布并求平均速率，最可几率和均方差速率（b）试计算二维理想气体的内能 U,熵 S，压强 P和热容量 sC， 的下标 s为二维理想气体的面积。解：按照二维 MB分布理想气体的质心在 ,rdp:范围内的分子数 (,)dNrp每个分子 2()purm内简并度 2drh内故有： 2222222()()2()2()()2()(,) 1purmrpurmrpurmpNedrdheedhNed内 内 内 内 内内 内内 内内 内内现在我们只考虑分子速率分布，故将（1）式两边同时对 2dr积分有2222()()()xyyxxypmxpmxyBNeddedkT进一步将 ,xypmv带入上式有 2()()2xyBm
14、pkTxyNdedv在球坐标系中将 xyv换成， d并在 0,范围内对 求积分220()BBmvkTvKNed（2）式即二维理想气体分子速率分布我们再求出分布函数 veTKmvfBB2)(A.求平均速率 v 2200 3122032()*()4()4BBmvdKTmvKTBBBfdeeB.最可几速率： pv令 mTKvfdvBp0)(C.方均根速率22032()1()2BmvKTBBvfdem（b）假设我们考虑的是单原子理想气体分子系统。则气体分子只有平动，其配分函数即平动配分函数，先在 空间中求每个分子配分函数 1Z222()12022() (1)xyxypmxy pL mBBZdehdeS
15、KTShh 故系统配分函数 12!()(2)!NNBZmKTSh 再求 lnl()ln!BZShN故压强 l (3)BBpKTNpSKT 内能 2ln(4)BBZUTNK 熵 (ln)22ln!(5)BBSKZUNmTSNh 热容量 () (6)ssBCK 以上（3） （4） （5） （6）即为要求热力学量。2.在容器中储存有 种惰性单原子气体组成的混合系统，系统的温度为 T。气体 1 有个 1N分子，气体 2 有 N个分子，气体 K有 kN个分子（a）通过计算系统的配分函数求系统的状态方程（b）系统的总压强于第 i种气体的分压 ip（即第 i种气体在相同温度下占有整个体积时的压强）的关系如何
16、？解：假定所有这 K种惰性单原子气体组成的系统是理想气体系统且服从MB分布，多种不同的气体之间是近独立的，非定域的(a) 故第 i种气体分子的配分函数 321()iiBmkTZVh总的配分函数: 132!()!i iNii NiBimkTVh所以我们有系统总的配分函数: 12123332 21() (1)!k kiNBNNZkTVhm : 由式（1）求 321221ln()ln()3l llBkkTZNVhmNm ！ ！ -！故有： 12ln1B kZpkTVNN 系统状态方程为： BpkT(b)第种 i气体压强 ln1iiBiZVNkT与 1BpkTNV 相比可知 iiipN4考虑一个质量为
17、 m固有频率为 的经典谐振子，试求它的配分函数和由N个这样的谐振子组成的系统的内能和定容热容量 VC解：一个质量为 ，固有频率为 的经典谐振子能量 22221()1xyzpEkrxyzm直接在 空间里求其配分函数： 22222222211()()131113111332233()()xyzx y zpkxyzmxyzpppmmxmyzBBZeeddhdeeedkThkT :故总共 N个这样谐振子组成的系统的配分函数 312()lnlNNBkTZh系统的内能： 2l13BBZUkTNk定容热容量： ()3VBUCTNk此结果恰恰使固体比热的经典模型的结论，它是量子解释在 21Bh情况下的近似5.
18、N个单原子分子组成的理想气体，每个分子的质量为 m。气体盛在长为 L的立方盒中，盒子的上下底与地面平行，重力加速度为 g。(a)每个分子的平均的动量是多少？(b)每个分子的平均的势能是多少？(c)气体平均的总动量是多少？(d)当 1mgl及1 时气体的热容量 Cv解：（a）按麦克斯威速率分布 dveTKmNvdmTKB2213)(4*)(可得分布函数: 232()/(*)4BmKTfvdvev每个分子得平均动能: 2203421*()43/BmvKTBEvfdedKT（b）同样由于粒子数按高度分布函数: ZTKmgBeZf)(可得每个分子平均势能是 020*().1()BBLmgZKTgLBm
19、gLEgfdedTe势(c)先求某一个分子得配分函数，由于 22xyzpZ22()/13 3220322)()(1xyzBBpmgZxyzgZLKTmgLKTBZedpdheh12lnl()lnln(1)BmgLKTmTZeg故气体总能量： 2122ln5()12BBBBmgLKTBmgLKTBUKTZNeTNe当 /1BmgLKT:1 时 521*32BmgLKTBUeN此时 BvvNKTuC)(当 1/TKmgLB时 5*02BUmgL这时按 vvTuC)(有气体得比热为： BNK25综上有两种不同极限下， 取值分别 BNK23,56二氧化碳是线性三原子分子，具有四种不同振动方式得特区温
20、BKhv/振分别是 3360K，1890K，954K 和 954K。试计算在 T =312K 时的热容量 VC，与实验值 3.53R 比较解：由 22()/(1)TVRe振 振振振对于特区温度 1360K振，对热容量贡献 23160312601 )/()(eRCv振同理 1890,54,9振时。分别对热容量的贡献为 2318903128902 )/()(eRCv振 954223134/vv振 振故有： 12343.4675vvvvvCCR振 振 振 振 振7极端相对论下粒子能量与动量关系 P。求由这种粒子组成的 MB理想气体的热容量及状态方程，并与非相对论下结果比较。解：我们假设粒子系统粒子数
21、 N 先求一个粒子数的配分函数 1Z31332348pcpcBdrZehedrhVKTh所以总配分函数 13/!8()NNBZVThc即 !ln8lnl3chKZB故 l1BPTZKNV状态方程： TpB内能 2ln*3/BUKZTN()vVBC由此可见；状态方程与非相对论情况下单粒子理想气体系统一样，但热容量却是非相对论情况下两倍10假设爱因斯坦晶体中每个原子只作一维振动，蒸汽为理想气体。（a）证明当爱因斯坦晶体与蒸汽达到平衡时，蒸汽的压强为 其中为晶体中一个谐振子的配分函数， 为蒸汽分子的配分函数。（b）设谐振子的能量为 每个原子结合在晶格格点上时，起能量比在蒸汽中低 ,求蒸汽压与温度的关系（c） 证明高温极限时 和低温极限 下，蒸汽压定律分别为(a)证明：(A)由于爱因斯坦晶体与蒸汽达到平衡。设晶体原数 ，蒸汽原子数由 有 再根据：（1）(B)以上是用正则系综做出的结果，下面用巨正则系综处首先： （2）下面的关键还是求证
