1、1.如图，已知等边ABC，P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边作等边APE,EC 延长线交 BP 于 M，连接 AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.2、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。图图5.已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE， BCDAE，且点 BD， ， 在一条直线上
2、，连接 BEDMN， ， ， 分别为 ， 的中点2P BACEMOOFEABA BNCMMCNFE（1）求证： BECD； ；ANM（2）在图的基础上，将 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 6.如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ CPQ 为等边三角形共有 2
3、 对全等三角形 CO 平分AOP CO 平分BCD恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） ABC EDOP QCENDABM图CAEMB DN图10.已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点 作 ，交 于点 ，在 的延长线上取点ABC ABDGBC AGD，使 ，连接 EDED，（1）求证： ；G （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样F FEF的三角形，试证明你的结论11、如图，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形 ，连结 ，试判断ABC AABDECFGE与 面积之间的关系，并说明理由 EG9 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在
4、AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） AGFCBDE（图）C G A E D B F ABC EDOP Q如图所示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，且 A、B、D 三点共线下列结论：AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=60 ，BFG 是等边三角形；FGAD 其中正确的有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个1、在 中， 2120AABC
5、， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (09)得 1 ， 交 于点 E， 1分别交ACB、于 DF、 两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1A与 FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF1 1ADBECF1 12. 如图所示， ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点A BCDEFE，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE3.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与
6、CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90EDF，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDF 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易
7、证DEA12CABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证和明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明EFS C ABCS1.已知 AC/BD,CAB 和DBA 的平分线 EA、EB 与 CD 相交于点 E.求证:AB=AC+BD.AEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2FDCBA2.等边ABC，D 为ABC 外一点，BDC=120，BD=DCMDN=60射线 DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DM=DN
8、时，直接写出 BM、NC、MN 之间的数量关系当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DMDN 时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M、N 在边 AB、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM、NC、MN 之间的数量关系3.如图 1，BD 是等腰 ABCRt的角平分线， 90=BAC.（1）求证 BC=AB+AD；（2）如图 2， BDAF于 F， BCE交延长线于 E，求证：BD=2CE；1、已知，如图 1，在四边形 ABCD 中， BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC。求证： BAD+ BCD=180。2、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于
9、E，AD+AB=2AE，则B 与ADC 互补.为什么？3、如图 4，在ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD 平分BAC.AB CDFE图 2DBEAC一一一4321PAB COED CBAAB CD4.如图，在ABC 中ABC,ACB 的外角平分线交 P.求证:AP 是BAC 的角平分线5、如图在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ADC ABC180 度，CEAD 于 E，猜想 AD、AE、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，6、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=ODEBAC图 2DP21D CBA7如图所示，已知
10、在AEC 中，E=9 0，AD 平分EAC ，DFAC，垂足为 F，DB=DC，求证：BE=CF8、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。9已知：如图，BFAC 于点 F，CE
11、AB 于点 E，且 BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点 D 在A 的平分线上10、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PCO PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图DA CBFEAECDFB11、 （2007 年成都）已知：如图，ABC 中，ABC =45，CDAB 于 D， BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证： BF=AC；(2)求证：CE= 12BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。12、 （2009 年赤峰
12、市）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接 AC、CF ，求证：CA 是DCF 的平分线。FD AC B1、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交90AEF正方形外角 的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EFDCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 ，MC 所以 AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点
13、” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3图 3MN KEDCBA图 2MN KDCBA图 1MKN CBA3.ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。4
14、.问题背景，如下命题： 如图 1,在正三角形 ABC 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正三角形外角 ACK 的平分线,若ANM=60,则 AN=NM 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角DCK 的平分线，若ANM=90，则AN=NM 如图 3,在正五边形 ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正五边形外角DCK 的平分线,若ANM=108,则AN=NM任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4,在正 （ 3）边形 ABCDEF中,N 为 BC 边上任一点 ,CM 为正 边形外角DCK 的平分线,问当ANMn
15、 n等于多少度时,结论 AN=NM 成立（不要求证明）. 如图 5,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,N 为 BC 延长线上一点,CM 为DCN 的平分线,若ANM=ABC,请问 AN=NM 是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立 ,请说明理由.图 5MNDCBA图 4N KF EDCBA5.（1）如图，已知在正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交CBE 的平分线于N试判定线段 MD 与 MN 的大小关系；（2）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是 AB 上或 AB 延长线上任意一点” ，其余条件不变试问（1）中
16、的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由6.如图，在ABC 中，A=90，D 是 AC 上的一点，BD=DC，P 是 BC 上的任一点，PEBD，PFAC ，E 、F 为垂足求证：PE+PF=AB1如图，已知ABC 中，AB=AC=6cm，B=C ，BC=4cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q
17、的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，则经过 后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）2.已知：在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE ，解答下列各题：如果 AB=AC，BAC=90（i）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图甲，线段 BD，CE 之间的位置关系为（ii ）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，
18、如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？3.（2012内江）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF 、CD
19、之间存在的数量关系1.在ABC 中，ADBC, BEAC, D、E 为垂足，AD 与 BE 交与点 H，BD=AD求证：BH=AC BEAD 2.（08 河北中考第 24 题）如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线 l 上，ACBC ，且 AC = BCEFP的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想 并 写 出 AB 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ；（2）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置时 ， EP 交 AC 于 点 Q， 连 结 AP
20、， BQ 猜想并 写 出 BQ 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-3 的 位 置 时 ， EP 的 延 长 线 交 AC 的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证 明 ；若 不 成 立 ， 请说明理由 图 14-1 （ E） （ F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C D CBAEH
21、3.（2006 年辽宁沈阳 25 题）.如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图 2，若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.4.如图 1，A、E、F、C 在同一条直线上，AE=CF，过
22、E、F 分别作 DEAC，BFAC，若 AB=CD，试说明 BD 平分 EF；若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时，其余条件不变，BD 是否还平分 EF，请说明理由。5.如图，ABC 中，ACB90 ，AC BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC交 CF 的延长线于 D求证：（1）AECD； （2）若 AC12 cm，求 BD 的长 6如图，两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起，DEA=ACB=90，DAE=ABC=30，E、A、C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 中点 M，连接
23、ME、MC，试判断EMC 的形状，并说明理由7.已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系8. 在 RtABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DG AC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC ，交直线 AB 于点 H求证：DG=DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1) 中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所
24、画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）BACEFQPDA DBCG EGHFED CBA30、如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且 AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF1.直线 CD 经过 BCA的顶点 C，CA=CBE 、 F 分别是直线 CD 上两点，且 BECFA（1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、 F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BA（填“ ”， “”或“ ”号） ；90,如图 2，若 18，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD
25、 经过 BCA的外部， C，请探究 EF、与 BE、 AF 三条线段的数量关系，并给予证明FE DCABABCEF D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 32.已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 3.操作：如图，ABC 是正三角形，BDC 是顶角BDC120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、 AC 边于 M、 N 两点，连接 MN探究：线段 BM、 MN、 NC 之间的关系，并加以证明4如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F
26、 在 BC 上，且DAE=FAE求证：AF=AD-CF5如图所示，已知ABC 中，AB=AC，D 是 CB 延长线上一点，ADB=60，E 是 AD 上一点，且 DE=DB，求证：AC=BE+BC6、在ABC 中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF旋转已知，如图，三角形 ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，F 是 AB 的中点，直线 l 经过点 C，分别过点 A、B 作 l 的垂线，即 ADCE，BECE，（1）如图 1，当 CE 位于点 F 的右侧时，求证：ADCCEB；（2）如图 2，当 CE 位于点 F 的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图 3，当 CE 在ABC 的外部
27、时，试猜想 ED、AD、BE 之间的数量关系，并证明你的猜想AB CDEFDAB CE考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析：（1）利用同角的余角相等得出CAD=BCE，进而根据 AAS 证明ADCCEB（2）根据 AAS 证明ADCCEB 后，得其对应边相等，进而得到 ED=BE-AD（3）根据 AAS 证明ADCCEB 后，得 DC=BE，AD=CE，又有 ED=CE+DC，进而得到 ED=AD+BE解答：（1）证明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等） 在ADC 与CEB 中ADC=CEB CA
28、D=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS） （2）证明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等） 在ADC 与CEB 中ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS） DC=BE，AD=CE又ED=CD-CE，ED=BE-AD（3）ED=AD+BE证明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等） 在ADC 与CEB 中ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS） DC=BE，AD=CE又ED=C
29、E+DC，ED=AD+BE点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握3.如图 1、图 2、图 3，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；
30、全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明DOBCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等在图 1 中，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD，AC=BD；（2）相等在图 2 中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角4.（2008 河南） （9 分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已
31、知在 ABC 中，AB=AC， P 是 ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ，使 QAP= BAC，连接 BQ、 CP，则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“ BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知QAP= BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同一个角） ，来证得QAB=PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ ，且已知
32、 AB=AC，即可由 SAS 证得ABQACP，进而得出 BQ=CP 的结论解答：证明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA 和CPA 中，AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS） ；BQ=CP（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下：QAP= BAC，QAP+ PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC；在QAB 和PAC 中，AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS） ，BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5.（2009 山西太原
33、）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和 DEF 且 ABC DEF 。 将这两张三角形胶片的顶点 B与顶点 E重合，把 DF 绕点 B顺时针方向旋转，这时 与 相交于点 O当 DEF 旋转至如图 位置，点 ()BE， CD， 在同一直线上时， AFD与 C的数量关系是 当 DEF 继续旋转至如图位置时， （1）中的结论还成立吗？AO 与 DO 存在怎样的数量关系？请说明理由点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角的性质，得AFD= D+ABC ，DCA=A+ABC，从而得出AFD=DCA；（2）成立由ABCDEF，可证明ABF=
34、DEC则ABFDEC，从而证出AFD=DCA；（3）BOAD由ABC DEF，可证得点 B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点 O 在 AD 的垂直平分线上，则直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即 BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等） （2）AFD= DCA（或成立） ，理由如下：方法一：由ABCDEF ，得 AB=DE，BC=EF（或 BF=EC） ，ABC=DEF，BAC= EDFABC-FBC= DEF-CBF，ABF=DEC在ABF 和 DEC 中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABF DEC ，BAF= EDCBAC-BAF=EDF-EDC ，FAC=CD
35、FAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD= DCA方法二：连接 AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得 FD=CA在AFD DCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFD DCA，AFD=DCA（3）如图，BOAD方法一：由ABCDEF ，点 B 与点 E 重合，得BAC=BDF ，BA=BD点 B 在 AD 的垂直平分线上，且BAD=BDAOAD=BAD-BAC ，ODA=BDA-BDF ，OAD=ODAOA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线，BOAD方法二：延长 BO 交 AD 于点 G，同方法一，OA=OD 在ABO
36、和DBO 中， AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG 和DBG 中， AB=DB ABG= DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.NMEFACBAFEDCBA 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB 使得 BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF 可得EAG=EAF，再求出EAG+E
37、AF=90即可解题解答：解：延长 EB 使得 BG=DF，在ABG 和ADF 中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS） ，DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS） ，EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF 的角度为 45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF 是解题的关键例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点
38、RtABC E,F。（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题： 计算题分析：（1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分ACB，CDAB，A=45， CD=DA，则BCD=45，CDA=90，由DMDN 得EDF=90，根据等角的余角相等得到CDE=ADF，根据全等三角形 的判定易得DCEADF，即可得到结论；（2）由DCEADF，则 SDCE=SADF，于是四边形 DECF 的面积=SACD，由而 AB=2 可得 CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得 S
39、ACD，从而得到四边形 DECF 的面积解答：解：（1）连 CD，如图，D 为等腰 RtABC 斜边 AB 的中点，CD 平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，EDF=90，CDE=ADF，在DCE 和ADF 中，DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形 DECF 的面积=SACD，而 AB=2， （图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMNCD=DA=1，四边形 DECF 的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋转的
40、性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质1、已知四边形 中， ， ， ， ， ， 绕 点旋转，ABCDABCDABC120 60MBN B它的两边分别交 （或它们的延长线）于 ， EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 MN EE当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明EF，2、 （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,
41、使 P、D 两点落在直线 AB2的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N， D 为 外一点，且 , ,BD=DC. ABC ABC60MN120BDC探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 LQ； （II ）
42、如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）由 DM=DN，MDN=60，可证得MDN 是等边三角形，又由ABC 是等边三角形，CD=BD，易证得 RtBDM RtCDN，然后由直角三角形的性质，即可求得 BM、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 QL =2 3 ；（2）在 CN 的延长线上截取 CM1=BM，连接 DM1
43、可证DBMDCM1，即可得 DM=DM1，易证得CDN=MDN=60，则可证得MDNM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在 CN 上截取 CM1=BM，连接 DM1，可证DBMDCM1，即可得 DM=DM1，然后证得CDN=MDN=60，易证得 MDNM1DN，则可得 NC-BM=MN解答：解：（1）如图 1， BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN此时 Q L =2 3 （2 分） 理由：DM=DN ，MDN=60 ，MDN 是等边三角形，ABC 是等边三角形，A=60，BD=CD，BDC=120，BDC=DCB=30，MBD=NCD=90，DM=DN
44、，BD=CD，RtBDMRtCDN，BDM=CDN=30，BM=CN，DM=2BM，DN=2CN，MN=2BM=2CN=BM+CN；AM=AN，AMN 是等边三角形，AB=AM+BM，AM ：AB=2 ：3，Q L =2 3 ；（2）猜想：结论仍然成立 （3 分） 证明：在 CN 的延长线上截取 CM1=BM，连接 DM1 （4 分）MBD=M1CD=90，BD=CD，DBM DCM1，DM=DM1，MBD=M1CD，M1C=BM，MDN=60， BDC=120 ，M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，AMN 的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+C
45、N+AN=AB+AC ，Q L =2 3 ；（3）证明：在 CN 上截取 CM1=BM，连接 DM1 （4 分）可证DBM DCM1，DM=DM1， （5 分）可证CDN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N， （7 分） NC-BM=MN （8 分） 点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法 例8 （2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶 点与点A 重合，两边分别与AB ，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向 旋转.（1）当三角尺的两边分别与 菱形的两边BC，CD相交于点E， F时， （如图131） ，
