1、“类比”的方法 今天我们来讲类比的方法，我们数学是特别讲究逻辑推理的，而今天我们这堂课，是将合理推理。合理推理，是不同于逻辑推理的，像类比呀，归纳呀，联想呀，猜测呀，这些我们把它叫做合理推理，不同于逻辑推理，或者叫演绎推理，那么什么叫类比呢？类比，是两个事物在一些方面的相同或类似，去推理它们另外方面的相同或者类似，但这种合理推理的结论，可能是正确的，也可能是错误的，这要靠逻辑推理去证明或者论否。合情推理是本身并不是证明，因为它无法保证一直相同的属性，与推出的属性之间有必然的联系，要证明必须是必然的联系，而合理推理只是合情的联系。但是，它却是获得新思路新发现的一种观点、一种手段、一种方法，所以它
2、对于创新思维是很重要的类比。赵本山有句台词，叫脑袋大脖子粗，不是大款就是伙夫，其实就是用的类比。这两类人在这些方面相同或类似，去推知他们在其他方面也相同或类似，这些方面是什么方面呢？脑袋大，脖子粗，然后就推知他们在另外那些地方也可能相同，那些地方时什么？不是大款，就是伙夫。这就是合理推理，这个结论可能是正确的，也可能是错误的，那么下面我们用一个数学问题来讲类比，这个数学问题是一个立体几何问题，一个固定的是四面体内任一点到这 4 个面的距离之和，是否为一个定值？四面体内有好多点，任何一个点到四个面的距离之和是否为定值？随便取一个点。这个题是有难度的，但是如果用类比，就可以迎刃而解。类比到正三角形
3、，正三角形当中，任一点到三边的距离之和是一个定值。怎么去证明呢？我们通过三角形的面积去完成证明。三角形内一点 P，分别和三个顶点 A、B、C 相连，把这个三角形分成了三个小三角形。这个三角形的面积是底乘高除去二，那么这三个小三角形的面积怎么去求呢，应该是大三角形和三条边分别作底边，P 到三条边的距离分别作高。因为大三角形是正三角形，所以这个三角形的面积之和就应该是正三角形的边长乘以 P 到三边距离之和，再除以 2,。很显然，是个定值。拿着刚才这个思维去类比，上一个题就不难啦。结论就是它确定是定值，证明的方法是类似的。下面，我们从这个类似的题，再回到生活中去，看看这个载体，四个平面最多能把空间分
4、为多少个部分？大家都知道，一个平面最多把空间分成八个部分，那么类比下去，四个平面，应该最多把空间分成 16个部分。但是，类比得到的结论可能正确，可能错误，现在告诉各位，这个 16 部分的答案是错误的。那么怎样去得到正确的答案呢？我们仍然用类比，但是我们要比刚才精细一点。我们想到 4 个平面分空间，最多可以分成多少个部分，那么要分得部分最多，这个平面就要相交情况最复杂，如果 4 个平面都平行，它把空间只分成可 5 个部分，那么，怎么样描述平面相交情况最复杂？从而把空间分的部分数最多呢？数学就是有这种本事。他能用非常简明准确严格的语言表达出来。两句话，大家听一听，而且我现在说 n 个平面，第一句话
5、是：n 个平面中每个平面与其余的 n-1个平面都相交。这就是要跟一个平面不想交、平行就是最复杂的。第二句话是：这个 n 个平面中，每个平面都不过其余任何 3 个平面的交点。怎么理解呢？三个平面最少相交于一点，那么第 4 个平面如果再过这个点，那么分出来的部分数就不多或者不是最多；第4 个面如果稍微偏离这个点，分的部分数就会多，相交情况就会复杂，所以第二句话是，n 个平面中每个平面都不过其余任意 3 个平面的交点。好，拿了这两句话去看 4 个平面分空间，我们会发现相交最复杂的情况，就是 4 个平面交成一个四面体的情况，不见得是正四面体，只要是四面体就行了，它就符合我们刚才那两句话，那么这个时候，
6、我们也可以说，四面体的 4 个面都无限延展以后所成的 4 个平面，就是相交情况最复杂，它把空间分成了多少部分呢？现在我们再借助类比的手段，我们就会比较有自信，我们类比什么呢？我们去类比 3 条直线分平面，1 条直线最多把平面分成两个部分，2 条直线最多把平面分成 4 个部分，但 3 条直线并不是最多把平面分成了 8 个部分，这可是在纸上可以画出来的，3 条直线最复杂的情况，就是三条直线交成一个三角形的情况，它分成多少部分是可以数出来的最多就是 7 个部分，但是我们要能够从中发现带有规律性的东西，这7 个部分大致可以分成这样 3 组，有一个有限的部分在三角形的内部，还有若干个无限的部分在三角形的
7、外部。在三角形外部的又可以分成两组，和这个三角形有公共顶点的是一组，和三角形有公共边的又是一组，这些都是无限的部分。找到这些规律以后，拿着这样的思路和语言区类比 4 个平面分空间。我们已经看到了 4 个平面相交最复杂的情况，就是交成一个四面体的情况，或者说，四面体的 4 个面无限延展所称的 4 个平面，就是最复杂的情况，它把空间分成了多少个部分呢？现在我们用刚才的思路和语言类比来叙述，有一个有限的部分在四面体的内部，有若干个无限的部分在四面体的外部，在外呈漏斗状，一共有 4 个；然后还有跟四面体有公共棱的部分，四面体有公共面的部分，四面体有四个面，所以又有 4个部分，类比这里的思路和语言，我们
8、看到，一共是15 个部分。但是，做到这里且慢高兴，为什么？因为我们用的类比，类比是合情推理，合情推理的结论可能正确，也可能错误，所以，我们还需要用逻辑推理去证明或者论否。类比并不是证明，只是一种合理的猜测。好的，下面我们就一块来试试看，能不能够用类比的思路去找到逻辑推理的方法和语言。我们还回到平面上 3 条直线分平面，这 3 条直线分平面得到 7 个部分，从逻辑上来讲，这 7 个部分是怎么来的呢？我们注意下面这些叙述。2 条直线分平面式 4 个部分，为什么 3 条直线分平面就不是 8 个部分呢？因为新增加的这条直线，要想分的部分数最多，就要相交情况最复杂，所以这条直线就要跟原来的两条直线都相交
9、，那么跟这两条直线相交，在新增的这条直线上就出来两个交点。那么这样就变成了点分直线，一个点最多把直线分成两个部分，两个点最多把直线分成 3 个部分，这都是正确的结论，所以，新增加的这条直线跟原来的两条直线都相交，就在新增加的这条直线上交出了两个新交点，这两个交点把信增加的这条直线，就最多分成了 3 个部分，而这 3 各部分分别是把他们穿过的平面部分一分为二，所以新增加 3 个部分，而不是信增加了 4 个部分，原来 2 条直线交出了 4 个部分，现在又新增加了 3 个部分，所以 3 条直线最多分成了 7 个部分，这就是逻辑推理。那么为了类比更顺利一些，我们再看看 4 条直线，4 条直线最多把平面
10、分成多少个部分？应该是 11 个部分。那么我们能不能逻辑推理来证明。3 条直线最多把平面分成了 7 个部分，现在新增加的这条直线，要想使分的部分数最多，就要相交情况最复杂，而相交情况最复杂，新增加的这条直线就要与原来的 3 条直线都相交，从而就在新增加的这条直线上，交出 3个新交点，而点分直线 3 个点最多把直线分成 4 个部分，那么这 4 个部分分别把这条直线所穿过的平面的相应的部分一分为二，原来 3 条直线分平面最多已经分成了七个部分，现在这 4 个部分，又把原来相应的地方一分为二，就多了 4 个部分，所以就是 4+7 等于11 个部分。现在我们类比来看，这回的类比已经不是简单的类比了，硬
11、件是逻辑推理了。我们看 4 个平面部分分空间。3 个平面多把空间分成 8 个部分，然后新加进去一个平面，要想把空间分的部分数最多，就要相交情况最复杂，所以新加去的这个平面，就要与原来的3 个平面都相交，因此，就在新增加的这个平面上得到了 3 条新的交线，而在这个平面上这 3 条新交线，最多把新增加的这个平面分成了 7 个部分，这 7 个部分都把新增加的这个平面穿过的相应空间部分一分为二。原来的 3 个平面已经把空间分成了 8 个部分，现在又有 7 个部分一分为二了，所以 4 个平面最多把空间分成 15 个部分。这是严格的逻辑推理。那么 5 个平面分空间最多能分成多少个部分呢？用刚才类比和推理的
12、思路去解答，4 个平面最对能把空间分成 15 个部分，现在新增一个平面，要使得分的部分数最多，那么就要相交情况最复杂，这个新平面就要与原有 4 个平面都相交，就会有 4 条新的交线产生，这 4 条新交线可以最多把这个心平面分成 11个部分，这 11 个部分可以分别把这个新平面通过的空间一分为二，就会新增 11 个空间部分，所以 5 个平面可以最多把空间分为 26 了部分。那么我们现在推广到 n 个相交的情况，n 个平面它最多把空间分成的部分，要先假设 n-1 个平面相交最多把空间分成 m 个部分，第 n 个平面加入的时候，要与前面 n-1 个平面都相交，产生 n-1 条新的交线，假设这 n-1
13、 条新交线最多能把平面分成 a 个部分，那么着 a 个部分可以把新增的这个平面穿过的相应的空间一分为二。也就是说，新增了 a 个部分，那么 n 个平面相交，最多可以把空间分成的部分数就是 m+a 个。当然，这里面还有进一步的工作可以做，就是刚才我们是从少到多逐渐递推，是能够推出来的，可这n 是 5 个、6 个、7 个、8 个都是可以的，要是 6000个呢？所以我们需要把更整体的规律找到，我想只有少数人可以考虑，更进一步地，我们直接去得到最终的结论。我们看到，类比，是一种合情推理，而且这个合情推理通过我们今天的学习是非常有用的，特别是它是获得新思路新发现的一种观点，一种手段，一种方法，我们应该学会类比这种合理推理。
