1、 Born to win2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若 ,则 a = ,b = .0sinlm(co)5xbea(2) 函数 由关系式 确定,其中函数 可微,且 ,,)fuv(,()fxgygy()gy()0gy则 .2(3) 设 ,则 .21,)(2xexf 21()fxd(4) 二次型 的秩为 .21322131 )()()()( xf (5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 .XDXP(6) 设总体 服从正态分布 , 总体 服从正态分布 , )(21NY)(2N
2、1,21nX和 分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则2,1nY X.22112()()ni ji jXE二、选择题:本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 函数 在下列哪个区间内有界 ( )2)(1sin|)(xxf(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). (8) 设 f (x)在 内有定义,且 , ,则( )axf)(lim0,)1()xfg(A) 必是 的第一类间断点 .0(gx(B) 必是 的第二类间断点 .x)(C) 必是
3、 的连续点 .(x(D) 在点 处的连续性与 a 的取值有关. ()g0Born to win(9) 设 , 则 ( )()1)fx(A) 是 的极值点, 但 不是曲线 的拐点.0(f0,()yfx(B) 不是 的极值点 , 但 是曲线 的拐点.x)x()(C) 是 的极值点, 且 是曲线 的拐点.(f ()yfx(D) 不是 的极值点 , 也不是曲线 的拐点.0x)x(0)(10) 设有下列命题: 若 收敛,则 收敛.12)(nnu1nu 若 收敛,则 收敛.10n 若 ,则 发散.limnuu 若 收敛,则 , 都收敛.1)(nv1nnv则以下命题中正确的是( )(A) (B) (C) (
4、D)(11) 设 在 上连续,且 ,则下列结论中错误的是 ( )(xf,ab0)(,)(bfaf(A) 至少存在一点 ,使得 .0,xa(B) 至少存在一点 ,使得 .)(x)(0ff(C) 至少存在一点 ,使得 .,0bax(D) 至少存在一点 ,使得 = 0.)(x)(0f(12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必有( )nAB(A) 当 时, . (B) 当 时, .)0(|aa| )0(|aAaB|(C) 当 时, . (D) 当 时, .| |(13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互nA,*4321,bAx不相等的解,则对应的齐次线性方程组 的基础解系( )0Ax(
5、A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.Born to win(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14)设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , X)10(N)10(uuXP若 , 则 等于( )xP|(A) . (B) . (C) . (D) . 2u21u21u1三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 8 分)求 .)cossin1lm20xx(16) (本题满分 8 分)求 ,其中 是由圆 和Ddy2D42yx所围成的平面区域(如图).
6、1)(yx(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g(x)在a , b上连续,且满足,x a , b), .dtt)( badtgtf)()(证明: .aagf(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 ,其中价格 , 为需求量.105QP(0,2)Q(I) 求需求量对价格的弹性 ( 0);dE(II) 推导 (其中 为收益),并用弹性 说明价格在何范围内变化时,dPRRdE降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分 9 分)设级数 )(8642426 xxx的和函数为 . 求:()S(I) 所满足的一阶微分方程;(II) 的表达式.x()Sx(20)(本题满分 13 分)
7、Born to win设 , , , , T)021(T)3,21(2Tb)2,1(3T)3,1(试讨论当 为何值时, ba(I) 不能由 线性表示 ;321,(II) 可由 唯一地线性表示, 并求出表示式; (III) 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 321(21) (本题满分 13 分)设 阶矩阵n.1 bA(I) 求 的特征值和特征向量; () 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵.PA1(22) (本题满分 13 分)设 , 为两个随机事件,且 , , , 令AB4AP3)|B2)|(B不X0,1.0,1不Y求(I) 二维随机变量 的概率分布 ;),(Y(II) 与 的
8、相关系数 ; XX(III) 的概率分布. 2Z(23) (本题满分 13 分)设随机变量 的分布函数为1,(;,)0xFx, ,其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本,1,0nX,2(I) 当 时, 求未知参数 的矩估计量;(II) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; (III) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 2Born to winBorn to win2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】 1,4ab【详解】本题属于已知极限求参数的反问题.方法 1:根据结论: ,(1) 若 ,则 ;(2) 若 ,)(limxgfA()0gx(
9、)0fx()0fx且 ,则0A0因为 ,且 ,所以5)(cosinlbxaex 0)(cosinlm0bxx(否则根据上述结论 (2)给极限是 0,而不是 5), )(lim0x由 得 a = 1. 000lilili1xxea极限化 ,得 b = 4.0sn(co)li(cos)151x xbb等 价 无 穷 小因此,a = 1,b = 4.方法 2:由极限与无穷小的关系,有 ,其中 ,解出 sin(co)5xbea0limx(5)(c)i,xe上式两端求极限, 0 0()os)in(cos)inlimli1055x xxbbxae把 a = 1 代入,再求 , ,两端同时对 取极限,得b(
10、)1csix0(5)liosinxxe000()1(5)limcslilim1ixxx x4因此,a = 1,b = 4.(2)【答案】 2()gvBorn to win【详解】应先写出 f (u , v)的表达式,再求偏导数令 , ,从而: ,于是由 ,xgy()uxgyv(),()fxgygy推知 f (u , v) = ,)(v所以 ,)(1gf2fu1()fvg2()v(3)【答案】 2【详解】方法 1:作积分变换,令 ,则1xt1:2:xt所以 2112()()fdft1122()()ftdt.2 21111 2()()x xxeee102(也可直接推出 ,因为 积分区间对称,被积函
11、数是关于 是210xd12xd x奇函数,则积分值为零)方法 2:先写出的 表达式()fx即:211,2(1),exfx 2(1)3,(),xefx所以 232(1)21 31()()xfxdedx.2 23(1)2(1)x xe 141()02e(4)【答案】 2.【详解】方法 1:因为 213221321 )()()(),( xxxxf Born to win3231212321 xxx由二次型 中, ,所以二次型对应的矩阵的121(,)nijifxa ijjia元素是 乘积项系数的一半,其中ij行 ,列 ij与 .ij于是题中二次型的矩阵为 , 由初等变换得21AA1212(),03行
12、的 倍 加 到 行, 行 互 换 行 的 倍 加 到 行 12()30行 行从而 , 由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩,知二次型的秩为 2. 2)(r方法 2:因为 21322131 )()()() xxxxf 322132 , 31 )()( xxx 21y其中 .,231xy32y21xx22113323()x对 配 方 223223xxx1233()232)(xxx二次型的秩 =矩阵的秩 =正负惯性指数之和 ,所以此二次型的秩为 2.()rfrApq(5) 【答案】 e1【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为Born to w
13、in,其方差 .,0()0xef若若 21DX于是,由一维概率计算公式, ,有()baPaXfxd= =DXe11xe(6)【答案】 .2【详解】根据公式 和样本方差是总体方差的无偏估计量,()()EXYEY又 和 分别是来自总体简单随机样本, 和 都服从正态分布1,21nX 2,n XY即是 , .1()()ii D122()()nii D所以有 , 221()1niiEXn 122()niiEY对于题给式子将分子分离出来即可出现上式,也就不难求出结果. 12 1 221 221212()()()()nni j nni j i ji jYXEYn ,故应填 .22112()()n 2二、选择
14、题(7)【答案】(A)【详解】方法 1:如果 在 内连续,且极限 与 存在,则函数()fx,ab)(limxfa)(lixfb在 内有界.f,当 x 0 , 1 , 2 时 连续,而()fx,2211sin()sin(1)sin3limli 8xxfBorn to win,2200sin()sin(0)sinlim()li114xxxf,2200i()i()ili()lixxfx,22111sin()sin()li()lilmxx xf,2222i()i()1lim()lillixx xxf 所以,函数 f (x)在(1 , 0)内有界,故选(A).方法 2:因为 存在,根据函数极限的局部有界
15、性,所以存在 ,在区间0li 0上 有界,又如果函数 f (x)在闭区间 a , b上连续,则 f (x)在闭区间a , b上,)(f有界,根据题设 在 上连续,故 在区间上有界,所以 在区间)x1,()f上有界,选(A).(1,0)(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限 是否存在,如果存在,是否等于 g(0),通过换元 ,)(lim0xgxu1可将极限 转化为 .lixlif因为 = a,又 ,001li()li()li()xxugffx (0)g所以, 当 时, ,即 在点 处连续,alimgx当 时, ,即 是 的第一类间断点,因此,)(0x0()g在点 处的连续性与 的取值有关,故选
16、(D).()gxa(9) 【答案】C【详解】由于是选择题,可以用图形法解决,也可用分析法讨论.方法 1:由于是选择题,可以用图形法解决, 令 ,则 ,()1)x21()4xBorn to win是以直线 为对称轴,顶点坐标为 ,开口向上的一条抛物线,与 轴相12x1,24x交的两点坐标为 , 的图形如图.0,()yfx点 是极小值点;又在点 左侧邻近曲线是凹的,右侧邻近曲线是凸的,0x(0,)所以点 是拐点,选 C.(,)方法 2:写出 的分段表达式: ,yfx()fx(1),01x从而 , ,()f12,01()f2,0x,所以 时, 单调增,00limlixxf1()f,所以 时, 单调减
17、,()2 xx所以 为极小值点.当 时, , 为凹函数; 当 时, 10x()0fx()f 10, 为凸函数, 于是 为拐点.()2f()f,(10)【答案】(B)【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.是错误的,如令 , ,所以 发散,而nu)1(lim0nu1nu收敛.21()nu是正确的,因为级数 比级数 少了前 1000 项,改变、增加或减少级10nu1nu数的有限项,不改变级数的敛散性,所以这两个级数同敛散.Born to win是正确的,因为由 ,从而有 ,于是正项级数 在项1limnu1limnu1nu数充分大之后,通项严格单调增加,故 ,从而 ,所以 发散
18、.li0nli0n1n是错误的,如令 ,显然, , 都发散,vnu1,1nuv而 收敛. 故选(B).11()nuv(11)【答案】(D)【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,或应用举例法找出错误选项.方法 1:举例说明(D) 是错误的 . 例: ,2()4,1fxx.但在 上 .1()20, 0x xf ,()30fx方法 2:证明(A) 、(B)、(C)正确.由已知 在 上连续,且 ,则由介值定理,至少存在)(f,ab)(,)(bfaf一点 ,使得 ,所以选项(C)正确;,0x0)(xf另外,由导数的定义 ,根据极限的保号性,至少0)(limaxfafx存在一点 使得 ,
19、即 ,所以选项(A)正确. ),(0bx)(0ff )(0ff同理, ,根据极限的保号性,至少存在一点()lixbfxf使得 . 所以选项(B)正确,故选(D).),(0ax0f(12)【答案】(D )【详解】方法 1:矩阵等价的充分必要条件:矩阵 与 等价 , 是同型矩阵且有相同的秩,故AB由 与 等价,知 与 有相同的秩.AB因此,当 时, , 则有 , 即 , 故选(D). 0|nr)(nr)(0|方法 2:矩阵等价的充分必要条件: 与 等价 存在可逆 ,使得 . 两边PQABBorn to win取行列式,由矩阵乘积的行列式等于行列式的积,得 . 可PAQB,PQ逆,由矩阵 可逆的充分
20、必要条件: ,故 ,但不知具体数值.由A0A0,知 时, 不能确定.但 有 .故应选(D).PQB0B方法 3:由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有:(1) 中某两行(列)互换得 ,则 .(2) 中某行(列 )乘 得 ,则 .A(0)kkA(3) 中某行倍加到另一行得 ,则 .B又由 与 等价,由矩阵等价的定义:矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ,B则称 与 等价,知B.k故当 时, ,虽仍不等于 0,但数值大、小、正负要改变,0A0A但 ,则 ,故有结论:初等变换后,矩阵的行列式的值要改变,但不改|变行列式值的非零性,即若 ,若 .故应选(D).|BA0B(13)【答案
21、】(B)【详解】由定理:若 是 的解,则 是对应齐次方程组 的解,及12,xAb12xx,得 是 的解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件,知1210. 由伴随矩阵的定义,知 中至少有一个代数余子式 即 中有()rAn,* 0,ijA子式不为零,由 的充要条件是 的非零子式的最高阶为 ,故 再()Ar秩 Ar()1,n由上面的 ,得 ,故基础解系所含向量个数为 ,故选(B).()r1nn(14)【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性,对任何 有0x. 或直接利用图形求解.12PXxxPX方法 1:由标准正态分布概率密度函数的对称性知, ,于是u2 xXPxxxx Born
22、to win即有 ,可见根据分位点的定义有 ,故应选(C).21xXP 21ux方法 2:图一 图二如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积 , .两端各余面积PXx,所以 ,答案应选(C).1212PXu三、解答题(15)【详解】求“ ”型极限的首要步骤是通分,或者同乘、除以某一式以化简.201coslim()nxx通 分 220sincolimxxsin:等 价 2240sincolimxx2240silix=洛 2041silixx3012ili4x.洛 0312sinlim4x201cosli6x20sinlm6xx:等 20()lim6x43(16)【详解】利用对称性与极坐标计算
23、.方法 1:令 ,根据二重积分的1)(|,4|),( 222 yxyDyxD极坐标变换: ,则:12|rr21, cos,inrDfxydfdO xy()fxPXuO xyPXx12()fxBorn to win化为极坐标:12Dxyd 21(,)|4(,)|02,Dxyxyr所以 ;122220cosindrrdr 220d化为极坐标:2Dxyd2 3(,)|1(,)|,02cos2xyr所以 22Dd3cos 202 inrd 32cos02rd所以 21DDyxdyxyx cos02320rdr 22cos3300rdd3328cs32281sini32sin363)23(916区域 关
24、于 轴对称, 中被积函数 为 的奇函数,根据区域对称性与DxDydy被积函数的奇偶性:设 在有界闭区域 上连续,若 关于 轴对称,,f Dx对 为奇函数,则 ,所以,fxy 0Dxy 0yd所以 .2()Dxd2D16(32)9方法 2: 2()y2Dxyd20xyd上 半极 坐 标 变 换 220cos drr22330cosrBorn to win3288cos3d 22816sini3d.3216ins()9(17)【详解】令 , . 因为已知 ,()Fxfgx( ) ( ) xadtFG)( xaxadtgtf)()(所以 ,aGtdaftfgd( ) ( ) 0,b,()()0又 ,
25、babatgtf所以 ()()GFd()()bbbaaafgtdftgtd0从而 baxxxG分 部 积 分 ()()baxGx,0()ba由于 ,故有 , 即(),Gx0dx()baxFd0也即是 ()bafgx()bafg因此 .dx)(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性 0,所以dE;dPQE10515P20P(,20)P(II) 由 ,得RdPdP(1)dQ(1)20P(1)dQE要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加,即收益为价格的减函数, ,即0R证 ,换算成 为 ,解之得: ,又已知(1)01ddQE1201,所以 ,此时收益随价格降低反而增加.,2PPBorn to
26、 win(19)【详解】对 进行求导,可得到 所满足的一阶微分方程,解方程可得 的()Sx()Sx ()Sx表达式.(I) , 易见 ,864242)(6 (0)S()Sx6x 357468224xx357246 )()(S因此 满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件: ,()Sx ()Sx)(2x.0即 ,3()2xSx(0)S(II) 为一阶线性非齐次微分方程,其对应的线性齐次微分方程为:3(),0Sx分离变量: ,两边积分: ,()d21ln()xSC221()xxCSe用常数变易法来求非齐次方程的通解:令 2x于是: 22()xxSxCe代入 :32223xxxCee所以, 23xe
27、dc223()xxSxe22xxdce 22xxdecBorn to win222xxxedce分 部 22xxec21xce因为 ,所以 , 所以 ;(0)S20201S12()xS或直接由通解公式,方程 的通解为3()2xx32xdxdSeC21xe由初始条件 ,得 . 故 .(0)12()xS(20)【详解】 可否由 线性表示的问题可以转化为线性方程组321,是否有解的问题. 123xx因此,设可有数 使得 . (*)123,123xx记 . 对矩阵 施以初等行变换, 有),(321A)(A320),(ba 1110323ab行 (-2)+行.行 3+行 00当 时, 是任意数时,有(I
28、)0ab.1(,)0Ab可知, . 由非齐次线性方程组有解的充要条件:系数矩阵的秩等于增广矩),()r阵的秩,知方程组(*)无解, 不能由 线性表示.321,当 , 且 时, 由(I)0abBorn to win0011),(baA可知, , 由非齐次线性方程组有解得充要条件:系数矩阵的秩等于增广3),()r矩阵的秩,方程组(*)有解,由定理:设 是 矩阵,方程组 ,则,(1) 有唯一解AmnAxb;(2)有无穷多解 (3)无解:()rAn()r()1()rA可知方程组(*)有唯一解.由同解阶梯形方程求解,得:, , 1xa21x30此时 可由 唯一地线性表示, 其表示式为 3 21)(a当
29、, 时, 对矩阵 施以初等行变换, 由(I)0b)(A,1(,)0Aa1202a行 行 行 10a可知, ,由定理:设 是 矩阵,方程组 ,则,(2)有无2),()rAmnAxb穷多解 ,知方程组(*)有无穷多解,其全部解为An, , , 其中 为任意常数1xa21xc3xc可由 线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式32,为 321)()(c(21)【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 可以直接用 求特0|AE征值,和 求特征向量或将 分解令 ,其中 ,则0)(xAEA(1)Bb1nBb, 是多项式,求 的特征值、特征向量.fBfB【详解】(I) 方法 1: 时,0bBorn
30、to win1| 1bEA 12,()1bn 行 分别 加 到 行 11()()nnb故, 的特征值为 , Abn2对 ,)(11(1)()nbbEAn (1)1()n111,()00nn 行 分 别 加 到 行111,00nn 列 列 互 换 111()00nn 行 1112,(-)00nn 行 分 别 加 到 行Born to win1102,()0nn 行2,(1)n行 -分 别 加 到 1行 0100 因为矩阵的秩为 ,故方程组 ,基础解系的个1()(rEAn1()EAx数为 ,故有一个自由未知量.选 为自由未知量,取1()nr1, 解得 ,所以 的属于 的全部特征向量为1xT, 1(
31、 为任意不为零的常数 )k),( k对 ,bn12iEAbb 1()00bbn行 分 别加 到 2,行,01()行 2,.in矩阵的秩为 故方程组 ,基()1,.irEAi ()0,2,iEAxin础解系的个数为 , 故有 个自由未知量. 选inn2,.in 1为自由未知量,将他们的 组值 ,23,x (0);(,);(,1) 得基础解系为, , T)0,1,(2T),1,(3Tn),1(,故 的属于 的全部特征向量为ABorn to win( 是不全为零的常数) nkk32 nk,32当 时,0b,nAE )1(01| 特征值为 ,任意非零列向量均为特征向量1n方法 2: 1bA ()(1)
32、(1)bbb 01bbb ()1bE,1,1()bE ()B其中 ,TTB若 有特征值 ,特征向量 ,则当 是多项式时, 有特征值 ,其f()fB()f特征向量仍是 . 因 故, 是 的特征值,其对应特征向量为()(),TTnT.从而有 ,有特征值1,1 (1)TAbE,其对应特征向量仍是 .()nb 1,T又 , 是实对称阵,由()TTTBBorn to win1TB 101()2,n行 分 别 加 到 行可知 ,由实对称矩阵的特性: ,其中 为特征值的重()1r ()rEAk数,故 是 的 重特征值,其对应的特征向量应满足0TB1n,即只需满足 ,其基础解系的个数为()0TEx120nxx
33、,故有 个自由未知量.选 为自由未知量,将他们的 组值 1n23,n 1. 得基础解系为 ,(,0);(,);(,) T)0,(2, T3Tn1,0从而知 有 重特征值 .对应(1)AbE(0)(1)fbb的特征向量仍是 ,其全部特征向量为 (23,n nkk32是不全为零的常数) nk,32() 当 时,由 与对角矩阵相似的充要条件: 有 个线性无关的特征向量,10bAA知,令 ,则),(21nP bbA11 当 时, ,对任意可逆矩阵 , 均有 20bEPEA1(22)【分析】本题尽管难度不大,但考察的知识点很多,综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件,可以比较好地
34、将概率论的知识前后连贯起来,这种命题方式值得注意。先确定 的可能取值,再求在每一个可能取值点上的概率,而这可利用随机事件(,)XY的运算性质得到,即得二维随机变量 的概率分布;利用联合概率分布可求出边缘概(,)XY率分布,进而可计算出相关系数.Born to win【详解】(I ) 由于 ,1()(|)2PABA,61)()BAP所以 ,1,YX,61)()(0P,2,ABBAP=)(1)(YX32)()(1ABP(或 ),32610,故 的概率分布为)Y0 1X0 3221 6(II) 的概率分布分别为,XY 2130,10,4PYPXY16,1,2YX5000.3PYPXY所以 的概率分布
35、为,X0 1 0 1 4365由 分布的数学期望和方差公式,则 , ,1,4EYX3416DX= , 所以 = ,56DY3()01,EXYPPY 2故 ,从而24),(XCov .15),(XCovYBorn to win(III) 的可能取值为: .Z0,12,3YXP,41,0, YXP,122Z即 的概率分布为:0 1 2 P 34(23)【详解】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.当 时, 的概率密度为 , 有了概率密度函数 就1X1,(,)0xfx, (;)fx不难写出似然函数 1()(;).n
36、iiLf(I)由于 令 , 解得 , 11(;),EXxfdxdX11所以, 参数 的矩估计量为 , 其中:X1nii(II) 对于总体 的样本值 , 似然函数为nx,21 ni ini nxfL1 121 .,0),2,1(,)();()( 不当 时, , 与 在相同的 点取得最大值;),2(ixi)(L()l()L所以等式两边取自然对数得 ,niixn1lll对 求导数,得 , niidL1l)(lBorn to win令 ,解得 ,0ln)(ln1iixdLniix1l于是 的最大似然估计量为 niix1l(III) 当 时, 的概率密度为2X不不xf0,2),(3对于总体 的样本值 , 似然函数为nx,21ni ini nxxfL1 321 .,0),2,1()();()( 不当 时, 越大, 越大, 但是必须满足条件 ;),2(xi)(Lix(1,2)n所以 的最大似然估计值为 ,min21nx于是 的最大似然估计量为 ,X