1、（ 一 ） 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 （ 数 学 专 业 类 ） 竞 赛 内 容 为 大 学 本 科 数 学 专 业 基 础 课 的 教 学内 容 ， 即 ， 数 学 分 析 占 50%， 高 等 代 数 占 35%， 解 析 几 何 占 15%， 具 体 内 容 如 下 ： 、 数 学 分 析 部 分 一 、 集 合 与 函 数 1. 实 数 集 、 有 理 数 与 无 理 数 的 稠 密 性 ， 实 数 集 的 界 与 确 界 、 确 界 存 在 性 定 理 、 闭区 间 套 定 理 、 聚 点 定 理 、 有 限 覆 盖 定 理 . 2. 上 的 距 离 、 邻 域 、 聚 点
2、 、 界 点 、 边 界 、 开 集 、 闭 集 、 有 界 （ 无 界 ） 集 、 上 的 闭矩 形 套 定 理 、 聚 点 定 理 、 有 限 复 盖 定 理 、 基 本 点 列 ， 以 及 上 述 概 念 和 定 理 在 上 的 推 广 . 3. 函 数 、 映 射 、 变 换 概 念 及 其 几 何 意 义 ， 隐 函 数 概 念 ， 反 函 数 与 逆 变 换 ， 反 函 数存 在 性 定 理 ， 初 等 函 数 以 及 与 之 相 关 的 性 质 . 二 、 极 限 与 连 续 1. 数 列 极 限 、 收 敛 数 列 的 基 本 性 质 （ 极 限 唯 一 性 、 有 界 性 、
3、 保 号 性 、 不 等 式 性 质 ）. 2. 数 列 收 敛 的 条 件 （ Cauchy 准 则 、 迫 敛 性 、 单 调 有 界 原 理 、 数 列 收 敛 与 其 子 列收 敛 的 关 系 ） ， 极 限 及 其 应 用 . 3.一 元 函 数 极 限 的 定 义 、 函 数 极 限 的 基 本 性 质 （ 唯 一 性 、 局 部 有 界 性 、 保 号 性 、 不等 式 性 质 、 迫 敛 性 ） ， 归 结 原 则 和 Cauchy 收 敛 准 则 ， 两 个 重 要 极 限 及 其 应 用 ， 计 算一 元 函 数 极 限 的 各 种 方 法 ， 无 穷 小 量 与 无 穷
4、大 量 、 阶 的 比 较 ， 记 号 O 与 o 的 意 义 ，多 元 函 数 重 极 限 与 累 次 极 限 概 念 、 基 本 性 质 ， 二 元 函 数 的 二 重 极 限 与 累 次 极 限 的 关 系 . 4. 函 数 连 续 与 间 断 、 一 致 连 续 性 、 连 续 函 数 的 局 部 性 质 （ 局 部 有 界 性 、 保 号 性 ） ，有 界 闭 集 上 连 续 函 数 的 性 质 （ 有 界 性 、 最 大 值 最 小 值 定 理 、 介 值 定 理 、 一 致 连 续 性 ） . 三 、 一 元 函 数 微 分 学 1.导 数 及 其 几 何 意 义 、 可 导 与
5、 连 续 的 关 系 、 导 数 的 各 种 计 算 方 法 ， 微 分 及 其 几 何 意义 、 可 微 与 可 导 的 关 系 、 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 . 2.微 分 学 基 本 定 理 ： Fermat 定 理 ， Rolle 定 理 ， Lagrange 定 理 ， Cauchy 定 理 ，Taylor 公 式 (Peano 余 项 与 Lagrange 余 项 ). 3.一 元 微 分 学 的 应 用 ： 函 数 单 调 性 的 判 别 、 极 值 、 最 大 值 和 最 小 值 、 凸 函 数 及 其 应用 、 曲 线 的 凹 凸 性 、 拐 点 、 渐 近 线 、
6、 函 数 图 象 的 讨 论 、 洛 必 达 （ LHospital） 法 则 、近 似 计 算 . 四 、 多 元 函 数 微 分 学 1. 偏 导 数 、 全 微 分 及 其 几 何 意 义 ， 可 微 与 偏 导 存 在 、 连 续 之 间 的 关 系 ， 复 合 函 数的 偏 导 数 与 全 微 分 ， 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ， 方 向 导 数 与 梯 度 ， 高 阶 偏 导 数 ， 混 合 偏 导 数与 顺 序 无 关 性 ， 二 元 函 数 中 值 定 理 与 Taylor 公 式 . 2.隐 函 数 存 在 定 理 、 隐 函 数 组 存 在 定 理 、 隐 函 数
7、 （ 组 ） 求 导 方 法 、 反 函 数 组 与 坐 标变 换 . 3.几 何 应 用 （ 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线 、 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 、 曲 面 的 切 平 面 与法 线 ） . 4.极 值 问 题 （ 必 要 条 件 与 充 分 条 件 ） ， 条 件 极 值 与 Lagrange 乘 数 法 . 五 、 一 元 函 数 积 分 学 1. 原 函 数 与 不 定 积 分 、 不 定 积 分 的 基 本 计 算 方 法 （ 直 接 积 分 法 、 换 元 法 、 分 部 积分 法 ） 、 有 理 函 数 积 分 ： 型 ， 型 . 2. 定 积
8、 分 及 其 几 何 意 义 、 可 积 条 件 （ 必 要 条 件 、 充 要 条 件 ： ） 、 可 积 函 数 类 . 3. 定 积 分 的 性 质 （ 关 于 区 间 可 加 性 、 不 等 式 性 质 、 绝 对 可 积 性 、 定 积 分 第 一 中 值定 理 ） 、 变 上 限 积 分 函 数 、 微 积 分 基 本 定 理 、 N-L 公 式 及 定 积 分 计 算 、 定 积 分 第 二 中值 定 理 . 4.无 限 区 间 上 的 广 义 积 分 、 Canchy 收 敛 准 则 、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 、 非 负 时 的 收敛 性 判 别 法 （ 比 较
9、原 则 、 柯 西 判 别 法 ） 、 Abel 判 别 法 、 Dirichlet 判 别 法 、 无 界 函 数广 义 积 分 概 念 及 其 收 敛 性 判 别 法 . 5. 微 元 法 、 几 何 应 用 （ 平 面 图 形 面 积 、 已 知 截 面 面 积 函 数 的 体 积 、 曲 线 弧 长 与 弧微 分 、 旋 转 体 体 积 ） ， 其 他 应 用 . 六 、 多 元 函 数 积 分 学 1.二 重 积 分 及 其 几 何 意 义 、 二 重 积 分 的 计 算 （ 化 为 累 次 积 分 、 极 坐 标 变 换 、 一 般 坐标 变 换 ） . 2.三 重 积 分 、 三
10、 重 积 分 计 算 （ 化 为 累 次 积 分 、 柱 坐 标 、 球 坐 标 变 换 ） . 3.重 积 分 的 应 用 （ 体 积 、 曲 面 面 积 、 重 心 、 转 动 惯 量 等 ） . 4.含 参 量 正 常 积 分 及 其 连 续 性 、 可 微 性 、 可 积 性 ， 运 算 顺 序 的 可 交 换 性 .含 参 量广 义 积 分 的 一 致 收 敛 性 及 其 判 别 法 ， 含 参 量 广 义 积 分 的 连 续 性 、 可 微 性 、 可 积 性 ， 运 算顺 序 的 可 交 换 性 . 5.第 一 型 曲 线 积 分 、 曲 面 积 分 的 概 念 、 基 本 性
11、质 、 计 算 . 6.第 二 型 曲 线 积 分 概 念 、 性 质 、 计 算 ； Green 公 式 ， 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的条 件 . 7.曲 面 的 侧 、 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念 、 性 质 、 计 算 ， 奥 高 公 式 、 Stoke 公 式 ， 两类 线 积 分 、 两 类 面 积 分 之 间 的 关 系 . 七 、 无 穷 级 数 1. 数 项 级 数 级 数 及 其 敛 散 性 ， 级 数 的 和 ， Cauchy 准 则 ， 收 敛 的 必 要 条 件 ， 收 敛 级 数 基 本 性 质 ；正 项 级 数 收 敛 的 充 分 必
12、 要 条 件 ， 比 较 原 则 、 比 式 判 别 法 、 根 式 判 别 法 以 及 它 们 的 极 限 形式 ； 交 错 级 数 的 Leibniz 判 别 法 ； 一 般 项 级 数 的 绝 对 收 敛 、 条 件 收 敛 性 、 Abel 判 别法 、 Dirichlet 判 别 法 . 2. 函 数 项 级 数 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 、 Cauchy 准 则 、 一 致 收 敛 性 判 别 法 （ M-判 别法 、 Abel 判 别 法 、 Dirichlet 判 别 法 ） 、 一 致 收 敛 函 数 列 、 函 数 项 级 数 的 性 质
13、及 其 应用 . 3.幂 级 数 幂 级 数 概 念 、 Abel 定 理 、 收 敛 半 径 与 区 间 ， 幂 级 数 的 一 致 收 敛 性 ， 幂 级 数 的 逐 项可 积 性 、 可 微 性 及 其 应 用 ， 幂 级 数 各 项 系 数 与 其 和 函 数 的 关 系 、 函 数 的 幂 级 数 展 开 、Taylor 级 数 、 Maclaurin 级 数 . 4.Fourier 级 数 三 角 级 数 、 三 角 函 数 系 的 正 交 性 、 2 及 2 周 期 函 数 的 Fourier 级 数 展 开 、 Beseel 不 等 式 、 Riemanm-Lebesgue 定
14、 理 、 按 段 光 滑 函 数 的 Fourier 级 数 的 收 敛 性 定理 . 、 高 等 代 数 部 分 一 、 多 项 式 1. 数 域 与 一 元 多 项 式 的 概 念 2. 多 项 式 整 除 、 带 余 除 法 、 最 大 公 因 式 、 辗 转 相 除 法 3. 互 素 、 不 可 约 多 项 式 、 重 因 式 与 重 根 . 4. 多 项 式 函 数 、 余 数 定 理 、 多 项 式 的 根 及 性 质 . 5. 代 数 基 本 定 理 、 复 系 数 与 实 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解 . 6. 本 原 多 项 式 、 Gauss 引 理 、 有 理
15、系 数 多 项 式 的 因 式 分 解 、 Eisenstein 判 别 法 、有 理 数 域 上 多 项 式 的 有 理 根 . 7. 多 元 多 项 式 及 对 称 多 项 式 、 韦 达 (Vieta)定 理 . 二 、 行 列 式 1. n 级 行 列 式 的 定 义 . 2. n 级 行 列 式 的 性 质 . 3. 行 列 式 的 计 算 . 4. 行 列 式 按 一 行 （ 列 ） 展 开 . 5. 拉 普 拉 斯 (Laplace)展 开 定 理 . 6. 克 拉 默 (Cramer)法 则 . 三 、 线 性 方 程 组 1. 高 斯 (Gauss)消 元 法 、 线 性 方
16、 程 组 的 初 等 变 换 、 线 性 方 程 组 的 一 般 解 . 2. n 维 向 量 的 运 算 与 向 量 组 . 3. 向 量 的 线 性 组 合 、 线 性 相 关 与 线 性 无 关 、 两 个 向 量 组 的 等 价 . 4. 向 量 组 的 极 大 无 关 组 、 向 量 组 的 秩 . 5. 矩 阵 的 行 秩 、 列 秩 、 秩 、 矩 阵 的 秩 与 其 子 式 的 关 系 . 6. 线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 、 线 性 方 程 组 解 的 结 构 . 7. 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 、 解 空 间 及 其 维 数 四 、 矩
17、 阵 1. 矩 阵 的 概 念 、 矩 阵 的 运 算 (加 法 、 数 乘 、 乘 法 、 转 置 等 运 算 )及 其 运 算 律 . 2. 矩 阵 乘 积 的 行 列 式 、 矩 阵 乘 积 的 秩 与 其 因 子 的 秩 的 关 系 . 3. 矩 阵 的 逆 、 伴 随 矩 阵 、 矩 阵 可 逆 的 条 件 . 4. 分 块 矩 阵 及 其 运 算 与 性 质 . 5. 初 等 矩 阵 、 初 等 变 换 、 矩 阵 的 等 价 标 准 形 . 6. 分 块 初 等 矩 阵 、 分 块 初 等 变 换 . 五 、 双 线 性 函 数 与 二 次 型 1. 双 线 性 函 数 、 对
18、偶 空 间 2. 二 次 型 及 其 矩 阵 表 示 . 3. 二 次 型 的 标 准 形 、 化 二 次 型 为 标 准 形 的 配 方 法 、 初 等 变 换 法 、 正 交 变 换 法 . 4. 复 数 域 和 实 数 域 上 二 次 型 的 规 范 形 的 唯 一 性 、 惯 性 定 理 . 5. 正 定 、 半 正 定 、 负 定 二 次 型 及 正 定 、 半 正 定 矩 阵 六 、 线 性 空 间 1. 线 性 空 间 的 定 义 与 简 单 性 质 . 2. 维 数 ， 基 与 坐 标 . 3. 基 变 换 与 坐 标 变 换 . 4. 线 性 子 空 间 . 5. 子 空 间
19、 的 交 与 和 、 维 数 公 式 、 子 空 间 的 直 和 . 七 、 线 性 变 换 1. 线 性 变 换 的 定 义 、 线 性 变 换 的 运 算 、 线 性 变 换 的 矩 阵 . 2. 特 征 值 与 特 征 向 量 、 可 对 角 化 的 线 性 变 换 . 3. 相 似 矩 阵 、 相 似 不 变 量 、 哈 密 尔 顿 -凯 莱 定 理 . 4. 线 性 变 换 的 值 域 与 核 、 不 变 子 空 间 . 八 、 若 当 标 准 形 1.矩 阵 . 2. 行 列 式 因 子 、 不 变 因 子 、 初 等 因 子 、 矩 阵 相 似 的 条 件 . 3. 若 当 标
20、准 形 . 九 、 欧 氏 空 间 1. 内 积 和 欧 氏 空 间 、 向 量 的 长 度 、 夹 角 与 正 交 、 度 量 矩 阵 . 2. 标 准 正 交 基 、 正 交 矩 阵 、 施 密 特 (Schmidt)正 交 化 方 法 . 3. 欧 氏 空 间 的 同 构 . 4. 正 交 变 换 、 子 空 间 的 正 交 补 . 5. 对 称 变 换 、 实 对 称 矩 阵 的 标 准 形 . 6. 主 轴 定 理 、 用 正 交 变 换 化 实 二 次 型 或 实 对 称 矩 阵 为 标 准 形 . 7. 酉 空 间 . 、 解 析 几 何 部 分 一 、 向 量 与 坐 标 1.
21、 向 量 的 定 义 、 表 示 、 向 量 的 线 性 运 算 、 向 量 的 分 解 、 几 何 运 算 . 2. 坐 标 系 的 概 念 、 向 量 与 点 的 坐 标 及 向 量 的 代 数 运 算 . 3. 向 量 在 轴 上 的 射 影 及 其 性 质 、 方 向 余 弦 、 向 量 的 夹 角 . 4. 向 量 的 数 量 积 、 向 量 积 和 混 合 积 的 定 义 、 几 何 意 义 、 运 算 性 质 、 计 算 方 法 及 应用 . 5. 应 用 向 量 求 解 一 些 几 何 、 三 角 问 题 . 二 、 轨 迹 与 方 程 1.曲 面 方 程 的 定 义 ： 普
22、通 方 程 、 参 数 方 程 (向 量 式 与 坐 标 式 之 间 的 互 化 )及 其 关系 . 2.空 间 曲 线 方 程 的 普 通 形 式 和 参 数 方 程 形 式 及 其 关 系 . 3.建 立 空 间 曲 面 和 曲 线 方 程 的 一 般 方 法 、 应 用 向 量 建 立 简 单 曲 面 、 曲 线 的 方 程 . 4.球 面 的 标 准 方 程 和 一 般 方 程 、 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程 . 三 、 平 面 与 空 间 直 线 1.平 面 方 程 、 直 线 方 程 的 各 种 形 式 ， 方 程 中 各 有 关 字 母 的 意 义 . 2
23、.从 决 定 平 面 和 直 线 的 几 何 条 件 出 发 ， 选 用 适 当 方 法 建 立 平 面 、 直 线 方 程 . 3.根 据 平 面 和 直 线 的 方 程 ， 判 定 平 面 与 平 面 、 直 线 与 直 线 、 平 面 与 直 线 间 的 位 置 关系 . 4. 根 据 平 面 和 直 线 的 方 程 及 点 的 坐 标 判 定 有 关 点 、 平 面 、 直 线 之 间 的 位 置 关 系 、计 算 他 们 之 间 的 距 离 与 交 角 等 ； 求 两 异 面 直 线 的 公 垂 线 方 程 . 四 、 二 次 曲 面 1.柱 面 、 锥 面 、 旋 转 曲 面 的
24、定 义 ， 求 柱 面 、 锥 面 、 旋 转 曲 面 的 方 程 . 2.椭 球 面 、 双 曲 面 与 抛 物 面 的 标 准 方 程 和 主 要 性 质 ， 根 据 不 同 条 件 建 立 二 次 曲 面 的标 准 方 程 . 3.单 叶 双 曲 面 、 双 曲 抛 物 面 的 直 纹 性 及 求 单 叶 双 曲 面 、 双 曲 抛 物 面 的 直 母 线 的 方 法 . 4.根 据 给 定 直 线 族 求 出 它 表 示 的 直 纹 面 方 程 ， 求 动 直 线 和 动 曲 线 的 轨 迹 问 题 . 五 、 二 次 曲 线 的 一 般 理 论 1.二 次 曲 线 的 渐 进 方 向 、 中 心 、 渐 近 线 . 2.二 次 曲 线 的 切 线 、 二 次 曲 线 的 正 常 点 与 奇 异 点 . 3.二 次 曲 线 的 直 径 、 共 轭 方 向 与 共 轭 直 径 . 4.二 次 曲 线 的 主 轴 、 主 方 向 ， 特 征 方 程 、 特 征 根 . 5.化 简 二 次 曲 线 方 程 并 画 出 曲 线 在 坐 标 系 的 位 置 草 图 .
