1、广东省省际名校（茂名市）2018 届高三下学期联考（二）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，又 ， ， ,故选：D2. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选：D3. 设函数 在 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 在 上为减函数 B. 在 上为增函数C. 在 上为减函数 D. 在 上为增函数【答案】C【解析】A 错，比如 在 上为增函
2、数，但 在 上不具有单调性；B 错，比如 在 上为增函数，但 在 上增函数，在 上为减函数；D 错，比如 在 上为增函数，但 在 上为减函数；故选：C4. 投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作 .在一次投掷中，已知是奇数，则 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B.故选：B5. 如图，正六边形 的边长为 2，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 12【答案】C.故选：C6. 以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 的渐近线相离，则 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件可得， ， ，即 ，故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率
3、的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7. 是数列 的前 项和，且对 都有 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，可知 ，两式相减，得 ，整理得由 可得 ，则故选：A8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体 ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1
4、)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解9. 执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】随机数 x，y 的取值范围分别是 共产生 n 个这样的随机数对 .数值 i 表示这些随机数对中满足关系 的个数.故选：C10. 九章算术中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异” ，此即祖暅原理，其含义为:
5、两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组 的点 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕 轴旋转 ，所得几何体的体积为 ；满足不等式组的点 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕 轴旋转 ，所得几何体的体积为 .利用祖暅原理，可得 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由条件可得 ，用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为 h，则所得截面 ,所以 ，由祖庚原理可得又 ，所以故选：C11. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的 2 个红球和 5 个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数 的数学
6、期望是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时，第 次取出额必然是红球，而前 k-1 次中，有且只有 1 次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故 ，于是得到 X 的分布列为故故选：D12. 记函数 在区间 内的零点个数为 ，则数列 的前 20 项的和是（ ）A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660【答案】A【解析】令 ，得 或 由得 ，令 ，得 ，故共有 n 个解，由得 ，令 ，得 ，令 ，得 当 n 为偶数时，有 个解，有 个解，故有 n 个解，故当 n 为奇数时，有 个解，有 个解，故有 n+1 个解，故令故故选：A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求
7、零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 是虚数单位，复数 满足 ，则 _【答案】5【解析】由题意可得：故答案为：5点睛：复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类项，不含 的看作另一类同类项，分别合并
8、即可；复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式14. 若实数 满足约束条件 则 的所有取值的集合是_【答案】【解析】由约束条件可知，满足条件的点为 ，所以 z 可以取得值为故答案为：15. 以坐标原点 为圆心的圆与抛物线及其准线 分别交于点 和 ，若 ，则圆 的方程是_【答案】【解析】设 ，圆 O 半径为 r，则 ，A 或 B 的坐标为 ， ，解得 ，圆 O 的方程为：故答案为：16. 若对任意的 ，不等式 恒成立，则 _【答案】0 或【解析】设 ，则 ，由已知可得： 对 恒成立，令 ， ，则可知： 在 上单调递减，在 上单调递增，若 ，则 ，令 ，
9、则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，又 ， ，即 t=1，所以 则故答案为：0 或三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 所对的边分别为 ， .（1） ；（2）若 的平分线交 于点 ，且 的面积为 ，求 的长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由 ，又 ，利用余弦定理得到 ；（2）由 可得 . 设 的面积为 ， ，解得 ，再由内角平分线定理得到 ，在 中,由余弦定理可得结果.试题解析：（1）因为 ，所以 .于是， .（2）由 可得 .设 的面积为 ， ， .则 . 为 的平分线， ， .又 .
10、 .在 中,由余弦定理可得， .点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 某高三理科班共有 60 名同学参加某次考试，从中随机挑选出 5 名同学，他们的数学成绩 与物理成绩 如下表：数据表明 与 之间有较强的线性关系.（1）求 关于 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为 110 分，利用（1）中的回归方程，估计该
11、同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到 125 分为优秀，物理成绩达到 100 分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 和 ，且除去抽走的 5 名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有 5 人.能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数 ， .， .【答案】 （1） （2）82（3）可以认为【解析】试题分析：(1)由表格得到 ，进而得到 ， ，从而得到 关于 的线性回归方程；(2) 将 代入上述方程，得 ；（3）列出 22 列联表，求出 ，从而作出判断.试题解析：（1）由题意可知 ，故.，故回归方程为 .（2）将
12、 代入上述方程，得 . （3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为 30,36. 抽出的 5 人中，数学优秀但物理不优秀的共 1 人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共 6 人.于是可以得到 列联表为：于是 ，因此在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，四棱柱 的底面 为菱形
13、，且 .（1）证明：四边形 为矩形；（2）若 ， 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1)由四棱柱性质可知四边形 为平行四边形，连接 ，设，连接 .，易证 平面 ， . ，； (2) 过点 作 平面 ，垂足为 ，由已知可得点 在 上，证明点 与点 重合，则 平面 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 求出平面与平面 的法向量，代入公式计算即可.试题解析：（1）证明:连接 ，设 ，连接 . ， .又 为 的中点， 平面 ， . ， .又四边形 是平行四边形，则四边形 为矩形.（2）解:过点 作 平面 ，垂足为 ，由已知可得点 在 上， . 设
14、 ，则 .在菱形 中， ， . 点 与点 重合，则 平面 .以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 .则 . .设平面 的法向量为 ，则 , 即取 ，可得 为平面 的一个法向量.同理可得平面 的一个法向量为 。 .所以二面角 的余弦值为 . 20. 设椭圆 的离心率为 ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为.（1）求 的方程；（2）过 的左焦点 作直线 与 交于 两点，过右焦点 作直线 与 交于 两点，且 ，以 为顶点的四边形的面积 ，求 与 的方程.【答案】(1) (2) 所求方程为 或.【解析】试题分析：(1) 由已知得 ，解得 ，从而得到 的方程；（2）设 ，代入 得 ，求得 ，设 的方程为
15、 ，则 与 之间的距离为 . = ，解得 ，从而得到 与 的方程.试题解析：（1）由已知得 ，解得 ，椭圆 的方程为 .（2）设 ，代入 得 ，设 ，则 .设 的方程为 ，则 与 之间的距离为 .由对称性可知，四边形为平行四边形， .令 ，则 ， ，即 ，解得 或 (舍） ， .故所求方程为 或 .21. 已知 .（1）讨论 的单调性；（2）若 有三个不同的零点，求 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1） ，对 a 分类讨论，从而得到 的单调性；（2） ，则 ，对 a 分类讨论，研究函数 的图象走势，从而得到 的取值范围.试题解析：（1）由已知 的定乂域为 ，又 ，当
16、 时， 恒成立； 当 时，令 得 ；令 得 .综上所述，当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数.（2）由题意 ，则 ，当 时， ， 在 上为增函数，不符合题意.当 时， ，令 ，则 .令 的两根分别为 且 ，则 ， ，当 时， ， ， 在 上为增函数；当 时， ， ， 在 上为减函数；当 时， ， ， 在 上为增函数. ， 在 上只有一个零点 1，且 。，. ，又当 时， . 在 上必有一个零点. . ，又当 时， ， . 在 上必有一个零点.综上所述，故 的取值范围为 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4
17、：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角).（1）若 ，求 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）若 与 有两个不同的交点 ，且 为 的中点，求 .【答案】 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1） 时，把直线 l 的参数方程和曲线 的极坐标方程华为普通方程；（2）把 代入抛物线方程 得 ，由，解得 ，从而 ，解得 .试题解析：（1） 的普通房成为 ，的直角坐标方程为 .（2）把 代入抛物线方程 得 ，设 所对应的参数为 ，则 . 为 的中点， 点所对应的参数为 ， ，即 .则 变为 ，此时 ， .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）求函数 的最小值 ；（2）根据（1）中的结论，若 ，且 ，求证: .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1） ,从而得到函数 的最小值 ；（2）利用反证法证明不等式.试题解析：（1）解： ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 .（2）证明:假设: ，则 .所以 . 由（1）知 ，所以 . 矛盾，所以 .
