1、容斥原理类型的题目的难点就在于在运算的时候，计数的重复，遗漏问题。容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结既无重复也无遗漏。 这种类型是目前国家、各地区公务员考试的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。因此大家需要认真去对待掌握。特别是对于基础的图形模型要了然于胸。容斥原理类型我们一般通过两种方法去解决，公式法和韦恩图解法。图解法是通过画图来求解，相信大家都能做到，这里介绍的一下公式法。核心公式：(1) 两个集合的容斥关系公式：AB=A B AB(2) 三个集合的容斥关系公式：A
2、BC=A B CABBCCAA BC另外还将下面另外一种方程式的公式，首先请参考下图，通过一个例题来理解。(1) 两个集合的容斥关系（二元）这个原图的核心部分再与中间的 2 个圆构成的内容，我们知道 2 圆相加必然重复算了一次中间部分 T：x+y (A+T)+(B+T) 要计算实际的 2 圆元素数量 即必须把重复的去掉为 x+y-T。如果要求 A 或者 B 是多少。我们只需把对应 x 或 y 去掉公共部分 T 就可得到。如果要求 T 是多少。我们只需把 x+yAB 元素的总和即得到重复的部分 T。另外，两个圆 x 和 y 构建的不一定是所有元素。这个时侯我们一定要想办法把这些不是圆内的元素去除
3、掉，否则应用容斥原理就会有麻烦。反过来我们也可以利用这个求所有不参与圆的元素之和。(2) 三个集合的容斥关系（三元）例题：假设有 100 人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有 55 人，参加语文兴趣小组的有65 人，参加英语兴趣小组的有 70 人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是 31 人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是 40 人，同时参加语文和英语兴趣小组的有 25 人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人？（1） A+B+T=至少参与一项的总人数（无重叠） （2） A2B3T至少参与一项的总人数（含重叠部分） （3） B3T至少参与两项的总人数（含重叠）（4） T 三项都参与
4、的人数。这里介绍一下 A、 B、T 分别是什么 Axyz；表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。Babc；表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和（不含中间的 T 区域）T全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分 T。例题通过公式有如下解法：（1） ABT100 ；（2） A2B3T556570190（3） B3T31 40 2596实际上我们要求的是 T， （1）（3）（2 ）T。 即得到答案 T100 96 190 61、二元容斥应用二元容斥主要涉及到的集合只有 2 个，在分析题目的时侯千万要弄清楚谁是集合对象，一般就要从提问入手
5、，看提问中涉及到的关键词是什么。另外不要被其他成份的对象干扰。一定选准了集合对象就要瞄准这个方向走下去。例题 90：某代表团有 756 名成员，现要对 A、B 两议案分别分进行表决，且他们只能投赞成票或反对票。已知赞成 A 议案的有 476 人，赞成 B 议案的有 294 人，对 A、B 两议案都反对的有 169 人，则赞成 A 议案且反对 B 议案的有（ ） 【07 浙江】A.293 B.182 C.183 D.462参考答案 A。我们先对提问分析，提问的含义实则是“只”反对 B 议案的人数是多少。那么我们可以通过反对议案这个角度构建容斥。 反对 B 的人数是 756-294=462 人，两
6、者都反对的是 169 人。那么只反对 B 的就是 462-169=293 人。例题 91：旅行社对 120 人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为 5：3；喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为 7：5 ；两种活动都喜欢的有 43 人。对这两种活动都不喜欢的人数是（ ）。 【09 广东】A18 B27 C28 D32 参考答案 A。至少喜欢一种的人数=喜欢游泳的+ 喜欢爬山的-重复部分既喜欢游泳又喜欢爬山的。因此有 1207/12+1205/8-43=102. 两者都不喜欢的即等于总人数去掉至少喜欢一项的人数：120-102=18 人。如果你注意观察选项你也会发现 18+27=45, 18+
7、32=50 分别是不喜欢爬山和不喜欢游泳的人数。也能确定 A 选项。例题 92：某单位派 60 名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有 12 人穿白上衣蓝裤子，有 34 人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？ 【10黑龙江】 .12 .14 .15 .29参考答案 C。注意建立容斥关系，要求的是黑色上衣和黑色裤子的相交部分。已知条件告诉我们黑色上衣，黑色裤子各是多少。那么我们只需要知道穿黑色上衣或黑色裤子至少穿一个的人数是多少。 即从总人数中去掉不涉及黑色的人数 6012 48. 剩下的就是 2 元容斥。即答案是（x+y ）-参与的总人数
8、=34+29-4815人。例题 93：某公司 100 名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的 3/5，对乙满意的人数比甲的人数多 6 人，对甲乙都不满意的占满意人数的 1/3 多 2 人，则对甲乙都满意的人数是（ ） 【10 广东】A. 36 B. 26 C. 48 D. 42参考答案 D。要求都满意的人数。我们可以建立等式参与人数参与 A+参与 B参与 AB。则有(1003/52)+6-100=26,这是理想状态下没有都不满意的时侯的人数事实上我们少算了都不满意的人数，那么这个 26+228 就是都满意和都不满意差值占都满意的 2/3 即答案是 283/2=42
9、. 也可直接列方程，令都满意的为 a，则都不满意的为 a/3 +2. 即可以建立方程 100-(a/3+2)=1003/52+6-a 即也可解得 a=42.2、三元容斥公式应用实例三元容斥涉及的对象比较多。我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。本小节先对一般情况的题目做一些分析。例 94：如图所示， X、Y、Z 分别是面积为 64、180、160 的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是 290，其中 X 与 Y、Y 与 Z、Z 与 X 重叠部分的面积依次是 24、70 、36，那么阴影部分的面积是： 【09 国考】 A15 B 16 C14 D18参考答案为 B。 这就是典型的容斥原理
10、图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式（1） ABT 290（2） A2B 3T64 180160 404（3） B3T 24 70 36130则组合这些表达式就会得到：（1）（3 ）（2）T29013040416 故答案是 16 例 95：某市对 52 种建筑防水卷材产品质量抽检，其中 8 种产品的低温度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？【11 国考】 A.37 B.36 C.35 D.34 参考答案 D。 这个题目很有意思，他把我们传统做
11、容斥原理的习惯思维颠覆了一下。通常我们都是根据已知条件 多少合格的人后求多少不合格的。那么这里我们也可以把公式所代表的含义颠倒过来用，A 表示至少有一项不合格， B 表示至少有 2 项不合格，T 表示三项都不合格。根据公式 : (1) A+2B+3T=8+10+9=27; (2) B=7; (3) T1.可得到 A+B+T=27-B-2T=27-7-2=18. 因此合格的有 521834. 例 96：甲、乙、丙三个人共解出 20 道数学题，每人都解出了其中的 12 道题，每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比容易题多（ ）题?
12、A6 B5 C4 D3 参考答案 C。 稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的 A所表示的；中等题目是只重叠过 1 次，也就是公式当中的 B，简单题则是公式当中的 T。（1）ABT20（2）A2B 3T12336要求解的是 AT？；通过上述两个表达式变型可得到： (1)2-(2)=A-T=202-36=4. 如果不知道怎么变型求解。可以利用我们上面讲的代入消去法去做，令 B=0, 则可把三元变为 2 元。即 T=8，A=12. 即 A-T=4.3、 “只”值容斥解题思路“只”值容斥类型。其实是从提问方式角度划分出来的。有些题目会问只喜欢或只参加某种集合的人数。
13、面对这种带“只” 的题目，通常我们是采用逆向思考方式来化三元变为二元容斥。比如说，告诉你总人数，要求只喜欢 A 的人数。我们可以逆向思维。总人数喜欢其他的人数和，剩下的就是只喜欢 A 的人数了。这就转化为只看其他 2 元的求和问题了。例题 99：对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有（ ）。 【07 国考】A22 人 B28 人 C30 人 D36 人参考答案 A。可以画
14、图和列举公式来做的 不过耗时。这个“只喜欢”的问法 往往我们可以逆向思维（1）只喜欢看电影的人数总人数喜欢看戏剧和球赛的总人数（2）喜欢看戏剧喜欢看球赛的583896 人 这部分即喜欢看戏剧又喜欢看球赛的人数是 18 人，所以 喜欢看戏剧和球赛的人数961878 人，则答案是：只喜欢看电影的人数1007822 人。可能很多人还是不能理解这里面的道理，没关系，我们可以再次看上面的三元容斥图。假设红色圆圈“x”就是我们要求的部分，他相当于整体去掉黑色圆+ 蓝色圆之和（无重复），这就是我们做此题的一个逆向思路。从这个题目上我们应该有一个启发，很多东西不是按步就班的考察你的公式，而是考察你的能力，例如此题的逆向思维能力！
