1、- 1 -教师住房分配问题摘要本题住房问题是涉及到多因素的问题，这些因素这些因素的重要性、影响力或者是优先程度通常不易定量地量测。所以我们采用“层次分析法”。首先，建立层次结构模型。根据题意，将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即住房问题，最下层为方案层，有 50 名老师，中间层为准则层，有职称、工龄、学历、教学情况 4 个准则。其次，构造成对比较阵。从准则鞥开始，对于从属于（或影响及）上一层每个元素的同一层诸元素，用成对比较法和 19 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。然后，计算权向量并作一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标
2、和一致性比率做一致性检验。检验通过后，特征向量进行归一化后，正是权向量 =(0.5583, 0.1861, 0.1160, 0.1396)。运用MATLAB 运算，得出矩阵 C 的最大特征向量，且 。又 时，认为判1maxnCI10.CR断矩阵的一致性是可以接受的，所以，构造的矩阵 C 通过一致性检验。最后，计算组合权向量并做组合一致性检验。关键词：层次分析法 MATLAB 一、问题重述某中学现有 30 套福利房欲分配给该校老师，而该校有 50 位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房时只考虑职称、工龄、学历、教学情况 4 种因素。了解了每位老师的情况后，需要给出合理的方案，使得福利房的落实能够
3、切实出于对这 4 种因素的量化，从 50 位教师中筛选出 30 位教师。该方案必须既能体现教师对学校贡献的大小，又能体现学校对优秀教师的认可鼓励和政策导向。二、背景分析人们在处理一些决策问题时要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同点是涉及到社会、经济、人文等因素。解决这些问题的主要困难在于，在作比较、判断、评价、决策的时候，这些因素这些因素的重要性、影响力或者是优先程度通常不易定量地量测。人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受。TL.Saaty 等人在 20 世纪 70 年代提出了一种能有效地处理这样一类问题
4、的实用方法，称层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称 AHP），这是一种定性和定- 2 -量相结合的、系统化、层次化的分析方法。层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总
5、目标的最终权重，此最终权重最优者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。三、问题分析本题中的住房分配问题，考虑到要科学确立职称，工龄，学历，教学情况 4 个因素的权重问题。因此，我们采用层次分析法，通过比较尺度衡量 4 个因素的权重大小，构造非一致性矩阵
6、，求其权向量，把模糊的强弱关系量化。将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即住房问题，最下层为方案层，有50 名老师，中间层为准则层，有职称、工龄、学历、教学情况 4 个准则。通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些准则在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。参考数据，把不同教师各项因素的不同情况直接量化，分别构造一致阵，求出权向量。最后措施层组合向量和准则层权向量相乘得到总权值，依此排序筛选。四、符号说
7、明：表示第 个因素相对于第 个因素的比较结果；ijaij： 矩阵的最大特征值；：表示准则层权向量；：表示权影响因素权向量（i=1,2,3,4分别对应职称、工龄、学历、教学）；i： 第 个人对第 个因素的影响程度的权重，njbj（ =1，2，50， =1，2，5）；：表示成对矩阵；A- 3 -： 表示第i个方案层对准则层的优越性比较成对矩阵（i=1,2,3,4分别对应职称、工B龄、学历、教学）；： 表示编号为i的教师；P： 影响因素（i=1,2,3,4分别对应职称、工龄、学历、教学）。iC五、模型假设1. 假设分配住房只考虑下列 4 个因素：职称、工龄、学历、教学情况，而不考虑是否已有住房或住房
8、的挑选等问题。2. 假设每位教师至多分得 1 套住房。3. 假设最终所得分值相同时，按照教学、科研、学历、工龄、职称的顺序依次优先；所有条件相同则抽签决定排序。六、模型的建立与数据处理1. 构造层次结构模型据题意，住房分配问题的考虑因素有职称、学历、工龄、教学 4 项，以这 4项为准则层，构造了如图 1：图 1.层次结构模型2. 准则层1) 构造判断矩阵Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。准则层有5个影响综合排名的因素，要比较它们对上一层目标的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。 （即把 个因素对上层某一目标的影响程度排序）n- 4 -.这里的比较
9、是两两因素之间进行比较，比较时取19的尺度，尺度 含义1 第 个因素与 个因素的影响相同ij3 第 个因素比 个因素的影响稍强5 第 个因素比 个因素的影响强ij7 第 个因素比 个因素的影响明显强9 第 个因素比 个因素的影响绝对的强ij2,4,6,8 表示第 个因素相对于第 个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。构造成对比较矩阵 ,其中 表示第 个因素相对于第 个因素的比较结果，所Aijaij以 ，则1ijjia13542514A2) 计算准则层权向量对于矩阵 根据 matlab 可求得其最大特征值为 4.0407,A并对其对应的特征向量进行归一化后所得的权向量为：=(0.5583, 0.
10、1861, 0.1160, 0.1396)对应的各因素的权重表如下：（表一）准则层 职称 工龄 学历 教学权重 0.5583 0.1861 0.1160 0.13963) 对准则层判断矩阵进行一致性检验对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i）计算一致性指标 CI（ 为矩阵对应的最大特征根，n 为矩阵维数）1maxnImax- 5 -（ii）查找相应的平均随机一致性指标 。对 ，Saaty 给出了 的值，RI9,1nRI如下表 3 所示：表 3.随机一致性指标 的数值（表二）n1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 值
11、是用随机方法构造 500 个样本矩阵，随机地从 19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值 ，并用如下定义得到的：max1axnRI（）计算一致性比例 ：C当 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作10.CR适当修正。本实例中，运用 MATLAB 运算（程序见附录）得出矩阵 C 的最大特征向量为=4.0407，此时 = =0.0136。又据表 3 可知当 n=4 时，max1maxnI4.07=0.90，所以 ，构造的矩阵 C 通过一致性检验。RI3. 决策层：量化所有教师在 4 项因素中的程度并求各项权向量1) 对数据进行量化处理表：（表三）职称 高级
12、8 中级5 初级3工龄 INT(工龄/4)+1学历 研究生7 本科生5 专科3教学 好7 一般5 差2将原数据表格按照上述标准进行量化处理，处理后的表格五量化处理后的表格人员 职称 工龄 学历 教学 人员 职称 工龄 学历 教学P1 8 8 3 7 P26 3 3 5 7P2 8 7 5 5 P27 3 2 5 5P3 8 6 5 5 P28 3 3 5 5P4 8 6 3 7 P29 3 2 5 2P5 8 5 5 5 P30 3 2 7 5P6 8 4 7 2 P31 3 2 5 7P7 5 4 7 5 P32 3 1 5 5P8 5 5 5 5 P33 3 1 3 5I- 6 -P9 5
13、 4 5 5 P34 3 2 5 7P10 5 3 5 7 P35 3 2 5 5P11 5 3 3 2 P36 3 2 3 2P12 5 3 3 7 P37 3 3 7 5P13 5 3 5 2 P38 3 2 7 7P14 5 4 5 5 P39 3 1 5 5P15 5 4 3 7 P40 3 2 5 7P16 5 3 5 5 P41 3 1 5 5P17 5 3 3 2 P24 3 2 5 7P18 5 2 5 5 P43 3 1 5 5P19 5 3 3 7 P44 3 1 3 2P20 5 3 3 5 P45 3 2 7 7P21 5 3 5 5 P46 3 2 5 5P22 5
14、3 5 5 P47 3 1 5 7P23 5 4 5 5 P48 3 2 7 7P24 5 3 5 5 P49 3 1 5 5P25 5 3 3 2 P50 3 1 5 52) 取量化后的数据,构造一致阵 (i=1,2,3,4)后，矩阵各元素 即为对应量iBijb化后数据之比,分别求出归一化特征向量，仍然在 MATLAB 中求特征向量，（程序见附录）并归一化求出对应各因素的权向量 (i=1,2,3,4)，所得i权向量表格见表格六。表六 所有教师在各因素中所占权重职称 1工龄 2学历 3教学 4职称 1工龄 2学历 3教学 40.0367 0.0559 0.0125 0.0273 0.0138
15、0.021 0.0208 0.02730.0367 0.049 0.0208 0.0195 0.0138 0.014 0.0208 0.01950.0367 0.042 0.0208 0.0195 0.0138 0.021 0.0208 0.01950.0367 0.042 0.0125 0.0273 0.0138 0.014 0.0208 0.00780.0367 0.035 0.0208 0.0195 0.0138 0.014 0.0292 0.01950.0367 0.028 0.0292 0.0078 0.0138 0.014 0.0208 0.02730.0229 0.028 0.0
16、292 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.01950.0229 0.035 0.0208 0.0195 0.0138 0.007 0.0125 0.01950.0229 0.028 0.0208 0.0195 0.0138 0.014 0.0208 0.02730.0229 0.021 0.0208 0.0273 0.0138 0.014 0.0208 0.0195- 7 -3) 由于此处我们已对数据进行量化处理，矩阵各元素即为对应量化后数据之比，所以矩阵就是一致阵，因此此处不用进行一致性检验，所得归一化特征向量就是权向量。七、结果分析1. 层次总排序及一致性检验：我们
17、已得到各准则对目标的权向量和各人对每一准则的权向量，因此我们得到组合权向量，它应为前两项的相应项的两两乘积之和，此处即可为一个 50 4 与一个 4 1 矩阵之积，即为得到组合权向量的矩阵。 按照总权重排序得到结果（表四）教师序号 总权重 排名 教师序号 总权重 排名1 0.0361 1 26 0.0178 262 0.0347 2 37 0.0177 274 0.0336 3 38 0.0175 283 0.0334 4 45 0.0175 295 0.0321 5 48 0.0175 306 0.0301 6 28 0.0167 318 0.0244 7 31 0.0166 327 0.0
18、241 8 34 0.0166 330.0229 0.021 0.0125 0.0078 0.0138 0.014 0.0125 0.00780.0229 0.021 0.0125 0.0273 0.0138 0.021 0.0292 0.01950.0229 0.021 0.0208 0.0078 0.0138 0.014 0.0292 0.02730.0229 0.028 0.0208 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.01950.0229 0.028 0.0125 0.0273 0.0138 0.014 0.0208 0.02730.0229 0.021 0.02
19、08 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.01950.0229 0.021 0.0125 0.0078 0.0138 0.014 0.0208 0.02730.0229 0.014 0.0208 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.01950.0229 0.021 0.0125 0.0273 0.0138 0.007 0.0125 0.00780.0229 0.021 0.0125 0.0195 0.0138 0.014 0.0292 0.02730.0229 0.021 0.0208 0.0195 0.0138 0.014 0.0208 0.019
20、50.0229 0.021 0.0208 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.02730.0229 0.028 0.0208 0.0195 0.0138 0.014 0.0292 0.02730.0229 0.021 0.0208 0.0195 0.0138 0.007 0.0208 0.01950.0229 0.021 0.0125 0.0078 0.0138 0.007 0.0208 0.0195- 8 -15 0.0233 9 40 0.0166 349 0.0231 10 42 0.0166 3514 0.0231 11 30 0.0164 3623 0.0231
21、 12 27 0.0154 3710 0.023 13 35 0.0154 3812 0.022 14 46 0.0154 3919 0.022 15 47 0.0153 4016 0.0218 16 32 0.0142 4121 0.0218 17 39 0.0142 4222 0.0218 18 41 0.0142 4324 0.0218 19 43 0.0142 4420 0.0209 20 49 0.0142 4518 0.0206 21 50 0.0142 4613 0.0202 22 29 0.0138 4711 0.0192 23 33 0.0132 4817 0.0192 24
22、 36 0.0128 4925 0.0192 25 44 0.0115 50计算总权重的程序见附录，易知， CI=(c-4)/(4-1)CI =0.0136 RI=0.90; CR=CI/RICR =0.0151程序二%对方案层 B1 矩阵求归一化特征向量- 12 -B1=8,8,8,8,8,8,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3;for x=1:1:50for y=1:1:50C1(x,y)=B1(x)/B1(y);C1(y,x)=1/C1(x,y);y
23、+1;endendv,d=eig(C1);c=max(diag(d)f=find(diag(d)=max(diag(d);w1=v(:,f)/sum(v(:,f)程序三%对方案层 B2 矩阵求归一化特征向量B2=8,7,6,6,5,4,4,5,4,3,3,3,3,4,4,3,3,2,3,3,3,3,4,3,3,3,2,3,2,2,2,1,1,2,2,2,3,2,1,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1;for x=1:1:50for y=1:1:50C2(x,y)=B2(x)/B2(y);C2(y,x)=1/C2(x,y);y+1;endendv,d=eig(C2);c=max(diag
24、(d)f=find(diag(d)=max(diag(d);w2=v(:,f)/sum(v(:,f)程序四%对方案层 B3 矩阵求归一化特征向量B3=3,5,5,3,5,7,7,5,5,5,3,3,5,5,3,5,3,5,3,3,5,5,5,5,3,5,5,5,5,7,5,5,3,5,5,3,7,7,5,5,5,5,5,3,7,5,5,7,5,5;for x=1:1:50for y=1:1:50C3(x,y)=B3(x)/B3(y);C3(y,x)=1/C3(x,y);y+1;endendv,d=eig(C3);c=max(diag(d)f=find(diag(d)=max(diag(d);w
25、3=v(:,f)/sum(v(:,f)- 13 -程序五%对方案层 B4 矩阵求归一化特征向量B4=7,5,5,7,5,2,5,5,5,7,2,7,2,5,7,5,2,5,7,5,5,5,5,5,2,7,5,5,2,5,7,5,5,7,5,2,5,7,5,7,5,7,5,2,7,5,7,7,5,5;for x=1:1:50for y=1:1:50C4(x,y)=B4(x)/B4(y);C4(y,x)=1/C4(x,y);y+1;endendv,d=eig(C4);c=max(diag(d)f=find(diag(d)=max(diag(d);w4=v(:,f)/sum(v(:,f)程序六%求总权值及总排序C=w1,w2,w3,w4;w=C*(g)w
