1、 第 7 讲 概率 (一)概率的一些术语及基本知识1.基本事件：一次试验( 例如掷骰子) ，可能有多种结果，每个结果称为基本事件2.样本空间：基本事件的集合，称为样本空间，也就是基本事件的总体本讲记为 I3.随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件4.必然事件：在试验中必然发生的事件，即样本空间 I 自身它的概率为 1，即 P(I)=1.5.不可能事件：不可能发生的事件，即空集 它发生的概率为 0，即 P()=06.互斥事件：事件 A、B 不能同时发生，即 AB=，则称 A、B 为互斥事件，也称为互不相容的事件(也称互不相容的事件 )7.和事件：A B 称为事件 A 与 B 的和事件8.
2、积事件：A B 称为事件 A 与 B 的积事件，也简记为 AB9.概率：概率是样本空间 I 中的一种测度，即对每一个事件 A，有一个实数与它对应，记为P(A)，具有以下三条性质：(1)P(A)()(非负性)；(2)P(I)=l；(3)在 A、B 为互斥事件时， P(AB)=P(A)+P(B)( 可加性)10.频率：在同样的条件下进行 n 次试验，如果事件 A 发生 m 次，那么就说 A 发生的频率为mn11.古典概型：如果试验有 n 种可能的结果，并且每一种结果发生的可能性都相等，那么这种试验称为古典概型，也称为等可能概型，其中每种结果发生的概率都等于 1n12对立事件：如果事件 A、B 满足
3、 A B=，AB=I,那么 A、B 称为对立事件，并将B 记为 我们有一个常用公式 P( )=lP(A)A13.条件概率：在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发牛的概率称为条件概率，记为 P(BA)我们有 P(AB)=P(A)P(BA)即 P(BA)= P(AB)P(A)注意 P(BA)，P(B)，P(AB)的不同P(B)是事件 B 上发生的概率(没有条件) ；P(B A)是A 已经发生的条件下，B 发生的概率；P(AB)是 B 已经发生的条件下，A 发生的概率14.独立事件：如果事件 A 是否发生，对于事件 B 的发生没有影响，即 P(BA)=P(B)那么称 A、B 为独立事件易知这时
4、P(AB)=P(A)P(B)，并且 P(AB)=P(A),即 B 是否发生，对于 A 的发生没有影响所以事件 A、B 是互相独立的15.全概率公式：如果样本空间 I 可以分拆为 B1，B 2，B n，即 B1B 2B n=I 并且Bi Bj= 1 ijn 那么事件 A 发牛的概率 P(A)=() 1()iiiPA=A 类 例 题例 1 (2004 年重庆理工卷)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为
5、 （ ）A B C D1010140120例 2 (2004 年全国卷)某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（1）求这名同学得 300 分的概率；（2）求这名同学至少得 300 分的概率.情景再现1 (2003 年全国高考上海卷) 某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示)2(1
6、)一圆周上均匀分布着 1996 个点, 从中均等地选出 A、B、C、D 四个不同的点, 则弦AB 与 CD 相交的概率是 ( )A、 . B、 . C、 . 14 1312D、 .3(2)记号为 1,2,3 的三个球放在一个缸子中. 将一个球从缸子中取出, 把它的号码记下来, 然后再将它放回到缸子里. 这个过程重复三次. 每个球在每次过程中被抽出的机会是等可能的. 如果记录的数码之和为 6, 那么其中记号为 2 的球三次全被抽出的概率为( )A、 . B、 . C、 . 12718 17D、 .6B 类 例 题例 3 (2003 年江苏卷)有三种产品，合格率分别是 0.90， 0.95 和 0
7、.95，各抽取一件进行检验.（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001）例 4(2004 年全国高考湖南卷 )甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等41品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概12率为 92（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率例 5 抛挪一枚硬币，每次正面出现得 1 分，反面出现得 2 分，试证: 恰好得到 n 分的
8、概率是 213n例 6 (2005 年全国高考江苏卷)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 假设23.4两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（1）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；（2）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；（3）假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问: 乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？情景再现3棱长为 1 的正四面体 ABCD，有一小虫从顶点 A 处开始按以下规则爬行 :在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的 3 条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头
9、记小虫爬了 n 米后重新回到点 A 的概率为 Pn(1)求 P1 和 P2 的值;(2)探寻 Pn 与 Pn1 的关系;(3)求P n的表达式 4 一个数由 7 个数字组成这 7 个数字的和为 59.求这个数被 11 整除的概率C 类例题例 7 在给定的圆周上随机地选六个点 A，B，C，D ，E，F求ABC 与 ADEF 的边(线段)互不相交的概率例 8 给定三只相同的有 n 个面的骰子它们的对应面上标上同样的任意写的整数证明如果随意投掷它们，那么向上的三个面上的数的和被 3 整除的概率不小于 14情景再现5有人玩掷硬币走跳棋游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是 ，棋盘上标有第 0 站，2第
10、1 站，第 2 站，第 100 站，一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币棋子向前或向后跳若掷出正面，棋子向前跳动一站；若掷出的反面，则棋子向前跳动两站，直到棋子跳到第 99 站( 胜利大本营 )或第 100 站(失败大本营) 时，游戏结束，设棋子跳到第 n 站的概率为Pn（I）求 P0,P1,P2；（II）求证：P nP n1 = (pn1 P n2 )；（）求 P99 及 P1006三名棋手 A，B，C 进行循环赛先是 A 同 B 比赛，胜者再与 C 比赛，新的胜者再与上次比赛的败者比赛如此继续下去，直至有一名选手连胜两次这名选手就是冠军(1)如果三人棋力相当，问各人得冠军的概率各是多
11、少 ?(2)如果第一盘 A 胜，那么三人分获冠军的概率是多少?习题 7A 类题1. 有五条线段，长度分别为 1,3,5,7,9，从这五条线段中任取三条，则所得的三条线段不能拼成三角形的概率是 ( )A. B. C. D. 2535710452. 若 a,b,c 是从集合 中任取的三个元素(不一定不同). 则 ab+c 为偶数的概率为1,24A、 . B、 . C、 . D、 .92623. 把编号为 1 到 6 的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，则有一盒全是偶数号球的概率为 ( ) A. B. C. D. 52535134. 有 5 副不同的手套, 甲先任取一只, 乙再任取一只, 然后甲又
12、任取一只, 最后乙再任取一只. 求下列事件的概率.(1) A：甲正好取得两只配对手套. ； (2) B：乙正好取得两只配对手套；(3)A 与 B 是否独立？5. (2005 年上海市高中数学竞赛) 、 、 、 、 是从集合 中任取的 5 个元素abcde1,234（允许重复） ，则 为奇数的概率为 abcde6. (第六届北京高中数学知识应用竞赛)体育彩票的抽奖是从写在 36 个球上的 36 个号码随机摇出 7 个有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会
13、相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？B 类题7. (2005 年全国高考湖南卷)某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（）求 3 个景区都有部门选择的概率；（）求恰有 2 个景区有部门选择的概率.8. 如果从某个五位数的集合中随机地抽出一个数, 它的各位数字和均等于 43, 求这个数可以被 11 除尽的概率.9. 有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为 A、B 两方，开始时棋子放在 A 方，根据下列、的规定移动棋子：骰子出现 1 点时，不能移动棋子；出现 2、3、4、5 点时，把棋子移向对方；出现
14、6 点时，如果棋子在 A 方就不动，如果棋子在 B 方就移至 A 方(1)求将骰子连掷 2 次，棋子掷第一次后仍在 A 方而掷第二次后在 B 方的概率(2)将骰子掷了 n 次后，棋子仍在 A 方的概率记为 Pn, 求 Pn10. 将 A，B ，C 三个字母之一输入，输出时为原字母的概率是 a，为其他两个字母之一的概率都是 现将字母串 AAAA，BBBB ，CCCC 之一输入，输人的概率分别为 p1，p 2，p 3 1 a2(p1+p2+p3=1)发现输出为 ABCA求输入为 AAAA 的概率是多少 ?(假定传输每个字母的工作是互相独立的)C 类题11. (2005 年全国高中数学竞赛) 将编号
15、为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）12. (2004 年全国高中数学竞赛) 一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算过关问：2n（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3 ，4，5，6 点数的均匀正方体抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数 ）参考答案
16、参考答案-例 1 分析 排列组合问题，往往以实际问题面目出现，它解法灵活, 而排列组合又是概率的基本知识，如等可能性事件中有一类概率问题，它常与排列组合知识紧密联系，本题既考查了解排列组合问题的“捆绑法” ，又考查了“插空法” ，分别计算出带条件与不带条件限制的排法总数，再按照概率的意义求出概率即可解 将一班 3 位同学视为一个整体，将这一整体与其他班的 5 位同学进行全排列,共有种方法，并且他们之间共留下了 7 个空隙，将余下的二班的 2 位同学分别插入,共有63A种方法，故一班有 3 位同学恰好被排在一起，而二班的 2 位同学没有排在一起排法总数27为 .6327故所求的概率为 .【答案】
17、B20110763A例 2 分析 本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力. 解题突破口：(1)这名同学得 300 分的概率必是第 1、2 题一对一错,这样得 100 分,而第 3 小题一定答对, 所以共得到 300 分.(2)至少 300 分意思是得 300 分或 400分.故两种概率相加即可.解 记“这名同学答对第 i 个问题 ”为事件 ，则)3,21(iAP（A 1）=0.8，P（A 2）=0.7，P（A 3）=0.6. （1）这名同学得 300 分的概率： P1=P（A 1 A3）+P （ A2A3）21=P（A 1）P
18、 （ ）P（A 3）+P（ ）P （A 2）P（A 3）1=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228. （2）这名同学至少得 300 分的概率：P2=P1+P（A 1A2A3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3）=0.228+0.80.70.6=0.564. 例 3 分析 本题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力, 正确利用相互独立事件、互斥事件、独立事件重复发生概率的计算公式解决此类问题.解 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.（1） ， 95.0)(,90.)(CPBAP .05)(,10.)(CP因为事件 A
19、，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.105.90.2 )()()()()( BA答：恰有一件不合格的概率为 0.176. (2)解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()( CPCBAP012.5.109.510.25.90 解法二：三件产品都合格的概率为 82)()( 由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为.01)76.1.0(76.1CBAP答：至少有两件不合的概率为 0.012. 例 4 分析 本题考查相互独立事件、互斥事件概率的计算及分析和解决实际问题的能力这是一个逆向思考题,还是以正向思维解决为佳可先设甲、乙、丙三台机床
20、各自加工零件是一等品的概率,再由题意列出方程组并解之可解决此类问题解（1）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件由题设条件有 .92)(,14)()(.92)(,14)( CPABAP即由、得 代入得 27P(C)251P(C)+22=0 )(891)(CPB解得 （舍去） 32或将 分别代入 、 可得 )( .41)(,3BPA即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 .32,（2）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 .6514)(1)()(1)(1)( CPP故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个
21、一等品的概率为 说明 这类问题直接求概率较为困难,若用待求概率去表示已知概率 ,就得到了待求概率的方程,使概率问题成为方程问题 ,从而问题迎刃而解例 5 分析 数列与概率的交汇题需要综合使用数列与概率中的主干知识，特别是概率中探索的 Pn 与 Pn1 关系的思路，以及由数列的递推公式求数列的通项公式的方法和手段都给我们留下了极其深刻的印象解 设恰好得到 n 分的概率为 Pn，则得到 n1 分的概率为 Pn1 ，得到 n2 分的概率为Pn2 要得 n 分，必须满足以下情形:先得 n1 分，再掷一次正面，此时概率为 ,或为先得1nn2 分，再掷一次反面，此时概率为 因为这两种情况是互斥的, 2n故
22、有 由题意 而nP12n2n 212143nnnP)(21212nnnn P即 累加可得 nnnP1()(4()2121 nP213n例 6 分析 本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有 3 次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解 (1)记“甲连续射击 4 次至少有一次末中目标 ”为事件 A1，由题意知，射击 4 次，相当于作 4 次独立重复试验，故 =)(1)(PA.86532(4答：甲连续射
23、击 4 次至少有一次末中目标的概率为： .1（2）记“甲射击 4 次，恰有 2 次射中目标”为事件 A2， “乙射击 4 次，恰有 3 次射中目标”为事件 B2,则P 278)31()2)(42CA643B由于甲乙射击相互独立，故 .816427)()(22 BPA答：两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 .（3）记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3“乙第 i 次射击末中”为事件 Di（I=1,2,3,4,5）,则 A3= ，且 由于各事件相互独立，12345D 41)(i故=)()()( 123453 PDPA .025)(答：乙恰好射击 5
24、 次后被中止射击的概率为 .045例 7 解 在 6 个点中取 3 个点作为ABC 的顶点，有 C =20 种方法其中 3 个点相邻的方63 法有 C =6 种(第一个点选定后，另两个依顺时针次序紧随它的点也就唯一确定)，而这样得61 到的ABC 与余下三点组成的DEF 的边互不相交所求概率为 = .620 310例 8 解 不妨设每个面上的数是 0，l ，2(将每个数换成它除以 3 后所得的余数)又设每个骰子上 0 有 a 个，1 有 b 个，2 有 c 个这里 0a,b,c n并且 a+b+c=n随机掷 3 只骰子，总可能有 n3 种其中和被 3 整除的有以下情况：0，0，0； 0，1，2
25、 ；1 ，1，1；2，2 ，2共 a3+b3+c3+6abc 种概率为a3+b3+c3+6abcn3 4(a3+b3+c3+6abc)(a+b+c) 3.a3+b3+c3+6abcn3 14a3+b3+c3+6abca 2b+ a2c+b2a+b2c+c2a+c2b.不妨设 abc 则 a3+b3+2abc(a 2b+ a2c+b2a+b2c)= a2(ab)b 2(ab)ac(ab)+bc(ab) = (ab)(a 2 b2ac+bc) = (ab) 2(a+bc) 0c3+abc c2ac 2b=c(ac)(bc)0两式相加即得结论本节“情景再现”解答：1. , 提示：属于同一个国家的概率
26、为 ，所求概率为 或：所119190 190720541C1907求概率为 1905420C2. (1)选 B. 考虑点 A、B 、C、D 的顺序即可.因为对任意凸四边形而言, 孔 AB、CD 恰为两对角线时, 它们才相交 .当 A、B 为相邻顶点时, 其顺序情况有 8 种;C、D 顺序有 2 种;当A、B 为相对顶点时, 其顺序情况有 4 种;C、D 顺序有 2 种;这样, 所求概率为.42183(2)选 C. 因为一共有 7 种抽出情形使小球数码的和为 6, 且它们是等可能的.用下面的三元有序组来表示即 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,
27、2,1) 和(2,2,2),所以记号为 2 的球三次全被抽中的概率为 . 3. (1)小虫从点 A 爬了一米后又回到点 A 是不可能的，P 1=0,小虫从点 A 爬了两米后又回到点A，有 AB(或 C，或 D )A 这 3 种情况，概率都是 ,所以9132913(2)小虫爬了 n 米后回到点 A，则爬了 n1 米后不在点 A,概率是 1 ,此时小虫从另1nP三点中的一点回到点的概率是 ，故31)(1nnP(3)由题意 又 ,故,0P)(1nn )4(341nn数列 是以为 首项, 为公比的等比数列，41n所以 nnP)3(4. 7 个数字的和为 59 有以下几种情况：(1)6 个 9，1 个
28、5；(2)5 个 9，1 个 8，1 个 6；(3)5 个 9，2 个 7；(4)4 个 9，2 个 8，1 个7；(5)3 个 9， 4 个 8共 7+76+C +7C +C =210 个72 62 74 其中被 11 整除的，奇数位数字和与偶数位数字和的差应被 11 整除但奇数位数字和与偶数位数字和的和为 59，是一个奇数，所以上述的差只能为 11，而且必须是奇数位 4 个数字之和为 35(= )，59+112偶数位 3 个数字之和为 24奇数位 4 个数字的和为 35，只有 3 个数字为 9，1 个数字为 8这一种情况，共 4 个偶数位 3 个数字的和为 24，有(1)3 个 8；(2)
29、2 个 9，1 个 6；(3)1 个 9，1 个 8，1 个 7 三种情况，共 1+3+3！=10 种所以被 11 整除的数共 410=40 个所求概率为 = .40210 4215. （I）P 01，P 1 ，P 2 431（II）棋子跳到第 n 站(2n 99，必是从第 n1 站或第 n2 站跳到的) 的概率为Pn ，所以 Pn Pn1 (Pn1 P n2 )21（III ）由() 知数列P n+1P n是首项为 P1P 0 ，公比为 的等比数列，该数列的1前 99 项和，由 P1P 0，P 2P 1，,P 99P 98 相加得，P991=( )( ) +( )99，所以2P99 1( )
30、100，则 P98P 99( )99= 1+( )993321即P 100 P98 1+( )99.116. 先考虑(2)，设 A，C，B 获胜的概率分别为 p1，p 2，p 3，则显然有p1+p2+p3=1 (1)(总有一人能得冠军一无限制地循环下去的概率为 =0，因为 0 )121212 12nA 得冠军有两种可能：第二盘 A 胜 C，概率为 ；第二盘 A 负于 C，概率12为 ，而下一盘 B 胜 C(C 胜 B 则 C 为冠军，A 不为冠军)，从这盘算起，A 成12为 B，C，A 系列中的第三个人，获胜概率为 p3， 所以 p1= p3. (2)12 12C 得冠军必须 A 在第二盘负(
31、概率为 )，这样 C 成为 C，B，A 系列中的第一个人，12获胜的概率为 p1，所以 p2= p1. (3)12由(1)，(2)，(3)得 p1= ，p 2= ，p 3= 47 27 17在第(1)问中，A、B 得冠军的概率均为 p1 p3= .12 12 514C 得冠军的概率为 12 =51427(无论第一盘 A,B 谁胜 C 得冠军的概率都为 p2= )27本节“习题 19”解答：1. C. 提示：能拼成三角形的三条线段仅有 3 5 7；5 7 9；3 7 9 这三种可能，故所求概率为1 = C35072. 选 B. 首先从集合任取三元素的总事倒数为 =125.下面考虑 c 的情况：从
32、 中选一351,35个有 =3 种情况 c 是奇数; 以 中选一个有 =2 种情况 c 是偶数.而 ab 为奇数的情形13 2,412C有 =9 种, 为偶数的情形有 =16 种. 由“奇+奇=偶” “偶+ 偶=偶” 知, ab+c 为偶数的2 53情形共有 39+216=59(种)这样所求概率为 .591253. 6 个球平均分入三盒有 种等可能的结果, 每盒各有一个奇数号球的结果有C246种，所求概率 P(A)= , 则有一盒全是偶数号球的概率是 故选 B.A3 5A23534. (1) (2) 912)(41085CP91)(410285ABP(3) 故 A 与 B 是不独立.63)(4
33、1025AB5. 1794326. 体育彩票应本 36 个号码的 36 个球大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的 36 个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样因此，当你把这 36 个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的7. 解：某单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 （从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组，!24C另外 2 个部门各作为 1 组，共
34、 3 组，共有 种分法，每组选择不同的景区，共有63！种选法） ，记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1，那么事件 A1 的概率为P（A 1） = .94!2C（II）解法一：分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“4 个部门都选择同一个景区”为事件A2 和 A3，则事件 A3 的概率为 P（A 3）= ，事件 A2 的概率为714P（A 2） =1P（A 1）P （A 3）= .27149解法二：恰有 2 个景区有部门选择可能的结果为 （先从 3 个景区任意选定 2)!(34C个，共有 种选法，再让 4 个部门来选择这 2 个景区，分两种情况：第一种情况，从3C4 个部门中任取 1 个作为
35、 1 组，另外 3 个部门作为 1 组，共 2 组，每组选择 2 个不同的景区，共有 种不同选法.第二种情况，从 4 个部门中任选 2 个部门到 1 个景区，另外 2 个部!21门在另 1 个景区，共有 种不同选法）. 所以 P（A 2）=24C.743)!(42C8. 十进制中每位数字最大是 9, 因而五位数字和 d1+d2+d3+d4+d5 最多是 45. 而数字和是 43则有下面情况：(1) 其中一个数字是 7, 其余是 9, 有 5 种可能：79999, 97999, 99799, 99979, 99997.(1) 其中两个数字是 8, 其余数字是 9, 有 10 种可能：88999,
36、 89899, 89989, 89998, 98899,98989, 98998, 99889, 99898, 99988.而上述诸数中可被 11 整除者仅 97999,99979,98989 三个.综上所求概率 .315p9. （1）将骰子连掷 2 次，棋子掷第一次后仍在 A 方而掷第二次后在 B 方的概率 P= =62492(2)设把骰子掷了 n1 次后，棋子仍在 A 方的概率为 Pn+1，有两种情况：第 n 次棋子在 A 方，其概率为 Pn，且第 n1 次骰子出现 1 点或 6 点，棋子不动，其概率为 第 n 次棋子在 B 方，且第 n1 次骰子出现 2，3，4，5 或 636点，其概率
37、为 ，即 ，P 01，5)(6531nn )9(95n， ， )(63100PP2191nP 是首项为 ，公比为 的等比数列95n51 )2(n 2)1(nn10. 输人为 AAAA 时输出 ABCA 的概率是 a2( )2,1 a2输人为 BBBB 时输出 ABCA 的概率是 a( )3,1 a2输人为 CCCC 时输出 ABCA 的概率是 a( )3,1 a2输出为 ABCA 时输入 AAAA 的概率是 = 22122331()1() ()apaapp- -+.()123ap-+-11. 九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在 圆周 上 的 一 个 圆
38、形 排 列 ， 故 共 有 8！ 种 放 法 ， 考 虑 到 翻 转 因 素 ， 则 本 质 不 同 的 放 法 有 种 . 2!8下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设 是依次排列于这段弧上的小球号码，则kx,21上.8|91|)()()(| 21 kk xxx式取等号当且仅当 ，即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增921排列.因此 .10 分68最 小S由上知，当每个弧段上的球号 确定之后，达到最小值的排序方案便唯9,12kx一确定.在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3，8，将它们分为两个子
39、集，元素较少的一个子集共有 种情况，每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小63270C的唯一排法，即有利事件总数是 种，故所求概率 6 .3152!86P12. 由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的（）因骰子出现的点数最大为 6，而 ，因此，当 时，n 次出现45,6的点数之和大于 已不可能即这是一个不可能事件，过关的概率为 0所以最多只能连过2n4 关 （）设事件 为“第 n 关过关失败” ，则对立事件 为“第 n 关过关成功” nAnA第 n 关游戏中，基本事件总数为 个6n第 1 关：事件 所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况） ，1过此关的概率为： 11()()63PA第 2 关：事件 所含基本事件数为方程 当 a 分别取 2，3，4 时的正整数解组数之2 xy和即有 （个） 11236C过此关的概率为： 2225()()16PA第 3 关：事件 所含基本事件为方程 当 a 分别取 3，4，5 ，6，7，8 时的正整3xyz数解组数之和即有 （个） 22234567102CC过此关的概率为： 33()1()PA故连过前三关的概率为： 2526743PA（说明：第 2，3 关的基本事件数也可以列举出来）
