1、“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系,第一章 函数与极限,一、集合,集合的概念,对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的事物的全体称为一个集合.,而把组成这个集合的每一个事物个体称为该集合的元素,以下都可以作为集合的例子：,全体实数,全体有理数,全体 正整数,我们经常用到得都是数集所有元素都是数的集合.,以下的一些数集是我们经常用到的：,全体非负整数的集合：,全体正整数的集合：,全体整数的集合：,全体有理数的集合：,数集间的关系:,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)
2、称为区间的长度.,半开半闭区间：,无穷区间：,用图表示更清楚,3 邻域：,去心邻域：,试着在图中表示出来.,二、函数的概念,定义1 设D是一个非空实数集，若存在对应关系f，对 D中任意实数 x，依照对应关系f ，都有唯一的实数 y与之对应，则称 f 是定义在 D上的函数，记作,与实数 x0 对应的实数 y0称为函数在点x0处的值，简称函数值，记作 或 .,数集D称为函数 f 的定义域，函数值的集合 称为函数 f 的值域,x称作自变量, y称作因变量,讨论：定义中有哪些关键词？决定一个函数有哪些主要因素？,答： 1. 定义域、对应关系是确定函数的两大要素。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对
3、应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,函数定义域的确定： （1）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合. （2）有实际意义的函数，根据实际意义确定.,例1 Gauss函数，不超过自变量的最大整数,几个特殊的函数举例,阶梯曲线,答,例2 符号函数,例3 分段函数,例4 Dirichlet函数,自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数,称为分段函数。,曲线的极坐标方程,“三毛在你东偏北60度”你是否能够准确地确定对方的位置？,从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确定一个点还可以利用距离和角度这样一组数来确定
4、一个点,从平面中的一个点 出发作一条射线 ，,再选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），,点 称为极点射线 称为极轴.,再知道“他距离你50公里”，能确定他的位置了吗？,这就是极坐标系，,点P 到极点的距离r，称为点P的极径；,因此在极坐标系下，平面上任一点P（除极点外）都可以与一个二元有序数组 建立一一对应关系称二元有序数组 为点P的极坐标.,给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应：,例如：图中的M,也可以记作 （当 时）.,可以记为 （当 时）；,注：极点 是唯一极坐标不确定的点，其极径 ，极角可以任意取值,讨论： 在极坐标系下分别是什么图形？,答：,：射线,：半径
5、为a的圆,将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，,你能给出极坐标与直角坐标之间的转化关系吗？,那么,则极坐标与直角坐标之间的转化关系为：,利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应,例： 方程,表示以极点 为中心、半径为2的圆；,一般极坐标系下的曲线方程可以表示为 或 ，由后者可以看出 是 的函数.,答： 将 带入到极坐标方程 中，得,方程 用极坐标表示就是,将 带入到直角坐标方程 中，得,你能用直角坐标系和极坐标系之间的关系验证这两个结论吗？,极坐标常用函数举例：,这就得到一个D 到D的函数，称其为函数 f 的反函数，,函数 y=3x+1，对任意的 ，都有y 的唯一
6、取值与其对应；,称为函数y=3x+1, 的反函数.,三、反函数,反过来，由这个对应关系，对每个 都有唯一的 与其对应。,反函数：设函数 的值域为D，如果对任意的都有唯一的 满足 f(x)=y，,通常记作,一般的，有反函数的概念：,例如 由于 是 到 的一一对应，因此，它 存在 的反函数，记作,同一条曲线从两个不同的角度描述了变量x和y的同样的对应关系.,因此，函数 的图形与它的反函数 的图形是同一个,根据习惯，反函数通常也用x表示自变量，用y表示相应的函数值，,于是通常将函数 的反函数记为,因此，函数 的图形与它的反函数 的图形关于直线 对称.,而将 变成了 符号的改变造成了 上的点(x, y
7、)变成了 上的点(y, x) ，,我们知道函数 与 的图形是同一个.,我们知道钟摆的振动周期,四、复合函数,下面研究温度的变化对钟表快慢的影响,建立钟摆的周期T 和温度t 之间的函数关系：,称为 的复合函数。,复合函数：设D 为一非空实数集合，称由函数 和 所确定的 的函数h 为函数 的复合函数，记作 即,一般的，有复合函数的概念：,例如：,复合为函数,复合为函数,复合为函数,注意:,2.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,1.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,思考：在复合函数的定义中，若记 y=f(u) 的定义域为D1，必 有 如果 非空可以吗？如果可以，复合 后的函数的
8、定义域将是怎样的集合？,因此可以限制 x，如,思考：在复合函数的定义中，若记 y=f(u) 的定义域为D1，必 有 如果 非空可以吗？如果可以，复合 后的函数的定义域将是怎样的集合？,例如：,可以看到，由 得,考虑函数,但是，对函数 要求,得到复合函数,五、函数的四则运算,函数 的定义域分别为 定义这两个函数的四则运算为,和(差),积,商,六、基本初等函数与初等函数,在中学里我们学习了下面这些函数.1常值函数2 幂函数3 指数函数4 对数函数5 三角函数6 反三角函数,基本初等函数经过有限次的复合、有限次的四则运算得到的且能用一个算式表示的函数称为初等函数.,有限次的复合 有限次的四则运算,双
9、曲函数,七、几种具有特殊性质的函数,1.有界函数,从字面意思上理解什么是有界?什么是无界?,我们能找到数K1, K2得使函数值在 K2 和K1之间.,对于给定的正数K1 K2 K3，总有函数值能够 “超过”它.,有界与无界：如果存在正数M，使得 则称函数 在X上有界，而M称为 在X上的一个界；否则称函数 在X上为无界函数，也简称 在X上无界,一个在某数集上有界的函数，它的界唯一吗？,显然函数的界不唯一，若M为函数的一个界，则大于M的数（如M1）都可以作为它的界.,从函数有界的定义来看，所谓函数有界一定是在整个定义域有界吗？,上界：函数 的定义域为数集D，数集 ，如果存在数 ，使得 则称函数 在
10、X上有上界，而 称为函数 在X上的一个上界.,下界：如果存在数 ，使得 则称函数 在X上有下界，而 称为函数 在X上的一个下界.,您能否根据上面上界的定义，给出下界的定义？,例如：,既有上界，又有下界.,在 上只有下界，没有上界.,讨论：1. 如果正数M是有界函数 f(x)的一个界那么它有上界、下界吗？如果有，请指出它的一个上界、一个下界2. 若在X上f(x)有上界K1 和下界K2，它有界吗？如果有界请找出它的一个界,答：1. M为 f(x)的一个上界，-M为它的一个下界 这是因为,2. 取M=max|K1|, |K2| 则有下式成立,再给出最大值与最小值的概念,设函数 在区间上I 有定义，若
11、存在点 使得对于任意的 ，都有 成立，则称 与 分别是函数 在区间I上的最大值与最小值，而称 分别为该函数的最大值点与最小值点,最大值,最小值,最大值点,最小值点,讨论：一个函数在某指定的范围内一定有最大值、最小值吗？,在定义域内既没有最大值也没有最小值；,在定义域内只有最小值零而无最大值；,y=x在区间(-1,1)内既无最大值也无最小值,可见，并不是每一个函数在指定的范围内都有最大值、最小值,显然，如果函数在区间上有最大值与最小值，那么在区间上有界但是反过来未必成立,请分别举出这样的例子.,2.单调函数,设函数 f(x) 的定义域为D，区间 ，若对于任意的两点 ，当 时，恒有 则称 f(x)
12、 为区间I上的单调递增（递减）函数,单调递增与单调递减函数统称为单调函数.,定义中有哪些关键词？,单调递增函数,单调递减函数,事实上，有些函数在整个定义域不一定是单调的，但,例如：,在区间 内单调递增；,在区间 内单调递减.,若 f(x) 在其定义域的一个子区间I上单调，称I为 f(x) 的,在定义域R内不单调；,值得注意的是， 定义中并没有要求讨论函数在整个定义域内的单调性,它却在定义域内的一个子区间上单调,单调区间,3.奇偶函数,函数 f(x) 的图像关于y 轴对称，我们称函数f(x)为偶函数；函数 f(x) 的图像关于原点对称，我们称函数f(x)为奇函数.,奇函数,偶函数,若函数 y=f(x) 的定义域为关于原点对称的区间D，并且对于任意的 ，恒有 成立，则称f(x)为D上的偶函数；如果对于任意的 ，恒有 成立，则称f(x)为D上的奇函数,奇偶函数定义的前提是什么？有哪些关键词？,如何用分析的语言描述函数的奇偶性呢？,4.周期函数,设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在正数 l，使得对于任意的 ，有 ，并且 恒成立，则称 f(x)为周期函数. 称l 为函数 f(x)的周期.,周期函数的周期唯一吗？,注：周期函数的周期并不唯一，通常提到的周期是指最小的正周期.,
