1、- 1 -课时跟踪检测(十九) 导数与函数的零点问题1设 a 为实数，函数 f(x) x33 x a.(1)求 f(x)的极值；(2)是否存在实数 a，使得方程 f(x)0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由解：(1) f( x)3 x23，令 f( x)0，得 x1 或 x1.当 x(，1)时， f( x)0；当 x(1,1)时， f( x)0；当 x(1，)时， f( x)0， f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增 f(x)的极小值为 f(1) a2，极大值为 f(1) a2.(2)方程 f(x)0 恰好有两个实数根，等价于直线 y
2、 a 与函数 y x33 x 的图象有两个交点 y x33 x， y3 x23.令 y0，解得 x1 或 x1；令 y0，解得1 x1. y x33 x 在(1,1)上为减函数，在(1，)和(，1)上为增函数当 x1 时， y 极大值 2；当 x1 时， y 极小值2. y x33 x 的大致图象如图所示y a 表示平行于 x 轴的一条直线，由图象知，当 a2 或 a2 时，y a 与 y x33 x 有两个交点故当 a2 或 a2 时，方程 f(x)0 恰好有两个实数根2(2019锦州联考)已知函数 f(x)e x ax a(aR 且 a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数
3、 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解：(1)由 f(x)e x ax a，得 f( x)e x a.函数 f(x)在 x0 处取得极值， f(0)e 0 a0， a1. f(x)e x x1， f( x)e x1.当 x(，0)时，f( x)0， f(x)单调递减；当 x(0，)时， f( x)0， f(x)单调递增易知 f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且 f(2) 3， f(1)e， f(2) f(1)，1e2 f(x)在2,1上的最大值是 3.1e2(2)f( x)e x a.当 a0 时， f(
4、x)0， f(x)在 R 上单调递增，且当 x1 时， f(x)e x a(x1)0；当 x0 时，取 x ，则 f 1 a a0，函数 f(x)存在零点，不1a ( 1a) ( 1a 1)- 2 -满足题意当 a0 时，令 f( x)e x a0，则 xln( a)当 x(，ln( a)时， f( x)0， f(x)单调递减；当 x(ln( a)，)时， f( x)0 ， f(x)单调递增，当 xln( a)时， f(x)取得极小值，也是最小值函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln( a)e ln( a) aln( a) a2 a aln( a)0，解得e 2 a0.综上所述，所求实数
5、a 的取值范围是(e 2,0)3(2018郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)ln x (aR 且 a0)1ax 1a(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x 时，试判断函数 g(x)(ln x1)e x x m 的零点个数1e， e解：(1) f( x) (x0)，ax 1ax2当 a0 时， f( x)0 恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，由 f( x) 0，得 x ，ax 1ax2 1a由 f( x) 0，得 0 x ，ax 1ax2 1a函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(1a， ) (0， 1a)综上所述，当 a0 时，函数 f(x)在(0，
6、)上单调递增；当 a0 时，函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(1a， ) (0， 1a)(2)当 x 时，函数 g(x)(ln x1)e x x m 的零点个数，等价于方程(ln x1)1e， eex x m 的根的个数令 h(x)(ln x1)e x x，则 h( x) ex1.(1x ln x 1)由(1)知当 a1 时， f(x)ln x 1 在 上单调递减，在(1，e)上单调递增，1x (1e， 1)当 x 时， f(x) f(1)0.1e， e ln x10 在 x 上恒成立1x 1e， e- 3 - h( x) ex1010，(1x ln x 1) h(x)(ln x1
7、)e x x 在 x 上单调递增，1e， e h(x)min h 2e ， h(x)max h(e)e.(1e) 1e1e当 m2e 或 me 时，函数 g(x)在 上没有零点；11e 1e， e当2e me 时，函数 g(x)在 上有一个零点e1e 1e， e4(2019益阳、湘潭调研)已知函数 f(x)ln x ax2 x， aR.(1)当 a0 时，求曲线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解：(1)当 a0 时， f(x)ln x x， f(e)e1， f( x) 1， f(e)1 ，1x 1e曲
8、线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程为 y(e1) (xe)，即 y x.(11e) (1e 1)(2)f( x) (x0)， 2ax2 x 1x当 a0 时，显然 f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f( x) 0，则2 ax2 x10，易知 0 恒成 2ax2 x 1x立设方程的两根分别为 x1， x2(x1 x2)，则 x1x2 0， x10 x2，12a f( x) (x0) 2ax2 x 1x 2a x x1 x x2x由 f( x)0 得 x(0， x2)，由 f( x)0 得 x( x2，)，其中 x2 ，1 8a 14a函数 f(x)在
9、上单调递增，在 上单调递减(0，1 8a 14a ) (1 8a 14a ， )(3)函数 f(x)有两个零点，等价于方程 a 有两解ln x xx2令 g(x) (x0)，则 g( x) .ln x xx2 1 2ln x xx3由 g( x) 0，得 2ln x x1，解得 0 x1，1 2ln x xx3 g(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减，- 4 -又当 x1 时， g(x)0，当 x0 时， g(x)，当 x时， g(x)0，作出函数 g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当 a(0,1)时符合题意下面给出证明：当 a1 时， a g(x)max，方程至多一解，不符合题意；当 a0 时，方程至多一解，不符合题意；当 a(0,1)时， g 0， g a0，(1e) (1e)g a，(2a) a24(ln2a 2a) a24(2a 2a) g a0.(2a)方程在 与 上各有一个根，(1e， 1) (1， 2a)若 f(x)有两个零点， a 的取值范围为(0,1)
