1、第四章 部分相干理论,从上一章的学习我们知道，光源的相干性对成像系统有重要的影响，但是实际上，既不存在真正的相干光源和真正的非相干光源，也就是说所有实际的光源都是部分相干的。,4-1 光场相干性的一般概念,光场的相干性是指时空中两点的光扰动相叠加时的表现，它包涵空间效应和时间效应，即空间相干性和时间相干性，前者源于光源的大小，后者源于光源的有限带宽。,1. 空间相干性与光源的线度,光场的空间相干性是指光场中两点的光扰动相叠加时的表现。,我们用杨氏双孔装置来研究空间相干性。,由双光束干涉理论，干涉场强度,其中I1、I2是两光束单独存在时在屏上的强度分布。,令,令并利用半角公式,其中,相位差。,光
2、程差,考虑到,最后得到光程差,屏上强度分布,这仅是光源上一点在屏上的强度分布。,现在考虑光源是一个线光源的情形。,那么光源上每个点都在屏上产生一副干涉图样；,由于这些点的振动相位是完全随机的，因此它们是非相干的，所以最后在屏上进行强度叠加就可以了。,积分后得到，,图形对比度,很明显，当光源尺寸较小时，图形对比度才较大。光源较大时，对比度下降，相干性变差。,当,时，对比度为零，图形消失。,此时光源的宽度称为临界宽度：,其中,是两小孔对光源的张角，称为干涉孔径角。,实际上为了使图形对比度不至于太低，常要求光源宽度不超过临界宽度的四分之一，据图，这时图形对比度大于0.9。,从另外一个角度来看，如果光
3、源尺寸确定，两小孔的间距t越小越好，两小孔的最大间距：,其中,是光源对两小孔的张角。,tc称为横向相干宽度。,要保证两小孔的光振动存在相关，它们之间的距离不能大于tc。,同样为了使图形对比度不至于太低，常要求：,公式,说明这两个角度分别与光源线度和小孔间距成反比，这两个公式是等效的，统称空间相干性的反比公式。,2. 时间相干性与光波的频谱,光场的时间相干性是指光场中同一点不同时刻光扰动相叠加时的表现。,光源的时间相干性取决于光源的带宽。,有限长的波列必然不是单色的。,我们知道实际的光源发出的波列都是有限长的。,从上图不难看出，如果我们选取的时间间隔t远小于波列的平均持续时间0，这时t前后的位相
4、有确定的关系，完全可以把光源看作单色光源。,但是如果我们选取的时间间隔t远大于波列的平均持续时间0，这时t前后的位相没有确定的关系，就不可以把光源看作单色光源。,波列的平均持续时间0称为相干时间。,波列的平均长度Lc称为相干长度。,相干长度和相干时间用以评价时间相干性的好坏。,和讨论空间相干性类似，我们用迈克耳逊干涉仪讨论一下时间相干性。,当光程差为零时，对比度V1。,增大光程差，对比度下降。,进一步增大光程差，对比度为零，条纹消失。,时域理解：当光程差大于相干长度时，同一波列分出的子波列不会交叠，这时干涉场上无条纹。,频域理解：每种波长的光在屏上各自产生一套干涉条纹，但彼此错开，当波长成分较
5、多时，叠加后使对比度降低为零。,实际光源发出的光波不可能是严格单色的，总会有一定带宽。,考虑准单色的情形，即：,两种波长（最短和最长）的光波传播一定过程后位相差为：,当2的第m级条纹和1的第m+1级重合时，对比度降为零，,为了使图形对比度不至于低于0.9，常要求，相位差不大于/2，,对于频率为0的有限长波列，可表示为：,利用傅立叶变换理论，f(t)可表示为，,其中F()是f(t)的频谱，,归一化功率谱，,大部分能量集中在区域,通常取带宽,0.5,进而,上式称为时间相干性的反比公式。,它表明，带宽越窄，相干时间越长，时间相干性越好。,实际的光源，如果单色性好，主要考虑其空间相干性；如果光源线度小
6、，则主要考虑其时间相干性。,激光单色性很好；光束接近平行光(高斯光束)，可以聚焦成很小的光斑，所以激光是很好的相干光源。,【例1】,分析由非单色点光源照明的杨氏双缝干涉实验。,假设光源的谱线如图所示。,由4-1-4，并令xs0，得到单色光产生的强度分布,考察频率在附近，带宽为d的光波成分，它的强度为,它在屏上强度贡献为,由于这些频率的振动相位是完全随机的，因此它们是非相干的，所以最后在屏上进行强度叠加就可以了。,在x0附近，也就是光程差较小的地方，对比度最大，接近1，条纹最清晰。,V0的地方，条纹完全消失，第一次消失的地方，,4-2 互相干函数,1. 实多色场的复制表示,因为复指数函数是线性系
7、统的本征函数，即对于复指数的输入，线性系统也会输出一个复指数函数。引入复指数函数后对线性系统的分析常常是方便的。,实际的光场都是实值的，但是对于单色光场我们一直用复指数函数来表示。,对于多色光场，我们也是使用这种方法。与单色光场的情形类似，取原实信号作为复指数信号的实部，然后再合理地构造其虚部。,设原来表示光场的实函数为,为简化书写，略去空间变量，,构造成的复函数，,称为原实信号的解析信号。,对于线性系统，在计算的任何一步实部和虚部不会互相影响，各自进行相同的运算，也就是说，任何时候都可以取复信号的实部来还原相应的实信号。,回顾一下我们对于单色光场的处理，,我们将这种处理推广到多色光场。,对u
8、r(t)做傅立叶分解，,由于ur(t)是实函数，故其频谱是厄密型函数，,令,则,将4-2-4式代入4-2-2式，利用上面的奇偶关系和欧拉公式，,仍然采用单色光场的处理方法，构造解析函数u(t)，,其中,是解析函数u(t)的频谱。,这样我们就构造了解析函数u(t)，并得到它的频谱与原实信号频谱的关系。,去掉实函数的负频分量,并把正频分量加倍后叠加起来就得到解析信号。,u(t)和ui(t)都可以由ur(t)来唯一确定。,把ur(t)中每一个傅立叶分量相移/2后，就可以得到ui(t)。,2. 互相干函数与复相干度,相干度是度量光场相干性的物理量。,我们借助杨氏实验来提出定义。研究两个时空点P1、P2
9、光振动的相关性。,而要研究两个时空点P1、P2光振动的相关性，需要借助P1、P2两点在空间另一点P的干涉现象。,假设光源S是非单色的扩展光源，S发出的光波在P1、P2处光场的解析信号分别为：,P1、P2处的光场衍射(传播)到P点，在P点各自形成新的光场：,P点的合成光场：,P点的光强：,定义：光场中两点P1、P2的互相干函数，,其中,是P1、P2两点在干涉点的相对时间延迟。,可以看出互相干函数与两个点（P1、P2）和一个时间间隔有关(第三个点)。,显然，,P1与P2重合时的互相干函数称为自相干函数，,P1与P2重合且0时，,将互相干函数归一化，,称为复相干度。,利用施瓦兹不等式可以证明，,也就
10、是，,引入互相干度和复相干度后光强度4-2-12式可表示为，,其中K是与r1r2成反比的因子。,下面进一步理解复相干度12的意义，将它写成,令,则,是没有相对时间延迟的P1、P2两点光场的位相差。,当,时，P点强度与两个同频率的单色光波在该点,叠加后产生的干涉现象相同，干涉项值在,之间，这样的两点光扰动称为完全相干的。,当,时，P点强度,即P点强度是两束光在P的强度的简单相加，这时两光场是完全不相干的。,当,时，称两点的光扰动是部分相干的。,条纹对比度：,互相干函数和复相干度反映了光场中两个不同点在不同时刻的光扰动的关联程度。,如果两个点的光扰动的振幅和相位都随时间和空间做无规则涨落，彼此的涨
11、落独立无关，那么,这两个不同时空点的光扰动是非相干的。,如果两个点的光扰动的振幅和相位有某种时间和空间上的联系，就不能各自取平均再乘积，互相干函数不会为零，这两点的光扰动就是相干和部分相干的。,3. 互相干函数的谱表示,定义截断函数,它的解析信号,它可以表示成,其中,当然，对于另外一点，也可做同样处理，,互相干函数：,先对时间积分，考虑到,利用冲击函数的筛选性质，对积分,令,称为互光谱密度。,对于自相干函数，类似有,称为功率谱密度函数。,如果把P1点随时间变换的光扰动看作是频率不同的的许多单色扰动的线性组合，频率为的单色扰动对强度的贡献正比于,可以看作是光源的光谱。,这是傅立叶变换光谱仪的理论基础。,4. 互相干函数与复相干度的测量,互相干函数和复相干度是可以测量的物理量。,由式4-2-17可求出复相干度的实部：,由式4-2-19：,这样由条纹对比度可求出复相干度的模：,然后可求虚部：,下面求互相干函数，由4-2-14式：,测量互相干函数和复相干度的方法很多，同学们可自行查阅相关文献。,有了自相干函数之后，对它做傅立叶变换就可以得到功率谱。同学们可自行学习傅立叶变换光谱仪的原理。,最后应当说明，虽然我们的讨论是从杨氏实验图4-1-1开始的，这些结论既适用于空间相干性的讨论也适用于时间相干性的讨论。,
